Problemas Aula 3.3 - Refração e o princípio de Huygens

Pela relação fundamental da ondulatória:

$v=\lambda f$

Assim, temos que :

$f_{1}=\frac{v_{1}}{\lambda _{1}}=8,0 \; \rm{Hz}$

Como a frequência não se altera, temos que $f_{1}=f_{2}$

Logo,

$\boxed{\lambda _{2}=\frac{v_{2}}{f _{2}}=1,0 \; \rm{m}}$

$\boxed{\lambda _{2}=1,0 \; \rm{m}}$

Pela relação de Taylor (vista na Aula 3.1) $v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$. Pelo enunciado, $\mu _{1}<\mu _{2}$. Então:

$\frac{T}{v_{1}^{2}}<\frac{T}{v_{2}^{2}}\Rightarrow v_{2}<v_{1}$

Pelas equações vistas pela teoria:

$A_{r}=\frac{v_{2}-v_{1}}{v_{1}+v_{2}}A_{i}$ e $A_{t}=\frac{2v_{2}}{v_{1}+v_{2}}A_{i}$

Onde $A_{r}$ representa a amplitude da onda refletida, $A_{i}$ a amplitude da onda incidente e $A_{t}$ a amplitude da onda refratada(ou transmitida).

Como $v_{2}<v_{1}\Rightarrow v_{2}-v_{1}<0$. Portanto, temos que $A_{r}$ tem sinal oposto a $A_{i}$ e é menor que $A_{i}$. Assim como $A_{t}<A_{i}$. Logo, o esboço ficaria algo como

a)Pela relação fundamental da ondulatória:

$c_1=\lambda_1 f_1$

$\boxed{\lambda_1=\frac{c_{1}}{f_{1}}=1,0 \; \rm{m}}$

c)Novamente, a frequência permanece a mesma $\boxed{f_1=f_2=340 \; \rm{Hz}}$:

c)Sendo, $f_1$=$f_2$:

$\boxed{\lambda_2=\frac{c_{2}}{f_{2}}\approx 4,26 \; \rm{m}}$

a)$\boxed{\lambda_1=1,0 \; \rm{m}}$

b) $\boxed{f_1=f_2=340 \; \rm{Hz}}$

c) $\boxed{\lambda_2 \approx 4,26 \; \rm{m}}$

Pela Lei de Snell, temos que:

$\dfrac{\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}=\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}$

Onde $\theta _{1}$ é o ângulo entre o raio da onda incidente e a normal e $\theta _{1}$ é o ângulo entre o raio da onda refratada e a normal. É possível ver que esse ângulo é igual ao ângulo entre a frente de onda e a superfície refratora(que é o ângulo dado). Logo,

$\dfrac{\sin 53^{\circ}}{\sin 37^{\circ}}=\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}\Rightarrow 0,75=\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}\Rightarrow \dfrac{4}{3}=\dfrac{\lambda _1}{\lambda _2}\Rightarrow \lambda _2=0,75\lambda _1$

Logo, $\boxed{p_1=100-75=25}$

Como a frequência não muda:

$\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}=\dfrac{v _{1}}{v _{2}}$

Portanto, $\boxed{p_2=25}$

$\boxed{p_1=p_2=25}$

Calculando as profundidades:

$c=\dfrac{2h}{\Delta t}$

O fator de 2 aparece pois é incluido o tempo de ida e volta da onda emitida pelo sonar.

Logo, os valores das profundidades são:

$h_{1}=\dfrac{\Delta t_{1}c}{2}=14m$ e $h_{2}=\dfrac{\Delta t_{2}c}{2}=52 \; \rm{m}$

Como a frequência não muda:

$\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}=\dfrac{v _{1}}{v _{2}}=\sqrt{\dfrac{h_{1}}{h_{2}}}$

$\boxed{\lambda _{2}=\lambda _{1}\sqrt{\dfrac{h_{2}}{h_{1}}}=\sqrt{3} \; \rm{cm}}$

Pela lei de Snell

$\dfrac{\sin\alpha }{\sin\beta }=\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}\Rightarrow \sin\beta=\sin\alpha \dfrac{\lambda _{2}}{\lambda _{1}}\Rightarrow \sin\beta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\boxed{\beta=60^{\circ}}$

$\boxed{\lambda _{2}=\sqrt{3} \; \rm{cm}}$

$\boxed{\beta=60^{\circ}}$

O trecho refletido do pulso será representado em vermelho; o trecho incidente do pulso será representado em azul; o trecho refratado do pulso será representado em roxo, e o pulso resultante será representado em preto.

