Escrito por Tiago Rocha, Davi Tsuchi, David Ferro, Eduardo Shashike, Eyke Torres, Gustavo Sabará, Maria Beatriz Ximenes, Mateus Barros e José Ulisses
Problema 1(exclusiva para a 1ª série)
Um corredor quer correr uma pista de $10\text{ km}$ em $40\text{ minutos}$.
(a) Qual deve ser sua velocidade média em $\text{km/h}$ para que isso seja possível?
(b) Se ele corre os primeiros $5\text{ km}$ numa velocidade de $12\text{ km/h}$, qual deve ser sua velocidade nos últimos $5\text{ km}$ para que ele consiga completar seu objetivo?
Cinemática
(a) Para encontrar a velocidade média em $\text{km/h}$, dividimos a distância total pelo tempo total em horas. O tempo total é de $40\text{ minutos}$, o que equivale a:
$$t = \frac{40}{60}\text{ h} = \frac{2}{3}\text{ h}$$
A velocidade média total é dada por:
$$v_m = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{10\text{ km}}{\frac{2}{3}\text{ h}} = 10 \cdot \frac{3}{2} = 15\text{ km/h}$$
(b) O tempo total disponível para completar o percurso é de $\frac{2}{3}\text{ h}$ (ou $40\text{ min}$).
Calculamos o tempo gasto nos primeiros $5\text{ km}$ com velocidade de $12\text{ km/h}$:
$$t_1 = \frac{\Delta S_1}{v_1} = \frac{5\text{ km}}{12\text{ km/h}} = \frac{5}{12}\text{ h}$$
Convertendo para minutos para facilitar:
$$t_1 = \frac{5}{12} \cdot 60\text{ min} = 25\text{ min}$$
Como o tempo total deve ser de $40\text{ min}$, o tempo restante para os últimos $5\text{ km}$ é:
$$t_2 = 40\text{ min} – 25\text{ min} = 15\text{ min} = \frac{15}{60}\text{ h} = \frac{1}{4}\text{ h}$$
Assim, a velocidade nos últimos $5\text{ km}$ deve ser:
$$v_2 = \frac{\Delta S_2}{t_2} = \frac{5\text{ km}}{\frac{1}{4}\text{ h}} = 5 \cdot 4 = 20\text{ km/h}$$
(a) $15\text{ km/h}$
(b) $20\text{ km/h}$
Problema 2(exclusiva para a 1ª série)
Um estudante de massa $60{,}0\text{ kg}$ realiza uma corrida de $2{,}00\text{ km}$ em $12{,}0\text{ min}$. Seu professor de Educação Física estima que, durante a corrida, seu corpo utiliza $525\text{ kJ}$ de energia. Considere que cada passada do estudante tenha comprimento médio de $1{,}50\text{ m}$. Determine:
(a) a potência média, em watts, correspondente ao consumo de energia durante a corrida;
(b) a energia média, em joules, consumida por quilograma de massa corporal e por passada;
(c) de quanto aumentaria a potência média, em watts, se o estudante realizasse o mesmo treino carregando uma carga adicional de $5{,}00\text{ kg}$. Para essa estimativa, admita que o consumo de energia por quilograma e por passada permaneça o mesmo.
