Problemas Aula 3.3 – Refração e o princípio de Huygens

Pela relação fundamental da ondulatória:

$$v=\lambda f$$

Assim, temos que :

$$f_{1}=\frac{v_{1}}{\lambda _{1}}=8,0 \; \rm{Hz}$$

Como a frequência não se altera, temos que $$f_{1}=f_{2}$$

Logo,

$$\boxed{\lambda _{2}=\frac{v_{2}}{f _{2}}=1,0 \; \rm{m}}$$

$$\boxed{\lambda _{2}=1,0 \; \rm{m}} $$

Pela relação de Taylor (vista na Aula 3.1) $$v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$$. Pelo enunciado, $$\mu _{1}<\mu _{2}$$. Então:

$$\frac{T}{v_{1}^{2}}<\frac{T}{v_{2}^{2}}\Rightarrow v_{2}<v_{1}$$

Pelas equações vistas pela teoria:

$$A_{r}=\frac{v_{2}-v_{1}}{v_{1}+v_{2}}A_{i}$$ e $$A_{t}=\frac{2v_{2}}{v_{1}+v_{2}}A_{i}$$

Onde $$A_{r}$$ representa a amplitude da onda refletida, $$A_{i}$$ a amplitude da onda incidente e $$A_{t}$$ a amplitude da onda refratada(ou transmitida).

Como $$v_{2}<v_{1}\Rightarrow v_{2}-v_{1}<0$$. Portanto, temos que $$A_{r}$$ tem sinal oposto a $$A_{i}$$ e é menor que $$A_{i}$$. Assim como $$A_{t}<A_{i}$$. Logo, o esboço ficaria algo como

a)Pela relação fundamental da ondulatória:

$$c_1=\lambda_1 f_1$$

$$\boxed{\lambda_1=\frac{c_{1}}{f_{1}}=1,0 \; \rm{m}}$$

c)Novamente, a frequência permanece a mesma $$\boxed{f_1=f_2=340 \; \rm{Hz}}$$:

c)Sendo, $$f_1$$=$$f_2$$:

$$\boxed{\lambda_2=\frac{c_{2}}{f_{2}}\approx 4,26 \; \rm{m}}$$

a)$$\boxed{\lambda_1=1,0 \; \rm{m}}$$

b) $$\boxed{f_1=f_2=340 \; \rm{Hz}}$$

c) $$\boxed{\lambda_2 \approx 4,26 \; \rm{m}}$$

Pela Lei de Snell, temos que:

$$\dfrac{\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}=\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}$$

Onde $$\theta _{1}$$ é o ângulo entre o raio da onda incidente e a normal e $$\theta _{1}$$ é o ângulo entre o raio da onda refratada e a normal. É possível ver que esse ângulo é igual ao ângulo entre a frente de onda e a superfície refratora(que é o ângulo dado). Logo,

$$\dfrac{\sin 53^{\circ}}{\sin 37^{\circ}}=\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}\Rightarrow 0,75=\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}\Rightarrow \dfrac{4}{3}=\dfrac{\lambda _1}{\lambda _2}\Rightarrow \lambda _2=0,75\lambda _1$$

Logo, $$\boxed{p_1=100-75=25}$$

Como a frequência não muda:

$$\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}=\dfrac{v _{1}}{v _{2}}$$

Portanto, $$\boxed{p_2=25}$$

$$\boxed{p_1=p_2=25}$$

Calculando as profundidades:

$$c=\dfrac{2h}{\Delta t}$$

O fator de 2 aparece pois é incluido o tempo de ida e volta da onda emitida pelo sonar.

Logo, os valores das profundidades são:

$$h_{1}=\dfrac{\Delta t_{1}c}{2}=14m$$ e $$h_{2}=\dfrac{\Delta t_{2}c}{2}=52 \; \rm{m}$$

Como a frequência não muda:

$$\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}=\dfrac{v _{1}}{v _{2}}=\sqrt{\dfrac{h_{1}}{h_{2}}}$$

$$\boxed{\lambda _{2}=\lambda _{1}\sqrt{\dfrac{h_{2}}{h_{1}}}=\sqrt{3} \; \rm{cm}}$$

Pela lei de Snell

$$\dfrac{\sin\alpha }{\sin\beta }=\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}\Rightarrow \sin\beta=\sin\alpha \dfrac{\lambda _{2}}{\lambda _{1}}\Rightarrow \sin\beta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\boxed{\beta=60^{\circ}}$$

$$\boxed{\lambda _{2}=\sqrt{3} \; \rm{cm}}$$

$$\boxed{\beta=60^{\circ}}$$

O trecho refletido do pulso será representado em vermelho; o trecho incidente do pulso será representado em azul; o trecho refratado do pulso será representado em roxo, e o pulso resultante será representado em preto.