Pelas equações vistas pela teoria:

$A_{r}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{1}+v_{2}}A_{i}$ e $A_{t}=\dfrac{2v_{2}}{v_{1}+v_{2}}A_{i}$

Substituindo a velocidade pela relação de Taylor (vista na Aula 3.1) $v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu }}$

$A_{t}=\dfrac{2\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{2}}}}{\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{2}}}+\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{1}}}}A_{i}\Rightarrow A_{t}=\dfrac{2}{1+\sqrt{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}}}A_{i}\Rightarrow A_{t}=\dfrac{2}{3}A_{i}$

$A_{r}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{2}}}-\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{1}}}}{\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{1}}}+\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{2}}}}A_{i}\Rightarrow A_{r}=\dfrac{1-\sqrt{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}}}{\sqrt{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}}+1}A_{i}\Rightarrow A_{r}=-\dfrac{1}{3}A_{i}$

Logo, a amplitude da onda refletida sofre inversão de fase e vale $\dfrac{1}{3}$ da amplitude incidente. Já a amplitude da onda refratada não muda de fase e vale $\dfrac{2}{3}$ da amplitude incidente

a)

b)

c)

d)

Ver a solução

Sendo a amplitude da onda refratada(ou transmitida) dada por:

$A_{t}=\dfrac{2v_{2}}{v_{1}+v_{2}}A_{i}$

Pela relação de Taylor (vista na Aula 3.1) $v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu }}$ onde $\mu$ representa a densidade linear e $T$, a tração

Logo, a amplitude da onda refratada torna-se:

$A_{t}=\dfrac{2\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{2}}}}{\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{2}}}+\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{1}}}}A_{i}\Rightarrow A_{t}=\dfrac{2}{1+\sqrt{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}}}A_{i}$

A densidade volumétrica é dada por $\rho =\dfrac{m}{V}=\dfrac{m}{l A}=\dfrac{\mu }{A}$. Portanto,

$A_{t}=\dfrac{2}{1+\sqrt{\dfrac{\rho _{2}A_{2}}{\rho _{1}A_{1}}}}A_{i}$

Como $A_{t}=A_{i}\Rightarrow \rho _{2}A_{2}=\rho _{1}A_{1} \Rightarrow \rho _{x}d^2=\rho _{0}r^2$ onde d é o raio de um disco do cone em uma distância x. Para encontrar d em função de x, pode-se criar o seguinte triângulo:

Por semelhança de triângulos

$\dfrac{l}{r}=\dfrac{h+l}{R}\Rightarrow l=\dfrac{rh}{R-r}$

Novamente,por semelhança de triângulos

$\dfrac{l}{r}=\dfrac{x+l}{d}\Rightarrow d=r+\dfrac{x(R-r)}{h}$

Logo,substituindo na $d$ em $\rho _{x}d^2=\rho _{0}r^2$

$\boxed{\rho _{x}=\rho _{0}\left (\dfrac{r}{r+\dfrac{x(R-r)}{h}} \right )^{2}}$

$\boxed{\rho _{x}=\rho _{0}\left (\dfrac{r}{r+\dfrac{x(R-r)}{h}} \right )^{2}}$

Como o comprimento das duas corda é L. Temos que:

$t=\dfrac{L}{v_1}+\dfrac{L}{v_2}$

Como a frequência é a mesma

$\dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{\lambda _1}{\lambda _2}=4$

Substituindo,

$10=L\left ( \dfrac{1}{v_{1}}+\dfrac{1}{v_{2}} \right ) \Rightarrow 10=\dfrac{5L}{4v_{2}}\Rightarrow \dfrac{L}{v_{2}}=8\; \rm{s}$

Caso a corda fosse feita apenas pelo material da corda 2, o tempo seria:

$\boxed{t'=\dfrac{2L}{v_{2}}=16\; \rm{s}}$

$\boxed{t'=16\; \rm{s}}$

A frequência não se altera. Logo, a frequência após a refração é $\boxed{f = 30 \; \rm{Hz}}$

Entretanto, o comprimento de onda se altera. Pela lei de Snell:

$\dfrac{\sin\alpha }{\sin\beta }=\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}=\dfrac{v_{1}}{v_{2}}$

$\boxed{\lambda _{2}=\lambda _{1}\dfrac{\sin\beta }{\sin\alpha }=10 \; \rm{cm}}$

Pela relação fundamental da ondulatória $\boxed{v_2=\lambda _{2}f=300\; \rm{cm/s}=3\; \rm{m/s}}$

$\boxed{\lambda _{2}=10 \; \rm{cm}}$

$\boxed{f = 30 \; \rm{Hz}}$

$\boxed{v_2=3\; \rm{m/s}}$

Pela relação de Taylor (vista na Aula 3.1):$v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu }}$ onde $\mu$ representa a densidade linear e $T$, a tração

