Escrito por Tiago Rocha, Davi Tsuchi, David Ferro, Eduardo Shashike, Eyke Torres, Gustavo Sabará, Maria Beatriz Ximenes, José Ulisses e Mateus Bastos
Problema 1
Na navegação marítima, a velocidade é frequentemente medida em nós. Um estudante lê uma notícia informando que um cargueiro navega com velocidade escalar média de 25 nós. Sabendo que 1 nó é aproximadamente igual a 1800 m/h, determine a velocidade média do cargueiro em (a) km/h e (b) m/s.
Conceitos Matemáticos
Sabendo que $$1$$ nó são $$1800 m/h$$, então $$25$$ nós (regra de três) são $$1800 \cdot 25 m/h=45000m/h$$. Portanto, passando para $$km/h$$, temos $$45km/h$$. Para transformar $$km/h$$ em $$m/s$$, precisamos saber que $$1km=1000m$$ e $$1h=3600s$$. Assim, $$1m/s=3,6km/h\rightarrow 45km/h=12,5m/s$$.
(a) $$45km/h$$
(b) $$12,5m/s$$.
Problema 2
Uma empresa de sinalização viária está pintando a linha de bordo que separa a faixa de rolamento do acostamento. Essa linha é branca, contínua e tem largura de $15\text{ cm}$. A norma técnica estabelece que a tinta deve ser aplicada na taxa de $0{,}6\text{ L/m}^2$. Sabendo que a tinta é fornecida em latas de $18\text{ L}$, determine quantas latas são necessárias para pintar $1{,}00\text{ km}$ de linha de bordo.
Matemática
Podemos encontrar a área pintada:$A = 0{,}15\text{ m} \times 1000\text{ m} = 150\text{ m}^2$
Assim, o volume total de tinta necessário será: $V = 150\text{ m}^2 \times 0{,}6\text{ L/m}^2 = 90\text{ L}$
Logo, o número de latas será:
$n = \frac{90\text{ L}}{18\text{ L/lata}} = 5\text{ latas}$
5
Problema 3
Um corredor quer correr uma pista de $10\text{ km}$ em $40\text{ minutos}$.
(a) Qual deve ser sua velocidade média em $\text{km/h}$ para que isso seja possível?
(b) Se ele corre os primeiros $5\text{ km}$ numa velocidade de $12\text{ km/h}$, qual deve ser sua velocidade nos últimos $5\text{ km}$ para que ele consiga completar seu objetivo?
Cinemática
(a) Para encontrar a velocidade média em $\text{km/h}$, dividimos a distância total pelo tempo total em horas. O tempo total é de $40\text{ minutos}$, o que equivale a:
$$t = \frac{40}{60}\text{ h} = \frac{2}{3}\text{ h}$$
A velocidade média total é dada por:
$$v_m = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{10\text{ km}}{\frac{2}{3}\text{ h}} = 10 \cdot \frac{3}{2} = 15\text{ km/h}$$
(b) O tempo total disponível para completar o percurso é de $\frac{2}{3}\text{ h}$ (ou $40\text{ min}$).
Calculamos o tempo gasto nos primeiros $5\text{ km}$ com velocidade de $12\text{ km/h}$:
$$t_1 = \frac{\Delta S_1}{v_1} = \frac{5\text{ km}}{12\text{ km/h}} = \frac{5}{12}\text{ h}$$
Convertendo para minutos para facilitar:
$$t_1 = \frac{5}{12} \cdot 60\text{ min} = 25\text{ min}$$
Como o tempo total deve ser de $40\text{ min}$, o tempo restante para os últimos $5\text{ km}$ é:
$$t_2 = 40\text{ min} – 25\text{ min} = 15\text{ min} = \frac{15}{60}\text{ h} = \frac{1}{4}\text{ h}$$
Assim, a velocidade nos últimos $5\text{ km}$ deve ser:
$$v_2 = \frac{\Delta S_2}{t_2} = \frac{5\text{ km}}{\frac{1}{4}\text{ h}} = 5 \cdot 4 = 20\text{ km/h}$$
(a) $15\text{ km/h}$
(b) $20\text{ km/h}$
Problema 4
Em um laboratório de Física, um estudante encontra um termômetro cuja escala está apagada, exceto pelas marcações dos pontos A e B, que correspondem, respectivamente, às temperaturas $$T_A = 22,0^\circ C$$ e $$T_B = 94,0^\circ C$$.
O nível do líquido encontra-se no ponto X, como mostra a figura. Para determinar a temperatura $$T_X$$, o estudante mede as distâncias $$a = 4,00 cm$$ e $$b = 14,00 cm$$.
