Escrita por Antônio Ítalo
Ao longo dessa aula estudaremos as imagens formadas por uma associação de espelhos planos. É importante notar que devemos dividir esse tipo de associação em dois casos principais, onde um será mais simples e conseguiremos entender o sistema com uma certa fórmula fechada e outro será mais complicado e precisaremos realizar certas construções para entendermos as imagens formadas.
Introdução
A situação que estudaremos aqui será a da associação de dois espelhos planos, sendo assim, precisaremos de somente um parâmetro para caracterizar a situação dos espelhos: o ângulo entre os mesmos, note, contudo, que também precisaremos localizar o objeto. Lembre-se: Independentemente do tamanho dos espelhos, as imagens podem ser consideradas como formadas por um espelho infinito, no entanto, pode ser que nosso campo visual não nos permita a visualização das mesmas. Por simplicidade, consideraremos então dois espelhos semi-infinitos com origem no mesmo ponto $$O$$ e fazendo um ângulo $$\alpha$$ entre si, conforme na figura a seguir. Note também o objeto que está na linha que faz um ângulo $$\theta < \alpha$$ com o espelho $$E_{1}$$.
Devemos agora entender a situação física por trás dessa associação. Á primeira vista, pode parecer que haverão somente duas imagens: uma devido à reflexão do nosso objeto no espelho $$E_1$$ e outra devido à reflexão no espelho $$E_2$$, contudo, deve-se notar que essas imagens podem também ser refletidas, ou seja, a imagem formada por $$E_1$$ pode servir como objeto para $$E_2$$ e vice-versa, sendo assim, haverão infinitas imagens? Não, a não ser que o ângulo entre os espelhos seja de $$0 ^{\circ}$$, pois haverá um momento em que as últimas imagens formadas estarão atrás de ambos os espelhos, o que chamamos de “zona morta”, sendo assim, não podem agir como objeto. Note que a imagem estar na zona morta é equivalente a dizer que os raios de luz “provenientes” dela não tocam mais os espelhos. As principais perguntas que devemos responder ao longo dessa aula são então: Quantas imagens serão formadas? Podemos localizá-las?
Sistema de Coordenadas
Para facilitar nossos cálculos, utilizemos um sistema de coordenadas polares para localizarmos o objeto e as imagens. Caso não esteja acostumado com esse tipo de sistema, veja a figura a seguir:
Quando queremos localizar um certo ponto $$P$$ em um plano precisamos utilizar um sistema de coordenadas, na figura, representamos os dois mais utilizados. O primeiro e mais comum é o sistema de coordenadas cartesiano, onde associamos uma coordenada para dois eixos perpendiculares. O outro sistema representado na figura é o sistema de coordenadas polares, onde associamos uma coordenada $$r_{p}$$, relacionada a distância do ponto $$P$$ até a origem e uma coordenada $$\theta_{P}$$ relacionada com o ângulo que a linha ligando o ponto $$P$$ à origem faz com o eixo $$x$$. O sistema de coordenadas polares será utilizado quando estudarmos associações de espelhos pois mostraremos que todas as imagens devem ter a mesma coordenada radial que a origem, facilitando assim nossos cálculos. Demonstrar esse fato é razoavelmente simples. Sabe-se que quando uma imagem é formada por um espelho plano, ela deve possuir a mesma distância que o objeto para todos os pontos do espelho, sendo assim, a distância da imagem para o ponto $$O$$ de encontro entre os espelhos $$E_{1}$$ e $$E_{2}$$ deve ser a mesma que o objeto, ou seja, a coordenada radial $$r$$ é a mesma, portanto precisamos nos importar apenas sobre a coordenada angular $$\theta$$ das imagens.