Pelas equações vistas pela teoria:

$$A_{r}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{1}+v_{2}}A_{i}$$ e $$A_{t}=\dfrac{2v_{2}}{v_{1}+v_{2}}A_{i}$$

Substituindo a velocidade pela relação de Taylor (vista na Aula 3.1) $$v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu }}$$

$$A_{t}=\dfrac{2\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{2}}}}{\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{2}}}+\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{1}}}}A_{i}\Rightarrow A_{t}=\dfrac{2}{1+\sqrt{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}}}A_{i}\Rightarrow A_{t}=\dfrac{2}{3}A_{i}$$

$$A_{r}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{2}}}-\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{1}}}}{\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{1}}}+\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{2}}}}A_{i}\Rightarrow A_{r}=\dfrac{1-\sqrt{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}}}{\sqrt{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}}+1}A_{i}\Rightarrow A_{r}=-\dfrac{1}{3}A_{i}$$

Logo, a amplitude da onda refletida sofre inversão de fase e vale $$\dfrac{1}{3}$$ da amplitude incidente. Já a amplitude da onda refratada não muda de fase e vale $$\dfrac{2}{3}$$ da amplitude incidente

a)

b)

c)

d)

Ver a solução

Sendo a amplitude da onda refratada(ou transmitida) dada por:

$$A_{t}=\dfrac{2v_{2}}{v_{1}+v_{2}}A_{i}$$

Pela relação de Taylor (vista na Aula 3.1) $$v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu }}$$ onde $$\mu$$ representa a densidade linear e $$T$$, a tração

Logo, a amplitude da onda refratada torna-se:

$$A_{t}=\dfrac{2\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{2}}}}{\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{2}}}+\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{1}}}}A_{i}\Rightarrow A_{t}=\dfrac{2}{1+\sqrt{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}}}A_{i}$$

A densidade volumétrica é dada por $$\rho =\dfrac{m}{V}=\dfrac{m}{l A}=\dfrac{\mu }{A}$$. Portanto,

$$A_{t}=\dfrac{2}{1+\sqrt{\dfrac{\rho _{2}A_{2}}{\rho _{1}A_{1}}}}A_{i}$$

Como $$A_{t}=A_{i}\Rightarrow \rho _{2}A_{2}=\rho _{1}A_{1} \Rightarrow \rho _{x}d^2=\rho _{0}r^2$$ onde d é o raio de um disco do cone em uma distância x. Para encontrar d em função de x, pode-se criar o seguinte triângulo:

Por semelhança de triângulos

$$\dfrac{l}{r}=\dfrac{h+l}{R}\Rightarrow l=\dfrac{rh}{R-r}$$

Novamente,por semelhança de triângulos

$$\dfrac{l}{r}=\dfrac{x+l}{d}\Rightarrow d=r+\dfrac{x(R-r)}{h}$$

Logo,substituindo na $$d$$ em $$\rho _{x}d^2=\rho _{0}r^2$$

$$\boxed{\rho _{x}=\rho _{0}\left (\dfrac{r}{r+\dfrac{x(R-r)}{h}} \right )^{2}}$$

$$\boxed{\rho _{x}=\rho _{0}\left (\dfrac{r}{r+\dfrac{x(R-r)}{h}} \right )^{2}}$$

Como o comprimento das duas corda é L. Temos que:

$$t=\dfrac{L}{v_1}+\dfrac{L}{v_2}$$

Como a frequência é a mesma

$$\dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{\lambda _1}{\lambda _2}=4$$

Substituindo,

$$10=L\left ( \dfrac{1}{v_{1}}+\dfrac{1}{v_{2}} \right ) \Rightarrow 10=\dfrac{5L}{4v_{2}}\Rightarrow \dfrac{L}{v_{2}}=8\; \rm{s}$$

Caso a corda fosse feita apenas pelo material da corda 2, o tempo seria:

$$\boxed{t’=\dfrac{2L}{v_{2}}=16\; \rm{s}}$$

$$\boxed{t’=16\; \rm{s}}$$

A frequência não se altera. Logo, a frequência após a refração é $$\boxed{f = 30 \; \rm{Hz}}$$

Entretanto, o comprimento de onda se altera. Pela lei de Snell:

$$\dfrac{\sin\alpha }{\sin\beta }=\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}=\dfrac{v_{1}}{v_{2}}$$

$$\boxed{\lambda _{2}=\lambda _{1}\dfrac{\sin\beta }{\sin\alpha }=10 \; \rm{cm}}$$

