Aula de Diogo Netto
Revisado por Pedro Tsuchie
Introdução
Agora que já discutimos a cinemática, podemos começar nosso estudo de dinâmica, que consiste na parte da Física que estuda como agentes externos (forças, impulsos, etc.) alteram o movimento. Na dinâmica, o tratamento vetorial das grandezas como deslocamento, velocidade e aceleração será essencial.
Deslocamentos, velocidades, acelerações… Vetores!
Usando o conceito discutido na Aula 0, podemos descrever a posição de um objeto no plano (ou no espaço) através de um vetor $$\vec{r}$$, como mostra a figura.
Dadas as posições $$\vec{r_1}$$ e $$\vec{r_2}$$ de um corpo nos instantes $$t_1$$ e $$t_2$$, adivinhe só… definimos a velocidade vetorial média como:
$$\displaystyle \vec{v}_{med}=\frac{\vec{r_2}-\vec{r_1}}{t_2-t_1}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$$
Note que $$\vec{v}_{med}$$ é paralelo a $$\Delta\vec{r}$$
Analogamente, dadas as velocidades $$\vec{v_1}$$ e $$\vec{v_2}$$ em $$t_1$$ e $$t_2$$, definimos a aceleração vetorial média como:
$$\displaystyle\vec{a}_{med}=\frac{\vec{v_2}-\vec{v_1}}{t_2-t_1}=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$$
Note que $$\vec{a}_{med}$$ é paralelo a $$\Delta\vec{v}$$
Observação 1: de modo análogo ao que fizemos na Aula 1, podemos pensar nas grandezas instantâneas como sendo aquelas tomadas para intervalos de tempo muito pequenos.
Assim, a velocidade vetorial instantânea $$\vec{v}$$ (ou simplesmente velocidade) será aquela tomada quando os instantes $$t_1$$ e $$t_2$$ são muito próximos.
Definimos a aceleração vetorial instantânea $$\vec{a}$$ (ou simplesmente aceleração) de modo análogo.
Observação 2: Desenhando o deslocamento vetorial para instantes infinitamente próximos, chegamos que a velocidade tem direção tangente à trajetória.
Leis de Newton
Com a nossa discussão de vetores já feita, podemos falar das três leis que regem a dinâmica.
1ª Lei
Um corpo em repouso ou em movimento retilíneo uniforme (os dois casos em que a aceleração é vetorialmente nula) tenderá a permanecer nesse estado a menos que uma força externa aja no sistema. Tal Lei é também conhecida por Princípio da Inércia, pois expressa a tendência dos corpos de manter seus estados de movimento.
2ª Lei
Suponha que um corpo de massa $$m$$ esteja sujeito a forças $$\vec{F}_1,\vec{F}_2,…,\vec{F}_n$$, definimos a força resultante como $$\vec{F}_{res}=\vec{F}_1+\vec{F}_2+…+\vec{F}_n=\sum_{i=1}^{n} \vec{F}_i$$ (note que a soma é vetorial!)
No caso, a 2ª Lei de Newton nos diz que (caso a massa do corpo não varie), vale que:
$$\displaystyle\vec{F}_{res}=m\cdot\vec{a}$$
Essa equação aponta para dois fatos interessantes: Quanto mais massa um corpo possui, mais difícil é fornecer uma dada aceleração e a força e a aceleração possuem a mesma direção e sentido. De fato, não esperamos que ao empurrar uma caixa para a direita ela acelere para qualquer outro lugar!
3ª Lei
Suponha que dois corpos A e B interajam entre si (por meio de uma corda com massa desprezível, por exemplo)
No caso, chamando de $$\vec{F}_{AB}$$ como a força que B exerce em A, e $$\vec{F}_{BA}$$ a força que A exerce em B (como mostrado acima), a 3ªLei de Newton nos diz que:
$$\displaystyle\vec{F}_{AB}=-\vec{F}_{BA}$$
Detalhe muito importante: Note que pela nossa definição, as forças $$\vec{F}_{AB}$$ e $$\vec{F}_{BA}$$ agem em corpos diferentes, por isso não faz sentido falar que tais forças se anulam!
Máquina de Atwood: uma aplicação das Leis de Newton
Para mostrar como utilizamos as Leis de Newton para resolver problemas de dinâmica, vamos considerar o seguinte sistema, em que os corpos A e B (de massas $$m_A<m_B$$, respectivamente) estão ligados por uma corda inextensível e de massa desprezível, sendo que esta última passa por uma polia sem massa onde não há atrito.
Pela 3ª Lei, as trações que agem em A e B devem ter módulos iguais, porém sentidos opostos, como mostrado na figura. Considerando que temos os pesos $$mg$$ e trações $$T$$ como forças relevantes para o problema (daremos mais detalhes sobre essas forças na próxima aula), vamos escrever a 2ª Lei para o corpo A:
$$\displaystyle\vec{F}_{res,A}=T\hat{y}-m_Ag\hat{y}=m_A\vec{a}_A$$
E para o corpo B:
$$\displaystyle\vec{F}_{res,B}=T\hat{y}-m_Bg\hat{y}=m_B\vec{a}_B$$
Pelo fato do fio ser inextensível, A e B devem se mover uma mesma distância em um mesmo tempo. Podemos escrever isso como $$\vec{a}_A=-\vec{a}_B$$. Considerando $$m_B>m_A$$ temos que B se move para baixo e A para cima, conforme a figura. Assim, podemos denotar $$\vec{a}_A=a\hat{y}$$ e $$\vec{a}_B=-a\hat{y}$$.
Assim,
$$\displaystyle\vec{F}_{res,A}=T\hat{y}-m_Ag\hat{y}=m_Aa\hat{y} \Rightarrow T-m_Ag=m_Aa$$
$$\displaystyle\vec{F}_{res,B}=T\hat{y}-m_Bg\hat{y}=-m_Ba\hat{y} \Rightarrow m_Bg-T=m_Ba$$
Resolvendo o sistema, obtemos $$\displaystyle a=\frac{(m_B-m_A)g}{(m_A+m_B)}$$ e $$T=\displaystyle\frac{(2m_Am_B)g}{(m_A+m_B)}$$
Vínculos geométricos
No exemplo em questão, foi fácil encontrar o vínculo geométrico envolvido. Porém em muitos exercícios essa é a parte mais complicada. Portanto listaremos métodos que podem tornar o processo mais fácil. Recomendamos que você leia esta ideia, mas apresentaremos outra maneira de você encontrar os vínculos. A ideia consiste em dizer que o trabalho do fio depois dos deslocamentos é $$0$$. Se você ainda não sabe o que é trabalho, para nossos propósitos, basta saber que ele é força vezes distância. Como exemplo, tente resolver os exercícios, que utilizarão essa ideia na solução.
Truques
1) Em exercícios de dinâmica sempre defina um sentido positivo e mantenha-o até o fim do problema.
2) Tente escolher um sistema para marcar as forças de maneira que você ignore forças que não são pedidas ou conhecidas.
3) Teste casos limites: alguma massa quase $$0$$, alguma massa muito grande, ângulos muito pequenos, ângulos muito grandes, etc. Enfim, teste casos em que você sabe o que irá acontecer para conferir se sua resposta está correta. Isso vai fazer com que você perceba erros de conta.
4) Outra coisa para perceber erros é sempre checar se suas respostas estão dimensionamente corretas, isto é , veja se as unidades estão batendo. Por exemplo se você chegar que $$F=mv$$, você sabe que está errado pois força não tem dimensão de velocidade vezes massa.