A zona morta
Zona morta é o nome dado a região do espaço tal que qualquer fonte de luz dentro da mesma, ou imagem formada na mesma, não servirá como objeto nem para $$E_{1}$$ nem para $$E_{2}$$. Para espelhos que formam entre si um ângulo $$\alpha$$ menor que $$180^{\circ}$$ (Não discutiremos aqui ângulos maiores que $$180^{\circ}$$), podemos dizer que a zona morta é a região atrás de ambos os espelhos. Ou seja, tomando nosso sistema de coordenadas, a região entre $$180^{\circ}$$ e $$180^{\circ}+\alpha$$. É importante notar isso pois no processo de geração das imagens chegaremos em imagens nessas zonas que não podem ser utilizadas como objetos ou podemos obter imagens que não existem.
A construção
Para obtermos a posição de todas as imagens e consequentemente o número das mesmas devemos realizar um algoritmo simples com base na posição angular do objeto e do ângulo $$\alpha$$ entre os espelhos. Para construirmos esse algoritmo, precisamos encontrar uma fórmula para a posição angular de uma certa imagem baseada no objeto que a gerou. Temos $$3$$ possibilidades:
- Se o objeto em questão for o objeto inicial, ele estará entre os dois espelhos e precisaremos encontrar a posição angular das duas imagens formadas inicialmente.
- Se o objeto em questão for uma imagem proveniente do espelho $$E_{1}$$, devemos verificar se está na zona morta e, em caso contrário, realizar a reflexão no espelho $$E_{2}$$. A fórmula matemática para isso seria: $$\theta_{i}=\alpha+ \left( \alpha – \theta_{o} \right)= 2 \alpha – \theta_{o} $$.
- Se o objeto em questão for uma imagem proveniente do espelho $$E_{2}$$, devemos verificar se está na zona morta e, em caso contrário, realizar a reflexão no espelho $$E_{1}$$. A fórmula matemática para isso seria: $$\theta_{i}=0+ \left(0 – \theta_{o} \right)=- \theta_{o}$$ ou, para obtermos ângulos entre $$0^{\circ}$$ e $$360^{\circ}$$, $$\theta_{i}=360^{\circ}-\theta_{o}$$.
É importante notar aqui que se forem obtidos ângulos maiores que $$360^{\circ}$$ ou menores que $$0^{\circ}$$ é recomendado converter esses ângulos nos seus equivalentes convencionais. Ex: $$540^{\circ} \rightarrow 180^{\circ}$$. Esse processo deve ser repetido até que se chegue em imagens na zona morta. Para obter o número de imagens, conta-se então tomando cuidado para não contar duas vezes a mesma imagem que pode ser formada por objetos diferentes. Algumas aplicações desse algoritmo podem ser vistas nos seguintes links: Soluções Simulado 1 – OBF Nível 3 e Comentário OBF 2019 – Nível 2.
Casos mais simples
Em algumas questões mais simples e conhecidas é perguntado somente o número de imagens formadas por uma determinada associação. Acontece que, para alguns ângulos, há uma fórmula direta de calcular esse número sem se preocupar nem mesmo com a posição do objeto. Esses ângulos são aqueles que podem ser usados para dividir um círculo em partes iguais, ou seja, são os ângulos tais que: $$\dfrac{360^{\circ}}{\alpha}$$ é natural. Vamos definir $$n=\dfrac{360^{\circ}}{\alpha}$$. Pode-se demonstrar que o número de imagens será dado por: $$N=n-1= \dfrac{360^{\circ}}{\alpha} -1$$. Você pode demonstrar isso ao notar que nesse caso a circunferência poderá ser dividida em $$n$$ partes iguais que cobrem um arco $$\alpha$$ de forma que cada parte contenha exatamente uma imagem, exceto a frente entre os espelhos que contém o objeto. IMPORTANTE: Caso a resposta obtida por essa fórmula não seja inteira, deve-se realizar a construção indicada anteriormente para obter o número de imagens, pois nenhum arredondamento pode garantir a resposta correta. Ex: Se nossos espelhos fizerem um ângulo de $$92^{\circ}$$ entre si e o objeto estiver no eixo de simetria, teremos um total de $$4$$ imagens enquanto a fórmula indica que haveria $$N \approx 2,91$$ imagens, o que está distante de $$4$$.