Determine a temperatura $$T_X$$, em graus Celsius.
Conceitos matemáticos
Um termômetro funciona a base de dilatação. Portanto, para cada $$1^\circ C$$, existe uma distância que o líquido vermelho se move, uma vez que a dilatação é aproximadamente linear. Se entre $$T_A$$ e $$T_B$$ existe uma distância de $$18,00cm$$, então $$T_B-T_A=94,0-22,0=72,0^\circ C$$ está contido em um espaço de $$18,00cm$$. Portanto, a cada $$1,00cm$$ a temperatura aumenta $$72/18=4,0^\circ C$$. Se $$T_X$$ está à $$4,00cm$$ de $$T_A$$, então o aumento de temperatura é $$4\cdot 4=16^\circ C$$. A temperatura $$T_X=22+16=38^\circ C$$.
$$T_X=38^\circ C$$
[/spoiler]
Problema 5
Do ponto de vista do consumo de energia, descongelar um alimento à temperatura ambiente pode economizar a energia que seria utilizada para aquecê-lo em um fogão ou forno de micro-ondas.
Considere que o calor necessário para descongelar uma porção de alimento seja equivalente ao necessário para fundir $500\text{ g}$ de gelo puro. Suponha que o alimento absorva calor do ambiente a uma taxa constante de $15\text{ J}\cdot\text{s}^{-1}$. Determine:
(a) a energia, em quilojoules ($\text{kJ}$), fornecida gratuitamente pelo ambiente durante o descongelamento;
(b) o tempo necessário para o descongelamento completo, em minutos.
Calorimetria
Item (a)
Primeiro, calculamos o calor latente em joules por grama:
$$L_f = 80\text{ cal/g} \times 4{,}2\text{ J/cal} = 336\text{ J/g}$$
A quantidade de calor necessária para a fusão é:
$$Q = m \cdot L_f$$
$$Q = 500\text{ g} \times 336\text{ J/g} = 168\,000\text{ J}$$
Em quilojoules:
$$Q = 168\text{ kJ}$$
Item (b)
Com a taxa constante de $P = 15\text{ J/s}$:
$$\Delta t = \displaystyle \frac{Q}{P} = \displaystyle \frac{168\,000\text{ J}}{15\text{ J/s}} = 11\,200\text{ s}$$
Convertendo para minutos:
$$\Delta t_{\text{min}} = \displaystyle \frac{11\,200\text{ s}}{60\text{ s/min}} = \displaystyle \frac{560}{3}\text{ min} \approx 186{,}67\text{ min}$$
(a) $Q = 168\text{ kJ}$
(b) $\Delta t_{\text{min}} \approx 186{,}67\text{ min}$
Problema 6
Um barbante está enrolado em um carretel cujo cilindro central tem raio $r = 1{,}50\text{ cm}$. Inicialmente, o barbante está enrolado até atingir um raio externo $R = 4{,}50\text{ cm}$, como mostra a figura.
A extremidade livre do barbante é puxada horizontalmente com velocidade constante $v = 2{,}00\text{ m/s}$. Determine o número de voltas por minuto realizadas pelo carretel quando:
(a) o rolo de barbante começa a ser desenrolado;
(b) o rolo de barbante está prestes a acabar.
Matemática
Sabemos que o tamanho de um círculo de raio $r$ será $l = 2\pi r$, assim cada volta é equivalente a $2\pi r$ ser puxado. Desse modo se puxamos com velocidade $v$, estamos puxando $\frac{v}{2\pi r}$ voltas por unidade de tempo.
Sabemos que $v = 2\text{ m/s} = 120\text{ m/min}$, logo para o item a) temos:
$$\frac{120}{2 \pi \cdot 4{,}5 \cdot 10^{-2}} = \frac{120 \cdot 10^2}{2 \cdot 3 \cdot 4{,}5} = \frac{120 \cdot 10^2}{27} \approx 444\text{ voltas por minuto}$$
Para o item b) é análogo, com:
$$\frac{v}{2\pi r} = \frac{120 \cdot 10^2}{9} \approx 133 \cdot 10$$
(a) $\approx 444$ voltas por minuto
(b) $\approx 133 \cdot 10$ voltas por minuto
Problema 7
Um grupo de estudantes se reúne em uma casa para fazer um trabalho sobre flutuação e cria uma brincadeira. Eles colocam tampas metálicas de potes de conserva, invertidas, para flutuar em uma vasilha com água. Dessa forma, cada tampa funciona como uma pequena barcaça, cuja cavidade serve de compartimento de carga.
A brincadeira consiste em determinar o número máximo de clipes que a “barcaça” consegue carregar sem afundar.
