Escrito por Akira Ito
Alguns problemas para você praticar a teoria estudada. O grau de dificuldade dos problemas está indicado com asteriscos (*). Problemas com 1 asterisco é o equivalente a um problema de primeira fase de OBF, 2 asteriscos (**) um de segunda fase, e 3 asteriscos (***) um de terceira fase.
Problema 01 *
Na figura abaixo, temos três vetores $$a$$, $$b$$ e $$c$$ representados pelas setas pretas. Com base em seus conhecimentos, assinale a alternativa que relaciona corretamente os vetores:
a) $$ \vec{a} = \vec{c} + \vec{b}$$
b) $$ \vec{a} – \vec{b} = – \vec{c} $$
c) $$ 2\cdot \vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$$
d) $$ \vec{a} + \vec{b} = – \vec{c} $$
e) $$ \vec{a} – \vec{b} + \vec{c} =\vec{0}$$
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Pela propriedade de adição geométrica de vetores, para somar um vetor $$\vec{V}$$ com um vetor $$\vec{U}$$, basta alinhar a ponta de do vetor $$\vec{V}$$ com a base do vetor $$\vec{U}$$ e ligar a base de $$\vec{V}$$ com a ponta de $$\vec{U}$$, conforme ilustra a figura. Assim, podemos escrever a relação $$\vec{V}+\vec{U}=\vec{W}$$
Dessa forma, note que os três vetores fecham um triângulo, de forma que podemos escrever a relação $$ \vec{a} + \vec{b} = – \vec{c} $$. Portanto a alternativa correta é a letra d). Note que podemos alterar a equação para que fique na forma $$ \vec{a} + \vec{b}+ \vec{c}=\vec{0} $$.
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Letra d)
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Problema 02 *
Imagine uma série de n vetores organizados de forma que eles formam um polígono fechado de n lados conforme ilustra a figura. Prove que a expressão abaixo é válida.
$$\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}+\vec{v}_{3}+ … + \vec{v}_{n} = \vec{0} $$
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Existem várias possíveis maneiras de explicar a expressão acima. Um exemplo é o seguinte:
Vamos fazer a adição dos vetores “de frente para trás”. Imagine apenas os últimos dois vetores $$\vec{v}_{n}$$ e $$ \vec{v}_{n-1} $$ sendo somados. Isso resultará em um vetor resultante que une a ponta do vetor $$ \vec{v}_{n-2} $$ até a base do vetor $$ \vec{v}_{1} $$. No fim do processo, obtemos um polígono com $$n-1$$ lados.
Podemos repetir esse processo várias vezes até obter um polígono com apenas 3 lados.
Isso vai resultar na resposta do item anterior, que confirma $$\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}+\vec{v}_{3}+ … + \vec{v}_{n} = \vec{0} $$.
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Veja a solução para conferir a demonstração!
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Problema 03 **
Um polígono regular de muitos lados é formado a partir de vários vetores de módulo igual, mas direções diferentes, conforme a figura abaixo ilustra:
Porém, o último vetor tem o seu sentido invertido. Quanto vale o módulo do vetor resultante da soma de todos os lados do polígono?
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Inicialmente temos o diagrama abaixo representando o nosso problema:
Podemos representar a soma vetorial com a seguinte expressão:
$$\vec{S}=\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}+…+\vec{a}_{n-1}-\vec{a}_{n}$$
Note que não podemos simplesmente chamar todos os vetores de $$\vec{a}$$ pois eles possuem direções e sentidos diferentes. Imagine agora que nós vamos somar e subtrair o vetor $$\vec{a}_{n}$$, que é o vetor em vermelho. O diagrama para esse processo está representado abaixo:
$$ \vec{S}=\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}+…+\vec{a}_{n-1}-\vec{a}_{n} +(+\vec{a}_{n}-\vec{a}_{n})$$
Note como agora nós temos um polígono fechado com a seta azul. Usando o resultado do problema anterior, podemos concluir que a resultante de todo o polígono é nula e restam apenas os dois vetores $$-\vec{a}_{n}$$:
$$ \vec{S}=(\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}+…+\vec{a}_{n-1}+\vec{a}_{n})-\vec{a}_{n}-\vec{a}_{n} $$
$$ \vec{S}=-2\vec{a}_{n} $$
Logo, a resultante possui módulo $$\vert \vec{S} \vert=2a$$.
