Aula 4.5 - Refração da Luz , ângulo limite e o dioptro plano.

Escrito por Antonio Italo

Até o momento, estudamos o fenômeno da reflexão da luz por espelhos esféricos e côncavos, porém no nosso cotidiano há outro fenômeno óptico muito importante: A refração. Conforme estudando no curso de ondulatória, a refração de uma onda é o fenômeno que ocorre quando a mesma passa de um meio para outro, de forma que muda sua velocidade de propagação. Ao longo dessa aula, retomaremos a lei de Snell, já estudada no curso de ondulatória, e aplicaremos a mesma em um exemplo simples: O ângulo limite

Lei de Snell e o índice de refração

Quando trabalhamos com a lei de Snell para a luz, geralmente usamos a grandeza chamada de índice de refração ($n$), que é definida por:

$n=\dfrac{c}{v}$

Sendo $c$ a velocidade da luz no vácuo e $v$ a velocidade da luz no meio em questão. Note então que $v \leq c$ o que implica $n \geq 1$, sendo $1$ o índice de refração do vácuo. Uma observação importante é que geralmente aproximamos o índice de refração do ar para $1$ em questões (sendo na verdade ligeiramente maior, diferindo na quarta casa decimal). Dessa forma, a lei de Snell para a luz fica:

$\dfrac{\sin{\theta_{1}}}{v_{1}}=\dfrac{\sin{\theta_{2}}}{v_{2}}$

Multiplicando por $c$ dos dois lados:

$n_{1} \sin{\theta_{1}}=n_{2}\sin{\theta_{2}}$

Sendo $\theta_{1}$ e $\theta_{2}$ medidos sempre em relação à normal da superfície em que a refração ocorre. Note que, assim como a reflexão, a refração sempre ocorre em um mesmo plano, de forma que podemos representar a normal de contato, o raio incidente e o raio refratado  bidimensionalmente. Para uma demonstração da Lei de Snell, você pode olhar a Aula 3.3 de ondulatória ou a Ideia 11.

Ângulo limite

Como já sabemos do curso de ondulatória, refração é sempre acompanhada de uma reflexão, porém o  contrário não é válido pois existe o fenômeno conhecido como reflexão total. Para entendermos esse fenômeno, escrevamos a lei de Snell:

$n_{i}\sin{\theta_{i}}=n_{r}\sin{\theta_{r}}$

Aqui, usamos $i$ para identificar incidente e $r$ refratado. Calculemos então o ângulo refratado:

$\theta_{r}=\sin^{-1}\left( \dfrac{n_{i}}{n_{r}}\sin{\theta_{i}}\right)$

Mas note que para o ângulo $\theta_{r}$ existir, o valor:

$\dfrac{n_{i}}{n_{r}}\sin{\theta_{i}} \leq 1$

Sendo assim:

$\theta_{i} \leq \sin^{-1} \left( \dfrac{n_{r}}{n_{i}} \right) = L$

Sendo $L$, por definição o chamado ângulo limite, já que para a ocorrência da refração, o ângulo de incidência deve ser menor que o mesmo. Note que esse ângulo limite existe somente caso $n_{r}<n_{i}$. Note também que no caso limite $\theta_{i}=L \rightarrow \theta_{r}=\dfrac{\pi}{2}$, de forma que o raio refratado sairia rasante, contudo, é possível encontrar de maneira semelhante ao que fizemos na Aula 3.3 um valor para a amplitude da onda refratada em função do ângulo de incidência, e ocorre que esse valor é zero no ângulo limite.

Dioptro plano

Um dioptro plano é uma interface plana entre dois meios de diferentes índices de refração, por exemplo, a interface da água de uma piscina com o ar. Ocorre que devido à refração da luz, um observador no ar, por exemplo, vê uma imagem deslocada de um objeto na água. Calcularemos então a posição da imagem vista por esse observador. (Consideraremos raios paraxiais, assim como nos espelhos esféricos). Veja a imagem a seguir:

Note que a imagem é meramente ilustrativa e não apresenta as proporções corretas. Para uma visão paraxial, o olho deveria estar praticamente na vertical do objeto. De forma que podemos aproximas $\sin \theta \approx \tan \theta$. Sabendo disso, apliquemos a lei de Snell e aproximemos:

$n_{1} \sin {\theta_{1}}=n_{2}\sin{\theta_{2}}$

$n_{1}\tan {\theta_{1}} \approx n_{2} \tan{\theta_{2}}$

Note, contudo, que os ângulos $\theta_{1}$ e $\theta_{2}$ também aparecem nos dois triângulos da figura com lado $x$. Tal que:

$\tan {\theta_{1}}=\dfrac{x}{h}$

$\tan{\theta_{2}}=\dfrac{x}{h'}$

Substituindo:

$\dfrac{n_{1}}{h}=\dfrac{n_{2}}{h'}$

$h'=\dfrac{n_{2}}{n_{1}}h$

Sendo essa a equação do dioptro plano para raios paraxiais. Note que existem outros tipos de dioptros, dentre os quais, o plano e o esférico são os mais conhecidos. Dessa forma, em próximas aula estudaremos os dioptros esféricos e utilizaremos nossos resultados para chegar na famosa equação dos fabricantes de lentes.