Dinâmica
(a) Precisamos lembrar que:
$$Potência = \frac{\tau}{t} \implies P = \frac{525 \cdot 10^3}{12 \cdot 60} \approx \boxed{729\text{ W}}$$
(b) Para isto, basta:
$$\frac{525 \cdot 10^3}{60 \cdot \frac{2000}{1{,}5}} \approx \boxed{6{,}56\text{ J/kg} \cdot \text{passos}}$$
(c)
Utilizando o consumo específico calculado no item (b) ($\epsilon = 6{,}5625\text{ J/(kg}\cdot\text{passada)}$), a energia adicional $\Delta E$ consumida devido à carga extra é:
$$\Delta E = \epsilon \cdot \Delta m \cdot N$$
$$\Delta E = 6{,}5625 \cdot 5{,}00 \cdot \left(\frac{2000}{1{,}50}\right) = 43.750\text{ J}$$
O aumento na potência média ($\Delta P$) corresponde à taxa de consumo dessa energia adicional no intervalo de tempo de corrida:
[\\Delta P = \frac{\Delta E}{\Delta t} = \frac{43.750\text{ J}}{12 \cdot 60\text{ s}} = \frac{43.750}{720} \approx \boxed{60,8\text{ W}}\]
(a) 729 W
(b) 6,56 J/kg $\cdot$ passos
(c) 60,8 W
Problema 3(exclusiva para a 1ª série)
Para acelerar o descongelamento de um ingrediente, um cozinheiro mergulha uma porção de carne congelada em um recipiente contendo água à temperatura ambiente. Considere que o calor necessário para descongelar uma porção de $500\text{ g}$ de carne seja equivalente ao necessário para fundir $500\text{ g}$ de gelo a $0\text{ }^\circ\text{C}$. Inicialmente, a carne está a $0\text{ }^\circ\text{C}$ e a água está a $25\text{ }^\circ\text{C}$. Admita que, durante o processo, as únicas trocas de calor ocorram entre a água e a carne, desprezando as trocas de calor com o recipiente e com o ambiente. Após o descongelamento, considere que a carne descongelada tenha o mesmo calor específico da água. Determine:
(a) o menor volume de água, em litros, necessário para descongelar completamente a carne;
(b) a temperatura de equilíbrio, em graus Celsius, caso sejam utilizados $2{,}00\text{ L}$ de água.
Calorimetria
Item (a)
Para que a carne descongele completamente com o menor volume de água possível, toda a energia térmica cedida pela água ao resfriar de $25\text{ }^\circ\text{C}$ até a temperatura final de equilíbrio térmico de $0\text{ }^\circ\text{C}$ deve ser suficiente para fornecer o calor latente de fusão da carne:
$$Q_{\text{cedido, água}} + Q_{\text{recebido, carne}} = 0$$
$$m_{\text{água}} \cdot c_{\text{água}} \cdot (0 -25) + m_{\text{carne}} \cdot L_f = 0$$
$$m_{\text{água}} \cdot 1 \cdot (-25) + 500 \cdot 80 = 0$$
$$25 \cdot m_{\text{água}} = 40.000 \implies m_{\text{água}} = 1.600\text{ g} = 1{,}60\text{ kg}$$
Como a densidade da água é $1\text{ kg/L}$:
$$V = 1{,}60\text{ L}$$
Item (b)
Para $V = 2{,}00\text{ L}$, temos $m_{\text{água}} = 2.000\text{ g}$. Como $2{,}00\text{ L} > 1,60\text{ L}$, a carne descongela completamente e a temperatura final de equilíbrio $T_{\text{eq}}$ será estritamente superior a $0\text{ }^\circ\text{C}$.
Balanço de energia:
$$Q_{\text{água}} + Q_{\text{fusão}} + Q_{\text{aquecimento carne}} = 0$$
$$m_{\text{água}} \cdot c \cdot (T_{\text{eq}} -25) + m_{\text{carne}} \cdot L_f + m_{\text{carne}} \cdot c \cdot (T_{\text{eq}} -0) = 0$$
Substituindo os valores numéricos:
$$2000 \cdot 1 \cdot (T_{\text{eq}} -25) + 500 \cdot 80 + 500 \cdot 1 \cdot (T_{\text{eq}} -0) = 0$$
$$2000 \cdot T_{\text{eq}} -50.000 + 40.000 + 500 \cdot T_{\text{eq}} = 0$$
$$2500 \cdot T_{\text{eq}} = 10.000$$
$$T_{\text{eq}} = \displaystyle \frac{10.000}{2500} = 4\text{ }^\circ\text{C}$$
(a) $V = 1{,}60\text{ L}$
(b) $T_{\text{eq}} = 4{,}00\text{ }^\circ\text{C}$
Problema 4(exclusiva para a 1ª série)
Um cometa descreve uma trajetória elíptica em torno do Sol, como ilustrado na figura. O ponto O é o centro da elipse, $F_1$ e $F_2$ são seus focos, e o centro do Sol coincide com $F_1$. A posição do cometa é indicada pelo ponto C, sendo $r_1$ e $r_2$ suas distâncias aos focos $F_1$ e $F_2$, respectivamente. Para uma trajetória elíptica:
$r_1+r_2=2a$;
$v_p r_p = v_a r_a$.