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$$\vert \vec{S} \vert=2a$$
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Problema 04 *
Quatro vetores de fórça estão representados abaixo como lados de um quadrado. Sabendo que o módulo de um dos vetores vale $$10\,\textrm{N}$$, calcule a força resultante.
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Podemos separar os lados do quadrado a fim de formar duas diagonais, que estão marcadas em vermelho. Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:
$$ l = \sqrt{10^2 + 10^2} $$
$$ l=10\sqrt{2} $$
Como temos dois vetores vermelhos, basta multiplicar o resultado encontrado por dois:
$$ F_{res}=20\sqrt{2}\,\textrm{N} $$
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$$ F_{res}=20\sqrt{2}\,\textrm{N} $$
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Problema 05 *
Seis vetores de fórça de módulo igual e direções diferentes estão representados como lados de um hexágono regular. Sabendo que o módulo de um único vetor vale $$10\,\textrm{N}$$, calcule a força resultante.
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Vamos dividir a soma em duas partes. Considere a metade superior do hexágono representada abaixo. A resultante está representada em azul:
Já que se trata de um hexágono regular, podemos dividir seu interior em triângulos equiláteros, de forma que a resultante dessa metade tenha um módulo de $$20$$ N, já que equivale a 2 lados do hexágono. Como o processo para a metade inferior é exatamente o mesmo, a resultante vale $$\vec{F}_R=40$$ N.
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$$\vert \vec{F}_R \vert =40\,\textrm{N} $$
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Problema 06 *
Cinco vetores de fórça estão representados abaixo como lados e diagonais de um hexágono regular. Sabendo que o módulo do vetor $$\vec{c}$$ vale $$80\,\textrm{N}$$, calcule a força resultante.
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Podemos movimentar os vetores e alinhá-los com os vértices do hexágono a fim de formar os diagramas abaixo. Note que:
$$ \vec{a}+\vec{d}=\vec{c} $$
E também:
$$ \vec{b}+\vec{e}=\vec{c} $$
Logo a resultante vale:
$$ \vec{F}_R=3\vec{c}=240\,\textrm{N}$$
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$$ \vert \vec{F}_R\vert=3\vert\vec{c}\vert =240\,\textrm{N}$$
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Problema 07 *
(OBF) Use as letras “E” ou “V” para identificar, respectivamente, as grandezas físicas escalares e vetoriais.
- velocidade
- comprimento
- volume
- capacidade térmica
- impulso de uma força
A sequência correta é a representada por:
a) V-E-E-E-V
b) V-E-V-E-V
c) E-E-E-E-V
d) E-V-V-V-E
e) V-V-V-E-E
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Vamos analisar as grandezas individualmente e verificar se elas são vetoriais ou escalares:
- Velocidade: Vetorial
A velocidade depende do deslocamento de acordo com a expressão:
$$ \vec{v}=\dfrac{\Delta \vec{S}}{\Delta t} $$
O deslocamento é uma grandeza vetorial e, consequentemente, a velocidade também.
- Comprimento: Escalar
Comprimento, diferentemente do deslocamento, não carrega uma noção de direção. Apenas o módulo é relevante quando tratamos de comprimentos e por isso é classificado como grandeza escalar.
- Volume: Escalar
Novamente, não possui direção nem sentido, portanto é uma grandeza escalar.
- Capacidade Térmica
Novamente, não possui direção nem sentido, portanto é uma grandeza escalar.
- Impulso de uma Força
O impulso pode ser representado com a expressão:
$$ \vec{I}=\vec{F}\cdot \Delta t $$
Note como ele depende de uma força, que é vetorial. A direção do impulso é relevante no estudo de um determinado sistema, por isso é classificado como grandeza vetorial. Portanto, a resposta é letra a).