Pela relação fundamental da ondulatória $$\boxed{v_2=\lambda _{2}f=300\; \rm{cm/s}=3\; \rm{m/s}}$$

$$\boxed{\lambda _{2}=10 \; \rm{cm}}$$

$$\boxed{f = 30 \; \rm{Hz}}$$

$$\boxed{v_2=3\; \rm{m/s}}$$

Pela relação de Taylor (vista na Aula 3.1):$$v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu }}$$ onde $$\mu$$ representa a densidade linear e $$T$$, a tração

$$v_{1}=\sqrt{\dfrac{T}{\mu _1}}=\dfrac{L}{t_1}$$ e $$v_{2}=\sqrt{\dfrac{T}{\mu _2}}=\dfrac{L}{t_2}$$

Como Otávio considerou que $$\mu _{3}=\mu _{2}+\mu _{1}$$

$$v_{3}=\sqrt{\dfrac{T}{\mu _1+\mu _2}}=\dfrac{2L}{t_1+t_2}$$

Substituindo os tempos,

$$v_{3}=\dfrac{2L}{\dfrac{L}{v_1}+\dfrac{L}{v_2}}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}}$$

Substituindo as velocidades e rearranjando,

$$2=\dfrac{\sqrt{\mu _{1}}+\sqrt{\mu _{2}}}{\sqrt{\mu _{1}+\mu_2}}$$

Criando uma variavel $$k=\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}$$

$$\dfrac{1+\sqrt{k}}{\sqrt{1+k}}=2$$

Resolvendo pra k:

$$9k^{2}+14k+9=0$$

Calculando determinante:

$$\Delta =14^{2}-4\cdot 9\cdot 9=-128<0$$

Logo, infelizmente, Otavio não vai estar certo em nenhum caso

Não há casos em que Otávio estará certo $$\text{:(}$$

Como a frequência não se altera na refração:

$$\dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{\lambda _1}{\lambda _2}$$

Portanto,

$$\boxed{\lambda _2=\lambda _1\dfrac{v_2}{v_1}=90 \; \rm{cm}}$$

$$\boxed{\lambda _2=90 \; \rm{cm}}$$

Sabendo que a frequência é constante durante a refração

$$\dfrac{v_I}{v_{II}}=\dfrac{\lambda _I}{\lambda _{II}}=3$$

Vimos que a amplitude da onda refratada(ou transmitida) dada por:

$$A_{t}=\dfrac{2v_{2}}{v_{1}+v_{2}}A_{i}$$

Onde $$A_{t}$$ é a amplitude da onda refratada, $$v_1$$ é a velocidade no meio incidente, $$v_2$$ é a velocidade no meio refratado e $$A_{i}$$é a amplitude da onda incidente

Logo, a refração do meio I para o meio II é dada por:

 $$A_{t}=\dfrac{2v_{II}}{v_{I}+v_{II}}A_{i} \Rightarrow A_{t}=\dfrac{2}{\dfrac{v_{I}}{v_II}+1}A_{i} \Rightarrow A_{t}=\dfrac{2}{3+1}A_{i} \Rightarrow A_{t}=\dfrac{A_{i}}{2}$$

Entretanto, a refração do meio II para o meio I é dada por

$$A_{t}=\dfrac{2v_{I}}{v_{I}+v_{II}}A_{i}\Rightarrow A_{t}=\dfrac{2\dfrac{v_{I}}{v_{II}}}{\dfrac{v_{I}}{v_{II}}+1}A_{i}\Rightarrow A_{t}=\dfrac{3}{2}A_{i}$$

É importante ressaltar que $$A_{i}$$ não é constante, já que a onda incidente no primeiro meio não é a mesma onda incidente no segundo meio. O correto é considerar a onda refratada como sendo a “nova onda incidente”

Logo, considerando que a onda inicial tem amplitude $$A_{0}$$. Temos que a amplitude da onda após a primeira refração(meio I para meio II) é dada por $$\dfrac{A_{0}}{2}$$ e após a segunda refração(meio II para meio I) $$\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{A_{0}}{2}=\dfrac{3A_{0}}{4}$$.

É possível perceber que esse processo se repete indefinidamente, já que como foi dito no enunciado, os meios I e II mudam de maneira alternada. Logo, a cada 2 refrações consecutivas a amplitude torna-se $$\dfrac{3}{4}$$ da amplitude inicial. Portanto, é possível perceber que caso a quantidade de refrações seja par(ou seja, termine em uma refração do meio II para o meio I), a amplitude torna-se $$A_{t}=\left (\dfrac{3}{4} \right )^{\dfrac{n}{2}}A_{0}$$

E caso a quantidade de refrações seja ímpar(ou seja, termine em uma refração do meio I para o meio II), $$A_{t}=\left (\dfrac{3}{4} \right )^{\dfrac{n-1}{2}}\dfrac{1}{2}A_{0}$$

Como a energia da onda é proporcional ao quadrado da amplitude. Temos que a energia inicial é dada por $$E_{0}=kA_{0}^{2}$$, onde k é uma constante de proporcionalidade e a energia após a n-ésima refração é dada por $$E_{t}=kA_{t}^{2}$$.