$v_{1}=\sqrt{\dfrac{T}{\mu _1}}=\dfrac{L}{t_1}$ e $v_{2}=\sqrt{\dfrac{T}{\mu _2}}=\dfrac{L}{t_2}$

Como Otávio considerou que $\mu _{3}=\mu _{2}+\mu _{1}$

$v_{3}=\sqrt{\dfrac{T}{\mu _1+\mu _2}}=\dfrac{2L}{t_1+t_2}$

Substituindo os tempos,

$v_{3}=\dfrac{2L}{\dfrac{L}{v_1}+\dfrac{L}{v_2}}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}}$

Substituindo as velocidades e rearranjando,

$2=\dfrac{\sqrt{\mu _{1}}+\sqrt{\mu _{2}}}{\sqrt{\mu _{1}+\mu_2}}$

Criando uma variavel $k=\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}$

$\dfrac{1+\sqrt{k}}{\sqrt{1+k}}=2$

Resolvendo pra k:

$9k^{2}+14k+9=0$

Calculando determinante:

$\Delta =14^{2}-4\cdot 9\cdot 9=-128<0$

Logo, infelizmente, Otavio não vai estar certo em nenhum caso

Não há casos em que Otávio estará certo $\text{:(}$

Como a frequência não se altera na refração:

$\dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{\lambda _1}{\lambda _2}$

Portanto,

$\boxed{\lambda _2=\lambda _1\dfrac{v_2}{v_1}=90 \; \rm{cm}}$

$\boxed{\lambda _2=90 \; \rm{cm}}$

Sabendo que a frequência é constante durante a refração

$\dfrac{v_I}{v_{II}}=\dfrac{\lambda _I}{\lambda _{II}}=3$

Vimos que a amplitude da onda refratada(ou transmitida) dada por:

$A_{t}=\dfrac{2v_{2}}{v_{1}+v_{2}}A_{i}$

Onde $A_{t}$ é a amplitude da onda refratada, $v_1$ é a velocidade no meio incidente, $v_2$ é a velocidade no meio refratado e $A_{i}$é a amplitude da onda incidente

Logo, a refração do meio I para o meio II é dada por:

 $A_{t}=\dfrac{2v_{II}}{v_{I}+v_{II}}A_{i} \Rightarrow A_{t}=\dfrac{2}{\dfrac{v_{I}}{v_II}+1}A_{i} \Rightarrow A_{t}=\dfrac{2}{3+1}A_{i} \Rightarrow A_{t}=\dfrac{A_{i}}{2}$

Entretanto, a refração do meio II para o meio I é dada por

$A_{t}=\dfrac{2v_{I}}{v_{I}+v_{II}}A_{i}\Rightarrow A_{t}=\dfrac{2\dfrac{v_{I}}{v_{II}}}{\dfrac{v_{I}}{v_{II}}+1}A_{i}\Rightarrow A_{t}=\dfrac{3}{2}A_{i}$

É importante ressaltar que $A_{i}$ não é constante, já que a onda incidente no primeiro meio não é a mesma onda incidente no segundo meio. O correto é considerar a onda refratada como sendo a "nova onda incidente"

Logo, considerando que a onda inicial tem amplitude $A_{0}$. Temos que a amplitude da onda após a primeira refração(meio I para meio II) é dada por $\dfrac{A_{0}}{2}$ e após a segunda refração(meio II para meio I) $\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{A_{0}}{2}=\dfrac{3A_{0}}{4}$.

É possível perceber que esse processo se repete indefinidamente, já que como foi dito no enunciado, os meios I e II mudam de maneira alternada. Logo, a cada 2 refrações consecutivas a amplitude torna-se $\dfrac{3}{4}$ da amplitude inicial. Portanto, é possível perceber que caso a quantidade de refrações seja par(ou seja, termine em uma refração do meio II para o meio I), a amplitude torna-se $A_{t}=\left (\dfrac{3}{4} \right )^{\dfrac{n}{2}}A_{0}$

E caso a quantidade de refrações seja ímpar(ou seja, termine em uma refração do meio I para o meio II), $A_{t}=\left (\dfrac{3}{4} \right )^{\dfrac{n-1}{2}}\dfrac{1}{2}A_{0}$

Como a energia da onda é proporcional ao quadrado da amplitude. Temos que a energia inicial é dada por $E_{0}=kA_{0}^{2}$, onde k é uma constante de proporcionalidade e a energia após a n-ésima refração é dada por $E_{t}=kA_{t}^{2}$.

