Aula 4.6 - Prismas

Escrito por Wanderson Faustino Patricio 

Definição

Um prisma é um poliedro com duas faces congruentes e paralelas (bases) e cujas demais faces (faces laterais) são paralelogramos. Os prismas são classificados de acordo com a forma de suas bases.

Os prismas utilizados no estudo da óptica geométrica são os prismas triangulares.

O princípio óptico utilizado é o da refração da luz.

Propriedades do prisma óptico

Considere um bloco transparente, de acrílico por exemplo, o qual possui a propriedade de refratar a luz.

Destacam-se alguns elementos geométricos nesse poliedro:

- Faces superiores: São as duas faces do prisma nas quais ocorrerão a refração da luz.

- Ângulo de abertura: É o ângulo definido entre as faces superiores. Geralmente denominado de $\hat A$.

- Base: É a face oposta ao ângulo de abertura. Ela não necessariamente precisa ser plana, visto que não haverá refração de luz nessa face.

Refração da luz no prisma

Considere que um raio de luz monocrática incide em uma das faces superiores do prisma formando uma ângulo $\hat {i}_{1}$ com a normal dessa face e sai formando uma ângulo $\hat {i}_{2}$ com a normal da outra face.

Como pode ser visto na imagem a direção dos raios incidente e emergente diferirão em um ângulo $\hat D$, o qual pode ser encontrado apenas utilizando propriedades geométricas.
Olhando para o triângulo  na parte de baixo do prisma vemos:

$(180^{\circ}-\hat A)+ \hat {r}_{1} +\hat {r}_{2}=180^{\circ}$
$\hat {r}_{1} +\hat {r}_{2}=\hat A$

Olhando para o triângulo logo acima dele vemos:

$(180^{\circ}-\hat D)+ \hat {d_1} +\hat {d_2}=180^{\circ}$
$\hat {d_1} +\hat {d_2}=\hat D$

Olhando para os raios incidente e emergente vemos:

$\hat {i}_{1}=\hat {r}_{1}+\hat {d}_{1}$ e $\hat {i}_{2}=\hat {r}_{2}+\hat {d}_{2}$

Logo:

$\hat {i}_{1} +\hat {i}_{2}=\hat {r}_{1}+\hat {r}_{2} +\hat {d}_{1}+\hat {d}_{2}=\hat D +\hat A$

$\hat D=\hat {i}_{1} +\hat {i}_{2} - \hat A$

Você pode estar se perguntando como visualizar a dependência do ângulo de desvio em função do ângulo de incidência. Bom, o ângulo de incidência pode ser escolhido por nós, e o ângulo de abertura é constante, mas como será a dependência do ângulo emergente?

A resposta é encontrada pela lei de Snell.

Considere que o prisma possui índice de refração $n_p$ e o meio externo possui índice de refração $n_e$.

Analisando a incidência do raio de luz:

$n_e \sin{(\hat {i}_{1})}=n_p \sin{(\hat {r}_{1})}$

$\hat{r}_{1}=\arcsin{(\frac{n_e}{n_p}\sin{\hat {i}_{1}})}$

Analisando o raio de luz emergente:

$n_e \sin{(\hat {i}_{2})}=n_p \sin{(\hat {r}_{2})}$

$\hat{i}_{2}=\arcsin{(\frac{n_p}{n_e}\sin{\hat {r}_{2}})}$

Vimos anteriormente que $\hat {r}_{1} +\hat {r}_{2}=\hat A$. Logo:

$\hat {r}_{2}=\hat A -\hat {r}_{1}$

Portanto:

$\hat{i}_{2}=\arcsin{\left (\frac{n_p}{n_e}\sin{(\hat A -\hat {r}_{1})}\right )}$

$\hat{i}_{2}=\arcsin{\left (\frac{n_p}{n_e}\sin{\left (\hat A - \arcsin{(\frac{n_e}{n_p}\sin{\hat {i}_{1}})} \right )}\right )}$

Logo, a dependência do ângulo de desvio em função do ângulo de incidência é:

$\hat D=\hat {i}_{1} + \arcsin{\left (\frac{n_p}{n_e}\sin{\left (\hat A - \arcsin{(\frac{n_e}{n_p}\sin{\hat {i}_{1}})} \right )}\right )} - \hat A$

A aparência do gráfico de $\hat D$ x $\hat {i}_{1}$ é do tipo:

Perceba que existe um ângulo para o qual o desvio é minimo. É muito difícil calcular esse ângulo, visto que a função encontrada é bastante complexa. Mas podemos perceber que isso ocorre quando $\hat {i_1}=\hat {i_2}$.

Reflexão total no prisma

Como visto nas últimas aulas a partir de certos ângulos de incidência a refração deixa de ocorrer e ocorre reflexão total.

$(I)$ Na entrada (se $n_p<n_e$):

$\hat {i}_{{1}_{lim}} =\arcsin{\frac{n_p}{n_e}}$

$(II)$ Na saída (se $n_p>n_e$):

$\hat {r}_{{2}_{lim}}=\arcsin{\frac{n_e}{n_p}}=\hat A - \hat {r}_{1}$

$\hat A - \arcsin{(\frac{n_e}{n_p}\sin {\hat {i}_{1}})}=\arcsin{\frac{n_e}{n_p}}$

$\frac{n_e}{n_p}\sin {\hat {i}_{1}}=\sin{(\hat A -\arcsin{\frac{n_e}{n_p}})}$

Logo:

$\hat {i}_{{1}_{lim}}=\arcsin{\left (\frac{n_p}{n_e}\sin{\left (\hat A -\arcsin{\frac{n_e}{n_p}}\right )}\right )}$

Curiosidades

$(I)$ Alguns periscópios podem utilizar a reflexão total nos prismas para a visualização.

$(II)$ Como visto anteriormente o ângulo de deflexão depende do índice de refração do prisma. Para uma luz monocromática o índice é constante, porém, para uma luz policromática existirão vários raios de luz, e cada raio de luz de cor diferente possuirá comprimento de onda diferente, e portanto, índice de refração diferente, logo, para cada cor existirá um ângulo de deflexão diferente.

Esse é o mesmo fenômeno que ocorre no arco-íris.

Se você gosta de rock (ou mais especificamente de Pink Floyd) você já deve ter visto a capa do álbum Dark Side of the Moon. Essa capa retrata especificamente esse efeito dos diferentes ângulos de deflexão.