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Letra a)
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Problema 08 *
(OBF) Três forças atuam sobre um corpo em equilíbrio estático. Sejam $$F_1$$, $$F_2$$ e $$F_3$$ as magnitudes das forças atuantes sobre o corpo. A relação entre as forças e os ângulos mostrados na figura é:
a) $$\dfrac{F_1}{\sin{\theta}_{23}}=\dfrac{F_2}{\sin{\theta}_{31}}=\dfrac{F_3}{\sin{\theta}_{12}}$$
b) $$\dfrac{F_1}{\sin{\theta}_{31}}=\dfrac{F_2}{\sin{\theta}_{23}}=\dfrac{F_3}{\sin{\theta}_{12}}$$
c) $$\dfrac{F_3}{\sin{\theta}_{23}}=\dfrac{F_2}{\sin{\theta}_{31}}=\dfrac{F_2}{\sin{\theta}_{12}}$$
d)$$\dfrac{F_3}{\sin{\theta}_{23}}=\dfrac{F_2}{\sin{\theta}_{31}}=\dfrac{F_1}{\sin{\theta}_{12}}$$
e) $$\dfrac{F_3}{\sin{\theta}_{23}}=\dfrac{F_1}{\sin{\theta}_{31}}=\dfrac{F_2}{\sin{\theta}_{12}}$$
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No caso de equilíbrio estático, a força resultante é zero. De tal modo que, pela regra do polígono, podemos fazer a seguinte figura:
Pela lei dos senos, vemos que, então:
\[\dfrac{F_1}{\sin \theta_{23} }= \dfrac{F_2}{\sin \theta_{31} } = \dfrac{F_2}{\sin \theta_{12} }\]
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Letra a)
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Problema 09 *
(OBF – Adaptada) Durante as aulas sobre vetores, Gabriel Hemétrio desenhou no quadro a figura exposta abaixo, onde os segmentos de retas $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$, $$DA$$, $$AC$$ e $$BD$$, representam vetores, de tal forma que prevalece o sentido, ou seja, $$AB \not= BA$$. Assim, podemos representar o desenho abaixo , pela soma dos vetores, EXCETO em:
a) $$AB+BC+CA=0$$
b) $$BD= AB+AD$$
c) $$ AC+CD=AD $$
d) $$ AB+BD+DC=AC $$
e) $$ BA+BC=BD $$
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Após verificar cada uma das opções, percebemos que apenas o item b) está errado. A figura abaixo ilustra o diagrama de vetores proposto:
Note como $$AB+AD=AC$$ e não $$BD$$. Portanto o item errado é a Letra b).
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Letra b)
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Problema 10 *
No plano cartesiano abaixo, temos três vetores $$u$$, $$v$$ e $$w$$ representados por setas vermelhas. Faça o que for pedido:
a) Represente cada um deles na forma de versor, ou seja, separando as componentes $$\hat{x}$$ e $$\hat{y}$$.
b) Calcule a soma dos três vetores. Caso esteja com dificuldades nesse assunto, o NOIC de Física recomenda utilizar o Simulador de Vetores do PhET para ajudar na visualização dos processos.
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Usando as componentes, temos para cada um dos vetores (enumerando de cima para baixo):
$$\vec{v}_1= (-8)\hat{x}+(-4)\hat{y}$$
$$\vec{v}_2= (4)\hat{x}+(-4)\hat{y}$$
$$\vec{v}_3= (8)\hat{x}+(0)\hat{y}$$
A soma dos vetores é a soma das componentes de cada eixo:
$$ \vec{v}_1+\vec{v}_2 + \vec{v}_3=(-8+4+8)\hat{x}+ (-4-4+0)\hat{y}$$
$$ \vec{v}_1+\vec{v}_2 + \vec{v}_3=(+4)\hat{x}+ (-8)\hat{y}$$
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$$ \vec{v}_1+\vec{v}_2 + \vec{v}_3=(+4)\hat{x}+ (-8)\hat{y}$$
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Problema 11 *
Lucas Tavares deixou sua borracha cair em uma rampa de inclinação $$\theta=30^\circ$$, confome ilustra a figura abaixo. Podemos representar o peso da borracha na forma vetorial usando diferentes eixos de coordenadas. Dependendo do problema, o uso de alguns eixos facilita a solução.