Nessas expressões, a é o comprimento do semieixo maior da elipse; $r_p$ e $v_p$ são, respectivamente, a distância ao Sol e a velocidade do cometa no periélio (o ponto mais próximo do Sol); $r_a$ e $v_a$ são as mesmas grandezas no afélio (o ponto mais distante do Sol).
Considere o caso hipotético em que $a=5,00\text{ UA}$ (Unidade Astronômica), o semieixo menor tem comprimento $b=3,00\text{ UA}$ e $v_p=40,0\text{ km/s}$. Determine:
(a) a maior distância, em UA, que o cometa pode atingir em relação ao Sol;
(b) a distância do cometa ao Sol, em UA, quando ele passa por uma das extremidades do eixo menor da trajetória;
(c) a velocidade do cometa, em km/s, no afélio.
Gravitação
Item a)
Os três elementos geométricos da elipse $a, b, c$ se relacionam por um teorema de Pitágoras no triângulo Centro-Foco-Extremidade do eixo menor, em vista que, como veremos em b), $r_b=a$:
$$a^2=b^2+c^2$$
$$c=\sqrt{a^2-b^2}= 4 \text{ UA}$$
A maior distância ao sol ocorre no afélio (extremidade do eixo maior mais distante do sol), pelo desenho, podemos ver que isso equivale a um semieixo maior e uma distância focal:
$$r_a=a+c= 9 \text{ UA}$$
Item b)
Note que, nesse momento, $r_1=r_2$, por simetria:
$$r_b=\frac{2a}{2}=a=5 \text{ UA}$$
Item c)
Sabemos que:
\[
r_p = a-c = 1 \text{UA}
\]
Pois $r_a+r_p= 2a$. Logo, aplicando a outra equação
$v_p r_p = v_a r_a$.
\[
v_a = \frac{1 \cdot 40}{9} = 4,44 \text{km/s}
\]
(a) 9 UA
(b) 5 UA
(c) 4,44 km/s
Problema 5
A distância entre duas estações $A$ e $B$ de uma linha de metrô é de apenas $900\text{ m}$. A aceleração máxima do trem é $0{,}10\text{ m/s}^2$ e, durante a frenagem, o módulo máximo da desaceleração é $0{,}40\text{ m/s}^2$. Nos horários de pico, o trem deve partir do repouso na estação $A$ e chegar ao repouso na estação $B$ no menor intervalo de tempo possível. Determine: (a) o intervalo de tempo mínimo $\Delta t_{min}$, em segundos e (b) a velocidade máxima atingida pelo trem, em $\text{m/s}$, nesse trecho.
Cinemática
Para minimizar o tempo total sem limite superior de velocidade imposto além da própria distância, o movimento deve consistir unicamente em uma fase de aceleração máxima $a_1 = 0{,}10\text{ m/s}^2$ partindo do repouso até uma velocidade de pico $v_{max}$, seguida imediatamente por uma fase de frenagem máxima com módulo $a_2 = 0{,}40\text{ m/s}^2$ até o repouso.