Logo, a razão entre as energias é:

$\dfrac{E_{t}}{E_{0}}=\dfrac{A_{t}^{2}}{A_{0}^{2}}$

Portanto, se n for par:

$\boxed{\dfrac{E_{t}}{E_{0}}=\dfrac{\left (\dfrac{3}{4} \right )^{n}A_{0}^{2}}{A_{0}^{2}}=\left (\dfrac{3}{4} \right )^{n}}$

Se n for ímpar

$\boxed{\dfrac{E_{t}}{E_{0}}=\dfrac{\left (\dfrac{3}{4} \right )^{n-1}\dfrac{1}{4}A_{0}^{2}}{A_{0}^{2}}=\left (\dfrac{3}{4} \right )^{n-1}\left ( \dfrac{1}{4} \right )}$

se n for par:$\boxed{\dfrac{E_{t}}{E_{0}}=\left (\dfrac{3}{4} \right )^{n}}$

se n for ímpar:$\boxed{\dfrac{E_{t}}{E_{0}}=\left (\dfrac{3}{4} \right )^{n-1}\left ( \dfrac{1}{4} \right )}$

Pela relação de Taylor (vista na Aula 3.1):$v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu }}$ onde $\mu$ representa a densidade linear e $T$, a tração.A tração.

Logo, na corda 1:

$v_1=\sqrt{\dfrac{T}{\mu_1 }}$

Na corda 2:

$v_2=\sqrt{\dfrac{T}{\mu_2 }}$

O comprimento de onda na corda 1 é $\lambda_1=\dfrac{L}{2 }$. Já na corda 2, é $\lambda_2=\dfrac{L}{4}$

Como a frequência é a mesma:

$\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}=\dfrac{v _{1}}{v _{2}}$

Substituindo $v_1$ e $v_2$:

$\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{1}}}}{\sqrt{\dfrac{T}{\mu _{2}}}}$

$\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}=\sqrt{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}}$

Substituindo os comprimentos de onda:

$\dfrac{\dfrac{L}{2}}{\dfrac{L}{4}}=\sqrt{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}}$

$2=\sqrt{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}}$

$\boxed{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}=4}$

$\boxed{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}=4}$

Pela cinemática do problema

$t=\dfrac{L}{v_{1}}+\dfrac{2L}{v_{2}}$

Pela lei de Snell:

$\dfrac{v_{1}}{v_{2}}=\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}=k$

Pela relação de Taylor (vista na Aula 3.1):$v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu }}$ onde $\mu$ representa a densidade linear e $T$, a tração.A tração, nesse caso é $T=mg$

Substituindo a velocidade:

$t=L\left ( \sqrt{\dfrac{\mu _1}{T}}+2\sqrt{\dfrac{\mu _2}{T}} \right )$

Pela relação de Taylor:$\dfrac{v_{1}}{v_{2}}=\sqrt{\dfrac{\mu _{2}}{\mu _{1}}}=k$

Portanto, rearranjando os termos:

$\sqrt{mg}=\dfrac{L\sqrt{\mu _{1}}}{t}\left ( 1+2k \right )$

Realizando o mesmo procedimento para o segundo caso:

$t'=\dfrac{3L}{v_{1}}=\dfrac{3L}{\sqrt{\dfrac{mg}{\mu _{1}}}}$

Rearranjando,

$\sqrt{mg}=\dfrac{3L\sqrt{\mu _{1}}}{t'}$

Substituindo $\sqrt{mg}$

$\dfrac{L\sqrt{\mu _{1}}}{t}\left ( 1+2k \right )=\dfrac{3L\sqrt{\mu _{1}}}{t'} \Rightarrow k=\dfrac{\dfrac{3t}{t'}-1}{2}$

Colocando os valores numéricos:

$k=\dfrac{\dfrac{3t}{t'}-1}{2}=16$

Pela Lei de Snell:

$\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}=k$

$\boxed{\lambda _{2}=\dfrac{\lambda _{1}}{k}=0,25 \; \rm{cm}}$

$\boxed{\lambda _{2}=0,25 \; \rm{cm}}$

Pela lei de Snell:

$\dfrac{\sin(90-\alpha) }{\sin(90-\beta) }=\dfrac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}$

$\boxed{\lambda _{1}=\lambda _{2}\dfrac{cos\alpha }{cos\beta }=5\sqrt2 \; \rm{cm}}$

Obs:o ângulo são dados por $90-\alpha$ e $90-\beta$, já que os ângulos da fórmula são os ângulos que as frentes de onda fazem com a própria superfície refratora

$\boxed{\lambda_1=5\sqrt2 \; \rm{cm}}$