A tampa tem massa $M = 12,0\text{ g}$ e pode ser aproximada por um cilindro de paredes finas, com área da base $A = 42,0\text{ cm}^2$ e altura $h = 9,00\text{ mm}$. Cada clipe tem massa $m = 1,00\text{ g}$. Admita que a tampa está no limite de afundar quando sua borda atinge o nível da água. Determine o número máximo de clipes que a tampa pode carregar sem afundar.
Hidrostática
Para que o conjunto (tampa + clipes) não afunde, a força de empuxo máxima exercida pela água deve ser maior ou igual ao peso total do conjunto. A situação limite ocorre quando a tampa está totalmente submersa, prestes a afundar.
Primeiro, calculamos o volume total da tampa ($V$). Como ela é aproximada por um cilindro, transformamos a espessura para centímetros ($h = 9{,}0\text{ mm} = 0{,}90\text{ cm}$):
$$V = A \cdot h$$
$$V = 42 \cdot 0{,}90 = 37{,}8\text{ cm}^3$$
A força de empuxo máximo ($E_{max}$) é dada pelo peso do volume de água deslocado:
$$E_{max} = \rho_{a} \cdot V \cdot g$$
O peso total do conjunto ($P_{total}$) é a soma do peso da tampa e do peso de $n$ clipes:
$$P_{total} = (M + n \cdot m) \cdot g$$
Igualando a força de empuxo máximo ao peso total para encontrar a condição limite ($E_{max} = P_{total}$):
$$\rho_{a} \cdot V \cdot g = (M + n \cdot m) \cdot g$$
Podemos simplificar a gravidade ($g$) de ambos os lados:
$$\rho_{a} \cdot V = M + n \cdot m$$
Substituindo os valores conhecidos:
$$n = 25{,}8$$
Como a quantidade de clipes deve ser, obrigatoriamente, um número inteiro, não podemos colocar $25{,}8$ clipes. Se colocarmos $26$ clipes, a massa total passará do suportado e a tampa afundará. Portanto, o número máximo de clipes inteiros permitidos é o piso desse valor.
$$n_{max} = 25$$
25
Problema 8
Um cometa descreve uma trajetória elíptica em torno do Sol, como ilustrado na figura. O ponto O é o centro da elipse, $F_1$ e $F_2$ são seus focos, e o centro do Sol coincide com $F_1$. A posição do cometa é indicada pelo ponto C, sendo $r_1$ e $r_2$ suas distâncias aos focos $F_1$ e $F_2$, respectivamente. Para uma trajetória elíptica:
$r_1+r_2=2a$;
$v_p r_p = v_a r_a$.
Nessas expressões, a é o comprimento do semieixo maior da elipse; $r_p$ e $v_p$ são, respectivamente, a distância ao Sol e a velocidade do cometa no periélio (o ponto mais próximo do Sol); $r_a$ e $v_a$ são as mesmas grandezas no afélio (o ponto mais distante do Sol).
Considere o caso hipotético em que $a=5,00\text{ UA}$ (Unidade Astronômica), o semieixo menor tem comprimento $b=3,00\text{ UA}$ e $v_p=40,0\text{ km/s}$. Determine:
(a) a maior distância, em UA, que o cometa pode atingir em relação ao Sol;
(b) a distância do cometa ao Sol, em UA, quando ele passa por uma das extremidades do eixo menor da trajetória;
(c) a velocidade do cometa, em km/s, no afélio.
Gravitação
Item a)
Os três elementos geométricos da elipse $a, b, c$ se relacionam por um teorema de Pitágoras no triângulo Centro-Foco-Extremidade do eixo menor, em vista que, como veremos em b), $r_b=a$:
$$a^2=b^2+c^2$$
$$c=\sqrt{a^2-b^2}= 4 \text{ UA}$$
A maior distância ao sol ocorre no afélio (extremidade do eixo maior mais distante do sol), pelo desenho, podemos ver que isso equivale a um semieixo maior e uma distância focal:
$$r_a=a+c= 9 \text{ UA}$$
Item b)
Note que, nesse momento, $r_1=r_2$, por simetria:
$$r_b=\frac{2a}{2}=a=5 \text{ UA}$$
Item c)
Sabemos que:
\[
r_p = a-c = 1 \text{UA}
\]
Pois $r_a+r_p= 2a$. Logo, aplicando a outra equação
$v_p r_p = v_a r_a$.
\[
v_a = \frac{1 \cdot 40}{9} = 4,44 \text{km/s}
\]
(a) 9 UA
(b) 5 UA
(c) 4,44 km/s