Escrito por Antonio Italo
Até o momento, estudamos o fenômeno da reflexão da luz por espelhos esféricos e côncavos, porém no nosso cotidiano há outro fenômeno óptico muito importante: A refração. Conforme estudando no curso de ondulatória, a refração de uma onda é o fenômeno que ocorre quando a mesma passa de um meio para outro, de forma que muda sua velocidade de propagação. Ao longo dessa aula, retomaremos a lei de Snell, já estudada no curso de ondulatória, e aplicaremos a mesma em um exemplo simples: O ângulo limite
Lei de Snell e o índice de refração
Quando trabalhamos com a lei de Snell para a luz, geralmente usamos a grandeza chamada de índice de refração ($$n$$), que é definida por:
$$n=\dfrac{c}{v}$$
Sendo $$c$$ a velocidade da luz no vácuo e $$v$$ a velocidade da luz no meio em questão. Note então que $$v \leq c$$ o que implica $$n \geq 1$$, sendo $$1$$ o índice de refração do vácuo. Uma observação importante é que geralmente aproximamos o índice de refração do ar para $$1$$ em questões (sendo na verdade ligeiramente maior, diferindo na quarta casa decimal). Dessa forma, a lei de Snell para a luz fica:
$$\dfrac{\sin{\theta_{1}}}{v_{1}}=\dfrac{\sin{\theta_{2}}}{v_{2}}$$
Multiplicando por $$c$$ dos dois lados:
$$n_{1} \sin{\theta_{1}}=n_{2}\sin{\theta_{2}}$$
Sendo $$\theta_{1}$$ e $$\theta_{2}$$ medidos sempre em relação à normal da superfície em que a refração ocorre. Note que, assim como a reflexão, a refração sempre ocorre em um mesmo plano, de forma que podemos representar a normal de contato, o raio incidente e o raio refratado bidimensionalmente. Para uma demonstração da Lei de Snell, você pode olhar a Aula 3.3 de ondulatória ou a Ideia 11.
Ângulo limite
Como já sabemos do curso de ondulatória, refração é sempre acompanhada de uma reflexão, porém o contrário não é válido pois existe o fenômeno conhecido como reflexão total. Para entendermos esse fenômeno, escrevamos a lei de Snell:
$$n_{i}\sin{\theta_{i}}=n_{r}\sin{\theta_{r}}$$
Aqui, usamos $$i$$ para identificar incidente e $$r$$ refratado. Calculemos então o ângulo refratado:
$$\theta_{r}=\sin^{-1}\left( \dfrac{n_{i}}{n_{r}}\sin{\theta_{i}}\right)$$
Mas note que para o ângulo $$\theta_{r}$$ existir, o valor:
$$\dfrac{n_{i}}{n_{r}}\sin{\theta_{i}} \leq 1$$
Sendo assim:
$$\theta_{i} \leq \sin^{-1} \left( \dfrac{n_{r}}{n_{i}} \right) = L$$
Sendo $$L$$, por definição o chamado ângulo limite, já que para a ocorrência da refração, o ângulo de incidência deve ser menor que o mesmo. Note que esse ângulo limite existe somente caso $$n_{r}<n_{i}$$. Note também que no caso limite $$\theta_{i}=L \rightarrow \theta_{r}=\dfrac{\pi}{2}$$, de forma que o raio refratado sairia rasante, contudo, é possível encontrar de maneira semelhante ao que fizemos na Aula 3.3 um valor para a amplitude da onda refratada em função do ângulo de incidência, e ocorre que esse valor é zero no ângulo limite.
Dioptro plano
Um dioptro plano é uma interface plana entre dois meios de diferentes índices de refração, por exemplo, a interface da água de uma piscina com o ar. Ocorre que devido à refração da luz, um observador no ar, por exemplo, vê uma imagem deslocada de um objeto na água. Calcularemos então a posição da imagem vista por esse observador. (Consideraremos raios paraxiais, assim como nos espelhos esféricos). Veja a imagem a seguir:
Note que a imagem é meramente ilustrativa e não apresenta as proporções corretas. Para uma visão paraxial, o olho deveria estar praticamente na vertical do objeto. De forma que podemos aproximas $$\sin \theta \approx \tan \theta$$. Sabendo disso, apliquemos a lei de Snell e aproximemos:
$$n_{1} \sin {\theta_{1}}=n_{2}\sin{\theta_{2}}$$
$$n_{1}\tan {\theta_{1}} \approx n_{2} \tan{\theta_{2}}$$
Note, contudo, que os ângulos $$\theta_{1}$$ e $$\theta_{2}$$ também aparecem nos dois triângulos da figura com lado $$x$$. Tal que:
$$\tan {\theta_{1}}=\dfrac{x}{h}$$
$$\tan{\theta_{2}}=\dfrac{x}{h’}$$
Substituindo:
$$\dfrac{n_{1}}{h}=\dfrac{n_{2}}{h’}$$
$$h’=\dfrac{n_{2}}{n_{1}}h$$
Sendo essa a equação do dioptro plano para raios paraxiais. Note que existem outros tipos de dioptros, dentre os quais, o plano e o esférico são os mais conhecidos. Dessa forma, em próximas aula estudaremos os dioptros esféricos e utilizaremos nossos resultados para chegar na famosa equação dos fabricantes de lentes.