Item (b)
Utilizando a equação de Torricelli para as duas etapas:
Na aceleração:
$$v_{max}^2 = 0^2 + 2 a_1 \Delta s_1 \implies \Delta s_1 = \displaystyle \frac{v_{max}^2}{2 a_1}$$
Na frenagem:
$$0^2 = v_{max}^2 -2 a_2 \Delta s_2 \implies \Delta s_2 = \displaystyle \frac{v_{max}^2}{2 a_2}$$
A distância total percorrida é $\Delta s = \Delta s_1 + \Delta s_2 = 900\text{ m}$:
$$\displaystyle \frac{v_{max}^2}{2 a_1} + \displaystyle \frac{v_{max}^2}{2 a_2} = 900$$
$$\displaystyle \frac{v_{max}^2}{2} \displaystyle \left( \frac{1}{0{,}10} + \frac{1}{0{,}40} \right) = 900$$
$$\displaystyle \frac{v_{max}^2}{2} (10 + 2{,}5) = 900$$
$$\displaystyle \frac{v_{max}^2}{2} \cdot 12{,}5 = 900 \implies 6{,}25 \cdot v_{max}^2 = 900$$
$$v_{max}^2 = \displaystyle \frac{900}{6{,}25} = 144 \implies v_{max} = 12\text{ m/s}$$
Item (a)
O tempo total é a soma dos tempos de aceleração ($t_1$) e de desaceleração ($t_2$):
Tempo de aceleração:
$$t_1 = \displaystyle \frac{v_{max}}{a_1} = \displaystyle \frac{12}{0{,}10} = 120\text{ s}$$
Tempo de frenagem:
$$t_2 = \displaystyle \frac{v_{max}}{a_2} = \displaystyle \frac{12}{0{,}40} = 30\text{ s}$$
Intervalo de tempo total:
$$\Delta t_{min} = t_1 + t_2 = 120 + 30 = 150\text{ s}$$
(Ou diretamente pela área do gráfico $v \times t$: $\Delta s = \displaystyle \frac{\Delta t_{min} \cdot v_{max}}{2} \implies 900 = \displaystyle \frac{\Delta t_{min} \cdot 12}{2} \implies \Delta t_{min} = 150\text{ s}$
(a) $150 \text{ s}$
(b) $12{,}0 \text{ m/s}$
Problema 6
Considere $0,100 \text{ mol}$ de um gás ideal monoatômico submetido inicialmente ao processo termodinâmico $A \rightarrow B$ representado no diagrama $P \times V$ e, em seguida, ao processo $B \rightarrow C$.
Sejam $Q_1$ e $Q_2$, respectivamente, as quantidades de calor trocadas pelo gás nos processos $A \rightarrow B$ e $B \rightarrow C$. Adote a convenção $Q > 0$ para calor absorvido pelo gás e $Q < 0$ para calor cedido pelo gás. Determine, em joules:
(a) $Q_1$ e (b) $Q_2$.
Termodinâmica
Para um gás ideal monoatômico, a energia interna é $U = \frac{3}{2}PV$. A partir do gráfico, extraímos os produtos $P \times V$ para cada estado:
$P_A V_A = (3 \cdot 10^5) \cdot (1 \cdot 10^{-3}) = 300 \text{ J}$
$P_B V_B = (1 \cdot 10^5) \cdot (3 \cdot 10^{-3}) = 300 \text{ J}$
$P_C V_C = (1 \cdot 10^5) \cdot (1 \cdot 10^{-3}) = 100 \text{ J}$
Isso é importante, pois sabemos que a temperatura é tal produto dividido por $nR$.
(a)
A variação de energia interna é nula, pois $P_AV_A = P_BV_B$ (temperatura não varia)
O trabalho é numericamente igual à área do trapézio sob a reta no gráfico:
$$W_{AB} = \frac{(P_A + P_B)}{2} \cdot (V_B – V_A)$$
$$W_{AB} = \frac{(3 + 1) \cdot 10^5}{2} \cdot (3 – 1) \cdot 10^{-3} = 400 \text{ J}$$
Logo, o calor trocado é:
$$Q_1 = \Delta U_{AB} + W_{AB} = 0 + 400 \Rightarrow \mathbf{Q_1 = 400 \text{ J}}$$
(b)
A variação de energia interna é:
$$\Delta U_{BC} = \frac{3}{2}(P_CV_C – P_BV_B) = -300 \text{ J}$$
O trabalho realizado na compressão isobárica é:
$$W_{BC} = P \cdot (V_C – V_B) = -200 \text{ J}$$
Logo, o calor trocado é:
$$Q_2 = \Delta U_{BC} + W_{BC} = -300 – 200 \Rightarrow \mathbf{Q_2 = -500 \text{ J}}$$
(a) 400
(b) -500
Problema 7
Uma esfera de massa $m=10,0$ kg está em repouso, suspensa por três cabos, como mostra a figura. O cabo 2 forma um ângulo $\theta=60°$ com a horizontal.