Logo, a razão entre as energias é:

$$\dfrac{E_{t}}{E_{0}}=\dfrac{A_{t}^{2}}{A_{0}^{2}}$$

Portanto, se n for par:

$$\boxed{\dfrac{E_{t}}{E_{0}}=\dfrac{\left (\dfrac{3}{4} \right )^{n}A_{0}^{2}}{A_{0}^{2}}=\left (\dfrac{3}{4} \right )^{n}}$$

Se n for ímpar

$$\boxed{\dfrac{E_{t}}{E_{0}}=\dfrac{\left (\dfrac{3}{4} \right )^{n-1}\dfrac{1}{4}A_{0}^{2}}{A_{0}^{2}}=\left (\dfrac{3}{4} \right )^{n-1}\left ( \dfrac{1}{4} \right )}$$

se n for par:$$\boxed{\dfrac{E_{t}}{E_{0}}=\left (\dfrac{3}{4} \right )^{n}}$$

se n for ímpar:$$\boxed{\dfrac{E_{t}}{E_{0}}=\left (\dfrac{3}{4} \right )^{n-1}\left ( \dfrac{1}{4} \right )}$$

Pela relação de Taylor (vista na Aula 3.1):$$v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu }}$$ onde $$\mu$$ representa a densidade linear e $$T$$, a tração.A tração.

Logo, na corda 1:

$$v_1=\sqrt{\dfrac{T}{\mu_1 }}$$

Na corda 2:

$$v_2=\sqrt{\dfrac{T}{\mu_2 }}$$

O comprimento de onda na corda 1 é $$\lambda_1=\dfrac{L}{2 }$$. Já na corda 2, é $$\lambda_2=\dfrac{L}{4}$$

Como a frequência é a mesma:

$$\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}=\dfrac{v _{1}}{v _{2}}$$

Substituindo $$v_1$$ e $$v_2$$:

$$\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{1}}}}{\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{2}}}}$$

$$\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}=\sqrt{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}}$$

Substituindo os comprimentos de onda:

$$\dfrac{\dfrac{L}{2}}{\dfrac{L}{4}}=\sqrt{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}}$$

$$2=\sqrt{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}}$$

$$\boxed{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}=4}$$

$$\boxed{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}=4}$$

Pela cinemática do problema

$$t=\dfrac{L}{v_{1}}+\dfrac{2L}{v_{2}}$$

Pela lei de Snell:

$$\dfrac{v_{1}}{v_{2}}=\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}=k$$

Pela relação de Taylor (vista na Aula 3.1):$$v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu }}$$ onde $$\mu$$ representa a densidade linear e $$T$$, a tração.A tração, nesse caso é $$T=mg$$

Substituindo a velocidade:

$$t=L\left ( \sqrt{\dfrac{\mu _1}{T}}+2\sqrt{\dfrac{\mu _2}{T}} \right )$$

Pela relação de Taylor:$$\dfrac{v_{1}}{v_{2}}=\sqrt{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}}=k$$

Portanto, rearranjando os termos:

$$\sqrt{mg}=\dfrac{L\sqrt{\mu _{1}}}{t}\left ( 1+2k \right )$$

Realizando o mesmo procedimento para o segundo caso:

$$t’=\dfrac{3L}{v_{1}}=\dfrac{3L}{\sqrt{\dfrac{mg}{\mu _{1}}}}$$

Rearranjando,

$$\sqrt{mg}=\dfrac{3L\sqrt{\mu _{1}}}{t’}$$

Substituindo $$\sqrt{mg}$$

$$\dfrac{L\sqrt{\mu _{1}}}{t}\left ( 1+2k \right )=\dfrac{3L\sqrt{\mu _{1}}}{t’} \Rightarrow k=\dfrac{\dfrac{3t}{t’}-1}{2}$$

Colocando os valores numéricos:

$$k=\dfrac{\dfrac{3t}{t’}-1}{2}=16$$

Pela Lei de Snell:

$$\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}=k$$

$$\boxed{\lambda _{2}=\dfrac{\lambda _{1}}{k}=0,25 \; \rm{cm}}$$

$$\boxed{\lambda _{2}=0,25 \; \rm{cm}}$$

Pela lei de Snell:

$$\dfrac{\sin(90-\alpha) }{\sin(90-\beta) }=\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}$$

$$\boxed{\lambda _{1}=\lambda _{2}\dfrac{cos\alpha }{cos\beta }=5\sqrt2 \; \rm{cm}}$$

Obs:o ângulo são dados por $$90-\alpha$$ e $$90-\beta$$, já que os ângulos da fórmula são os ângulos que as frentes de onda fazem com a própria superfície refratora

$$\boxed{\lambda_1=5\sqrt2 \; \rm{cm}}$$