Nesse caso, podemos decompor o peso nos eixos $$ (x, y) $$ na forma $$ (-P, 0) $$, ou seja $$\vec{P}=0\hat{x}-P\hat{y}$$. Usando seus conhecimentos de vetores e geometria plana, decomponha o vetor $$\vec{P}$$ nos eixos $$(x’, y’)$$.
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Usando os conhecimentos de geometria plana, podemos encontrar o ângulo que o vetor peso faz com a direção $$ y’$$:
Usando os conhecimentos de trigonometria, percebemos que:
$$ \vec{P}=(-P\sin{\theta})\hat{x}+(-P\cos{\theta})\hat{y} $$
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$$ \vec{P}=(-P\sin{\theta})\hat{x}+(-P\cos{\theta})\hat{y} $$
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Problema 12 **
Em um octógono regular sete vetores de mesmo módulo $$10\,\textbf{m}$$ estão organizados conforme a imagem abaixo ilustra. Calcule a soma dos vetores.
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Podemos usar uma ideia parecida que foi utilizada anteriormente. Vamos somar e subtrair os vetores azuis na imagem abaixo, de forma que a resposta final não é alterada, mas a visualização da resposta se torma mais fácil.
Note que os vetores que começam no centro do octógono e apontam radialmente para fora se cancelam por conta da simetria do problema, de forma que apenas o vetor azul que aponta para o centro sobra no fim da soma. Portanto, podemos afirmar que:
$$\vert \vec{V}\vert=10\,\textrm{m} $$
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$$\vert \vec{V}\vert=10\,\textrm{m} $$
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Problema 13 *
Calcule o módulo da soma dos vetores $$\vert\vec{a}\vert=10$$ e $$\vert\vec{b}\vert=5$$.
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Para resolver esse problema, basta utilizar a lei dos cossenos:
$$ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta $$
Sabendo que $$\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$$, temos:
$$ c=\sqrt{175} $$
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$$ c=\sqrt{175} $$
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Problema 14 **
O vetor $$\vec{a}$$ possui módulo fixo de $$ 10 $$ N. O ângulo entre o vetor $$ \vec{a}$$ e $$ \vec{b}$$ vale $$ \theta=30^\circ $$. O vetor $$ \vec{b}$$ possui módulo variável, mas direção fixa. Calcule o menor valor da diferença $$\vec{b}-\vec{a}=\vec{c}$$.
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A menor diferença correposde ao menor valor possível para o vetor $$ \vec{c} $$. Podemos afirmar que o menor valor do vetor $$\vec{c}$$ acontece quando a direção desse vetor for penpendicular à direção do vetor $$\vec{b} $$. Isso acontece pois a menor distância entre um ponto e uma reta é o segmento perpendicular à reta que passa por esse ponto.
Logo, o menor valor da diferença vale:
$$\vert \vec{c}\vert=a\sin\theta $$
$$ \vert\vec{c}\vert=5 $$
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$$\vert \vec{c}\vert=5 $$
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Problema 15 *
O vetor $$\vec{v}$$ está girando ao redor da origem com velocidade angular $$\omega$$. Escreva as componentes do vetor $$\vec{v}$$ nos eixos $$x$$ e $$y$$ em função do tempo sabendo que inicialmente o vetor $$\vec{v}$$ se encontrava alinhado com o eixo $$y$$.
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Podemos encontrar o ângulo $$\theta$$ em função do tempo usando a definição da velocidade angular:
$$ \omega=\dfrac{\Delta \theta}{\Delta t} $$
$$ \theta = \omega t $$
Logo, usando os conceitos da trigonometria, temos:
$$ \vec{v}=(v\sin{\omega t})\hat{x} + (v\cos{\omega t})\hat{y} $$
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$$ \vec{v}=(v\sin{\omega t})\hat{x} + (v\cos{\omega t})\hat{y} $$
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