Sejam $\vec{T_1}$, $\vec{T_2}$ e $\vec{T_3}$ as forças que os três cabos exercem sobre o nó $A$, conforme indicado na figura. Determine, em newtons:
(a) $|\vec{T_1}+\vec{T_2}|$, (b)$|\vec{T_1}|$ e (c)$|\vec{T_2}|$
Mecânica
i) Pelo repouso da esfera:
$$P=mg=10\cdot 10=100 \text{ N} \therefore |\vec{T_3}|=100 \text{ N}$$
ii) Como o nó está em repouso:
$$\vec{T_1}+\vec{T_2}+\vec{T_3}=0 \therefore \vec{T_1}+\vec{T_2}=-\vec{T_3}$$
$$|\vec{T_1}+\vec{T_2}|=|\vec{T_3}|=100 \text{ N}$$
iii) Novamente, porque o nó está em repouso, a resultante das forças agindo sobre ele deve ser nula. No eixo vertical:
$$T_2\sin(60^\circ)=T_3 \therefore |\vec{T_2}|=\frac{100\cdot 2}{\sqrt{3}}\approx115,5 \text{ N}$$
No eixo horizontal:
$$T_1=T_2\cos(60^\circ)=\frac{200\cdot \sqrt{3}}{3}\cdot\frac{1}{2}\therefore |\vec{T_1}|\approx 57,7 \text{ N}$$
(a) $100$ N
(b) $57,7$ N
(c) $115,5$ N
Problema 8
Um ciclista e sua bicicleta, de massa total $m = 55{,}0\text{ kg}$, percorrem uma pista de mountain bike que apresenta uma lombada de raio $r$ seguida de uma depressão de mesmo raio, como mostra a figura, fora de escala.
Para suas estimativas, considere que o movimento ocorre em um mesmo plano e que o conjunto ciclista-bicicleta pode ser aproximado por uma partícula. Sabendo que $r = 20\text{ m}$ e que o ciclista mantém velocidade escalar constante $v = 43{,}2\text{ km/h}$, determine a intensidade da componente vertical da força que a pista exerce sobre o conjunto ciclista-bicicleta:
(a) no ponto mais alto da pista;
(b) no ponto mais baixo da pista.
Dinâmica
Primeiramente, convertemos a velocidade de $v = 43{,}2\text{ km/h}$ para o Sistema Internacional (m/s):
$$v = \frac{43{,}2}{3{,}6} = 12\text{ m/s}$$
Adotando $g = 10\text{ m/s}^2$, calculamos a força centrípeta:
$$F_c = \frac{m \cdot v^2}{r} = \frac{55 \cdot 12^2}{20} = \frac{55 \cdot 144}{20} = 396\text{ N}$$
E o peso do conjunto:
$$P = m \cdot g = 55 \cdot 10 = 550\text{ N}$$
(a) No pico:
No ponto mais alto da lombada convexa, a força resultante aponta para o centro (para baixo):
$$P – N = F_c \implies N = P – F_c$$
$$N = 550 – 396 = 154\text{ N}$$
(b) No poço:
No ponto mais baixo da lombada côncava, o centro da trajetória está para cima, logo a força resultante aponta para cima:
$$N – P = F_c \implies N = P + F_c$$
$$N = 550 + 396 = 946\text{ N}$$
(a) $154\text{ N}$
(b) $946\text{ N}$
Problema 9
Em muitos automóveis, o espelho lateral direito é convexo para aumentar o campo de visão do motorista. Entretanto, esse tipo de espelho modifica o tamanho e a posição da imagem em relação ao que seria observado em
um espelho plano. Por isso, esses espelhos geralmente apresentam uma etiqueta de advertência.
