Aula de Paulo César
Como visto na aula de torques, o momento de inércia é uma grandeza de grande importância quando estudamos a dinâmica de corpos rígidos, nessa aula aprofundaremos nossos conceitos a respeito desse tópico.
Quando tratamos de uma partícula com dimensões desprezíveis e massa constante, podemos afirmar:
$$\vec{F}_{res}=m\vec{a}$$
analogamente, para um corpo rígido extenso sujeito à um torque resultante é possível escrever:
$$\vec{\tau}=I\vec{\alpha}$$
Observa-se desse modo um equivalente à massa do corpo na primeira situação para um corpo extenso em rotação, grandeza conhecida como momento de inércia que pode ser interpretada como a resistência de um material à mudanças em seu movimento angular. Para um distribuição discreta de $$n$$ massas, estando a i-ésima massa a uma distância $$r_{i}$$ do eixo de rotação, o valor do momento de inércia é dado pela expressão:
$$I=\sum m_{i}r^2_{i}$$
Figura 1: Esquema representativo das grandezas relevantes para o momento de inércia no caso discreto.
para uma distribuição contínua podemos imaginar infinitas massas infinitesimais, desse modo temos:
$$I=\int r^2dm$$
Figura 2: Esquema representativo das grandezas relevantes para o momento de inércia no caso contínuo.
Por exemplo, para uma barra delgada de massa $$m$$ uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento $$l$$, o momento de inércia ao redor do centro de massa é dado por:
$$I=\int r^2dm \Rightarrow I=\frac{m}{l}\int_{-l/2}^{l/2}r^2dr$$
$$ \Rightarrow I = \frac{ml^2}{12}$$
Caso o leitor não possua conhecimento de cálculo existem inúmeras tabelas que contém os valores dos momentos de inércia mais comuns.
A fim de facilitar o cálculo dos momentos de inércia apresentaremos dois teoremas que possibilitarão a obtenção dessas quantidades sem muito esforço. Considere um conjunto de $$n$$ massas em que o vetor $$\vec{r_{i}}$$ é a componente perpendicular do vetor posição da partícula em um referencial $$S$$, além disso definiremos o vetor $$\vec{R}$$ como o vetor da posição do centro de massa das $$n$$ partículas e o vetor $$\vec{r_{i}}’$$ como a componente do vetor posição da i-ésima massa que é perpendicular ao eixo de rotação, conforme a figura a seguir:
Figura 3: Imagem ilustrando os parâmetros relevantes para a determinação do momento de inércia de um corpo através do teorema dos eixos paralelos.
Assim é possível afirmar que:
$$\vec{r_{i}}=\vec{d}+\vec{r_{i}}’ \Rightarrow r_{i}^2 = d^2 + r_{i}’^2 + 2(\vec{d}\cdot\vec{r_{i}}’)$$
portanto o momento de inércia do sistema no referencial $$S$$ é dado por:
$$I=\sum m_{i}d^2 + \sum m_{i}r_{i}’^2 + 2\sum (\vec{d}\cdot\vec{r_{i}}’)$$
Faremos então $$I_{CM}\equiv \sum m_{i}r_{i}’^2$$, ou seja, o momento de inércia em relação ao centro de massa do sistema. Observe que $$\vec{d}$$ é constante durante a soma das massas sendo possível dessa forma retirá-lo do somatório devido à propriedade $$\vec{A}\cdot(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\cdot\vec{B} + \vec{A}\cdot\vec{C}$$ resultando em:
$$I=I_{CM}+Md^2+2\vec{d}\cdot\sum m_{i}\vec{r_{i}}’$$
Em que $$M \equiv \sum m_{i}$$, ou seja, a massa total do sistema. Porém o termo $$\sum m_{i}\vec{r_{i}}’$$ é, por definição, a posição do centro de massa em seu próprio referencial vezes a massa total do conjunto e portanto o vetor nulo. Assim chegamos no teorema dos eixos paralelos:
$$I=I_{CM}+Md^2$$
A demonstração foi feita para um distribuição discreta porém os mesmos argumentos poderiam ser utilizados para o caso contínuo.
Agora suponha que o mesmo conjunto esteja disposto em um plano e possua momento de inércia $$I_{x}$$ e $$I_{y}$$ nos eixos $$x$$ e $$y$$, respectivamente. Pela definição de momento de inércia no eixo $$z$$ teremos:
$$I_{z}= \sum m_{i}{r_{i}^2}$$
nesse caso a distância $$r_{i}$$ coincide com a distância da partícula à origem do sistema de referência de forma que $$r_{i}^2=x_{i}^2+y_{i}^2$$, como pode ser verificado pela imagem:
Figura 4: Imagem ilustrando os parâmetros relevantes para a determinação do momento de inércia de um corpo através do teorema dos eixos perpendiculares.
Portanto:
$$I_{z}=\sum m_{i}x_{i}^2 + \sum m_{i}y_{i}^2$$
logo:
$$I_{z}=I_{x}+I_{y}$$
Esse é o teorema dos eixos perpendiculares, válido apenas para objetos planos. Novamente, os mesmos argumentos utilizados aqui poderiam ser usados para um distribuição contínua. De maneira geral, o momento de inércia em um eixo ortogonal ao plano do corpo é igual à soma dos momentos de inércia de dois momentos de inércia em eixos perpendiculares ao longo desse plano.
Continuando no cenário que estamos estudando, podemos encontrar a energia cinética de um conjunto de partículas se movendo. Para fazer isso, afirmaremos que a velocidade de uma partícula $$(\vec{v_{i}})$$ pode ser expressa como a soma da velocidade do centro de massa $$(\vec{V})$$ do sistema com a velocidade da partícula em relação ao centro de massa $$(\vec{v}_{i}’)$$, matematicamente:
$$\vec{v}=\vec{V}+\vec{v}’ \Rightarrow v^2=V^2+v’^2+2(\vec{V}\cdot\vec{v’})$$
logo, a energia cinética total do corpo é dada por:
$$T=\sum \frac{1}{2}m_{i}v_{i}^2 \Rightarrow T=\frac{1}{2}\sum m_{i}V^2 + \frac{1}{2}\sum m_{i}v_{i}’^2+\vec{V}\cdot\sum m_{i}\vec{v_{i}’}$$
Similarmente, o termo $$\sum m_{i}\vec{v_{i}’}$$ representa a massa total do corpo vezes a velocidade de centro de massa em seu próprio referencial que é $$\vec{0}$$. O módulo da velocidade de uma partícula no referencial do centro de massa é dada por $$v_{i}’=\omega r_{i}’$$ portanto:
$$T=\frac{1}{2}MV^2+\frac{1}{2}\omega^2\sum m_{i}r_{i}’^2 \Rightarrow T=\frac{1}{2}MV^2+\frac{1}{2}I_{CM}\omega^2$$
Assim, é possível a calcular a energia cinética do corpo o tratando como uma partícula de dimensões desprezíveis de massa $$M$$ e velocidade $$V$$ e em seguida somar a contribuição relacionada à rotação do corpo dada por $$\frac{1}{2}I_{CM}\omega^2$$ fazendo novamente analogia ao caso linear em que $$m \rightarrow I$$ e $$v \rightarrow \omega$$. Mais uma vez, os argumentos que foram utilizados para partículas discretas seguem análogos ao caso contínuo.