Considere um carro e um ciclista parados em um semáforo. O carro possui um espelho lateral convexo de raio de curvatura $R = 1,50\text{ m}$, e o ciclista está a $3,00\text{ m}$ do espelho. Sejam $d_c$ e $h_c$,respectivamente, a distância da imagem ao espelho e a altura da imagem formada pelo espelho convexo. Se o espelho fosse plano, essas mesmas grandezas seriam $d_p$ e $h_p$. Determine as razões:
(a) $d_c/d_p$ (b) $h_c/h_p$
Óptica
(a) Razão entre as distâncias da imagem ao espelho ($d_c/d_p$):
Para um espelho plano, os raios refletidos mantêm o mesmo comportamento geométrico, formando uma imagem virtual à mesma distância do espelho que o objeto:
$$d_p = p = 3,00\text{ m}$$
No espelho convexo, os raios de luz incidentes paralelos ao eixo principal sofrem reflexão e divergem. Como os raios refletidos reais não se cruzam, o foco principal $F$ é formado exclusivamente pelo cruzamento dos prolongamentos virtuais desses raios atrás da superfície refletora.
Por estar localizado na região virtual atrás do espelho, a distância focal é negativa ($f < 0$) na convenção de sinais de Gauss:
$$f = -\frac{R}{2} = -\frac{1,50\text{ m}}{2} = -0,75\text{ m}$$
Aplicando a Equação de Gauss para o espelho convexo com $p = 3,00\text{ m}$:
$$\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p’}$$
$$-\frac{1}{0,75} = \frac{1}{3,00} + \frac{1}{p’}$$
$$-\frac{4}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{p’} \implies \frac{1}{p’} = -\frac{5}{3} \implies p’ = -0,60\text{ m}$$
Como $p’ < 0$, a imagem é virtual. Logo:
$$d_c = |p’| = 0,60\text{ m}$$
Portanto:
$$\frac{d_c}{d_p} = \frac{0,60}{3,00} = 0,20$$
(b) Razão entre as alturas das imagens ($h_c/h_p$):
O aumento linear transversal $A_c$ no espelho convexo é dado por:
$$A_c = \frac{h_c}{h_o} = -\frac{p’}{p}$$
Substituindo $p’ = -0,60\text{ m}$ e $p = 3,00\text{ m}$:
$$A_c = -\frac{-0,60}{3,00} = 0,20 \implies h_c = 0,20 \cdot h_o$$
Como no espelho plano $h_p = h_o$, temos:
$$\frac{h_c}{h_p} = \frac{0,20 \cdot h_o}{h_o} = 0,20$$
(a) $0,20$ (ou $1/5$)
(b) $0,20$ (ou $1/5$)
Problema 10
Considere um fio composto pela união de dois trechos de comprimentos $L_1 = 12,5\text{ cm}$ e $L_2 = 75,0\text{ cm}$ e densidades lineares de massa $\mu_1 = 8,00\text{ g/m}$ e $\mu_2 = 2,00\text{ g/m}$, respectivamente. As extremidades do fio são mantidas fixas, e o fio é submetido a uma tensão $T = 20,0\text{ N}$.
Determine:
(a) o intervalo de tempo, em segundos, que um pulso demora para se propagar de uma extremidade à outra do fio;
(b) a menor frequência de ressonância, em Hz, para a qual a emenda entre os dois trechos é um nó da onda estacionária;
(c) quantos antinodos existem no segundo trecho do fio nessa ressonância.
Ondulatória
Dados convertidos para o SI:
$L_1 = 0,125\text{ m}$, $L_2 = 0,750\text{ m}$
$\mu_1 = 8,00 \times 10^{-3}\text{ kg/m}$, $\mu_2 = 2,00 \times 10^{-3}\text{ kg/m}$
$T = 20,0\text{ N}$
—
(a) Intervalo de tempo de propagação do pulso:
A velocidade de propagação em cada trecho é dada pela Fórmula de Taylor ($v = \sqrt{T/\mu}$):
Trecho 1: $v_1 = \sqrt{\frac{20,0}{8,00 \times 10^{-3}}} = 50\text{ m/s}$
Trecho 2: $v_2 = \sqrt{\frac{20,0}{2,00 \times 10^{-3}}} = 100\text{ m/s}$
O tempo gasto em cada trecho é $\Delta t = L/v$:
Trecho 1: $\Delta t_1 = \frac{0,125\text{ m}}{50\text{ m/s}} = 0,0025\text{ s}$
Trecho 2: $\Delta t_2 = \frac{0,750\text{ m}}{100\text{ m/s}} = 0,0075\text{ s}$
O tempo total é a soma dos tempos parciais:
$$\Delta t = 0,0025\text{ s} + 0,0075\text{ s} = 0,01\text{ s}$$
(b) Menor frequência de ressonância com a emenda sendo um nó:
Para que um segmento de corda de comprimento $L$ com extremidades fixas (nós) estabeleça uma onda estacionária, o seu comprimento deve abrigar um número inteiro $n$ de meios comprimentos de onda:
$$L = n\frac{\lambda}{2} \implies \lambda = \frac{2L}{n}$$
Pela relação fundamental das ondas ($v = \lambda f$), as frequências permitidas para um trecho de pontas fixas são:
$$f = \frac{v}{\lambda} = n\frac{v}{2L}$$
Como a emenda é um nó e as extremidades externas são fixas, cada trecho funciona como uma corda independente de pontas fixas, oscilando na mesma frequência $f$:
Frequência no trecho 1:
$$f = n_1\frac{v_1}{2L_1} = n_1\frac{50}{2 \cdot 0,125} = 200n_1\text{ Hz}$$
Frequência no trecho 2:
$$f = n_2\frac{v_2}{2L_2} = n_2\frac{100}{2 \cdot 0,750} = \frac{200}{3}n_2\text{ Hz}$$
Como a frequência $f$ deve ser a mesma nos dois segmentos acoplados:
$$200n_1 = \frac{200}{3}n_2 \implies n_2 = 3n_1$$
Para obter a menor frequência de ressonância, utilizam-se os menores números inteiros positivos: $n_1 = 1$ e $n_2 = 3$.
Substituindo $n_1 = 1$:
$$f = 1 \cdot 200\text{ Hz} = 200\text{ Hz}$$
(c) Número de antinodos no segundo trecho:
Como o segundo trecho opera no harmônico $n_2 = 3$, o seu comprimento comporta exatamente $3$ meios comprimentos de onda:
$$L_2 = 3\cdot\left(\frac{\lambda_2}{2}\right) = \frac{3}{2}\lambda_2$$
Cada meio comprimento de onda ($\lambda_2/2$) corresponde a um laço (ventre) da onda estacionária, contendo exatamente um pico de oscilação máxima. Como temos $\frac{3}{2}$ comprimentos de onda (ou 3 meias-ondas), existem 3 picos de oscilação máxima, resultando em 3 antinodos no segundo trecho.
(a) $0,01\text{ s}$ (ou $1,00 \times 10^{-2}\text{ s}$)
(b) $200\text{ Hz}$
(c) $3$
Problema 11
A figura, fora de escala, representa uma instalação hidráulica na qual um reservatório cúbico $R$, de capacidade máxima $1000\text{ L}$, alimenta uma única torneira $T$. As diferenças de altura indicadas na figura são $h = 2,50\text{ m}$ e $H = 4,00\text{ m}$
A tubulação possui seção transversal constante e uma emenda no ponto C. Considere o reservatório aberto à atmosfera, despreze as perdas de energia durante o escoamento e considere desprezível a velocidade de descida da superfície livre da água. No instante em que o reservatório contém $800\text{ L}$ de água, a torneira está aberta e a água escoa em regime estacionário. Determine:
a) a velocidade $v_C$ da água na emenda C, em $\text{m/s}$
b) a pressão manométrica $P_C – P_{atm}$ na emenda C, em atm.
Hidrodinâmica
Dado que temos um reservatório de capacidade de $1000\text{ L}$ cúbico, sabemos que cada aresta terá tamanho de $1\text{ m}$, pois todas as arestas devem ser iguais e elas ao cubo devem ser equivalente a $1000\text{ L} = 1\text{ m}^3$.
Agora utilizamos a equação de Bernoulli entre o topo do reservatório e a torneira. Sabemos que a distância entre eles será de $0,8\text{ m} + 6,5\text{ m}$ pois o reservatório possui $800\text{ L}$, a velocidade no topo será $0$ pelo enunciado. Além disso, suas pressões serão ambas iguais a $P_{atm}$.
Logo, usando que $p + \rho \cdot \frac{v^2}{2} + \rho \cdot g \cdot h = \text{cte}$, temos que:
$$P_{atm} + 1000\cdot \frac{v^2}{2} + 0 = P_{atm} + 0 + 1000\cdot g \cdot 7,3 \implies v = \sqrt{146} \approx 12,1 \text{ m/s}$$
Como a seção de área transversal e o fluxo são ambos constantes, então a velocidade também será constante no tubo fino, logo $v_c \approx 12,1 \text{ m/s}$.
Agora, para achar a diferença de pressão, usarei Bernoulli entre a torneira T e a seção C:
$$P_{atm} + 1000\cdot \frac{v^2}{2} + 0 = P_C + 1000\cdot \frac{v^2}{2} + 1000\cdot g \cdot 4 \implies P_C – P_{atm} = -40000\text{ Pa} = -0,4\text{ atm}$$
(a) $v_c \approx 12,1 \text{ m/s}$
(b) $P_C – P_{atm} = -0,4\text{ atm}$
Problema 12
Uma jovem skatista de massa $M = 51{,}0\text{ kg}$ gosta muito de brincar com Frida, sua cadela de massa $m = 6{,}00\text{ kg}$. Utilizando um skate de massa $3{,}00\text{ kg}$, ela desliza agachada sobre uma calçada horizontal lisa com velocidade de intensidade $v_{S,0} = 2{,}00\text{ m/s}$.
Frida vem correndo em sentido contrário com velocidade de intensidade $v_{F,0} = 6{,}00\text{ m/s}$ e salta nos braços da skatista. Considere positivo o sentido inicial de movimento da skatista e admita que Frida salta com a mesma velocidade com que vinha correndo.
Determine:
(a) a velocidade do conjunto skatista-skate-Frida imediatamente após Frida estar segura em seus braços;
(b) a energia mecânica dissipada durante a colisão, em joules.
Mecânica
Item (a)
Como a calçada é horizontal e lisa, não há forças externas horizontais atuando no sistema. Portanto, a quantidade de movimento horizontal se conserva:
$$Q_{\text{inicial}} = Q_{\text{final}}$$
$$M_{\text{conj}} \cdot v_{S,0} + m \cdot v_{F,0} = (M_{\text{conj}} + m) \cdot V_f$$
$$54{,}0 \cdot (+2{,}00) + 6{,}00 \cdot (-6{,}00) = (54{,}0 + 6{,}00) \cdot V_f$$
$$108 -36 = 60{,}0 \cdot V_f$$
$$72 = 60{,}0 \cdot V_f \implies V_f = \displaystyle \frac{72}{60{,}0} = 1{,}20\text{ m/s}$$
Como o valor é positivo, o conjunto continua se movendo no sentido inicial da skatista com velocidade de módulo $1{,}20\text{ m/s}$.
Item (b)
A energia mecânica dissipada ($E_{\text{diss}}$) é a diferença entre a energia cinética inicial total e a energia cinética final do sistema:
Energia cinética inicial:
$$E_{c,\text{inicial}} = \frac{1}{2} M_{\text{conj}} v_{S,0}^2 + \frac{1}{2} m v_{F,0}^2$$
$$E_{c,\text{inicial}} = \frac{1}{2} \cdot 54{,}0 \cdot (2{,}00)^2 + \frac{1}{2} \cdot 6{,}00 \cdot (-6{,}00)^2$$
$$E_{c,\text{inicial}} = 27{,}0 \cdot 4 + 3{,}00 \cdot 36 = 108 + 108 = 216\text{ J}$$
Energia cinética final:
$$E_{c,\text{final}} = \frac{1}{2} (M_{\text{conj}} + m) V_f^2$$
$$E_{c,\text{final}} = \frac{1}{2} \cdot 60{,}0 \cdot (1{,}20)^2 = 30{,}0 \cdot 1{,}44 = 43{,}2\text{ J}$$
Energia dissipada:
$$E_{\text{diss}} = E_{c,\text{inicial}} -E_{c,\text{final}} = 216 -43{,}2 = 172{,}8\text{ J}$$
(a) $1,20 \text{ m/s}$
(b) $172{,}8 \text{ J}$