Escrito por Vitor Takashi
Alguns problemas para você praticar a teoria estudada. O grau de dificuldade dos problemas está indicado com asteriscos (*). Problemas com 1 asterisco é o equivalente a um problema de primeira fase de OBF, 2 asteriscos (**) um de segunda fase, e 3 asteriscos (***) um de terceira fase.
Problema 01*
(OBC 2019) Analise as proposições relacionadas às linhas de campo elétrico e às de campo magnético e assinale as corretas.
I. As linhas de força do campo elétrico se estendem apontando para fora de uma carga pontual positiva e para dentro de uma carga pontual negativa.
II. As linhas de campo magnético não nascem nem morrem nos ímãs, apenas atravessam-nos, ao contrário do que ocorre com os corpos condutores eletrizados que originam os campos elétricos.
III. A concentração das linhas de força do campo elétrico ou das linhas de campo magnético indica, qualitativamente, onde a intensidade do respectivo campo é maior.
Analisando as proposições:
I. As linhas de força no campo elétrico se estendem para fora de uma carga positiva e para dentro de uma carga negativa. Logo, I é verdadeira
II. As linhas de campo magnético não começam nem terminam nos ímãs; elas simplesmente passam através deles. Logo, II é verdadeira
III. A densidade das linhas de campo é proporcional ao módulo do campo elétrico em um determinado ponto. Portanto, em regiões onde o campo elétrico é mais forte, veremos um maior número de linhas de força, o que visualmente indica a intensidade do campo. Logo, III é verdadeira
$$\boxed{\rm{\text{Todas est}\tilde{a}\text{o corretas}}} $$
Problema 02**
Calcule o fluxo do campo elétrico resultante gerado por uma carga pontual Q>0 em uma superfície esférica a uma distância r da carga.
Sabendo que uma carga pontual gera um campo elétrico radial e em todas as direções. Podemos concluir que na superfície esférica da figura, o campo elétrico é o mesmo(já que estão a mesma distância), e que ele é sempre perpendicular(já que o campo é radial, logo, $$\theta=0$$).
Portanto, o fluxo do campo elétrico é dado por:
$$\phi = E \cdot A \cos0^{\circ}$$
$$\phi = \dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \cdot 4\pi r^2$$
$$\phi = \dfrac{Q}{\varepsilon_0} $$
Uma outra alternativa de solução seria utilizando o conceito visto pela Lei de Gauss, em que sua fórmula é dada por:
$$\phi = \dfrac{q_{int}}{\varepsilon_0}$$
No caso analisado, a superficie gaussiana seria a esfera e sua carga interna é Q. Logo, o fluxo elétrico é:
$$\boxed{\phi = \dfrac{Q}{\varepsilon_0}}$$
$$\boxed{\phi = \dfrac{Q}{\varepsilon_0}}$$
Problema 03*
Represente as linhas de campo na seguinte interação entre as cargas:
Veja a solução
Problema 04*
Um campo elétrico uniforme de intensidade 4,0N/C incide sob uma superficie da seguinte forma:
Sabendo que o comprimento no eixo y da estrutura é 2m. Calcule o fluxo elétrico total do sistema. Adote, se necessário, $$\sin 45^{\circ}=\cos 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$.
Considerando o fluxo elétrico como sendo:
$$\phi = EA\cos \theta$$
Para calcular o fluxo total, basta calcular o fluxo elético nos 3 trechos: inclinado, vertical e horizontal.
Para a parte inclinada $$45^{\circ}$$:
$$\phi_1=4 \cdot 2 \cdot \dfrac{5 \sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} \cdot \cos 45^{\circ}= 40\sqrt{2} Nm^2/C $$
Para a parte vertical:
$$\phi_2= 4 \cdot 2 \cdot 4 \cos 0^{\circ}=32 Nm^2/C$$
Para a parte horizontal:
$$\phi_3= 4 \cdot 2 \cdot 10 \cos 90^{\circ}=0$$
Logo,
$$\boxed{\phi_t=\phi_1+\phi_2+\phi_3=(40\sqrt{2}+32) Nm^2/C}$$
$$\boxed{\phi_t=(40\sqrt{2}+32) Nm^2/C}$$
Problema 05**
Considere uma esfera de raio R, maciça, composta de um material não condutor e eletrizada com uma carga positiva q, distribuída de maneira uniforme por todo o seu volume. Esta esfera está localizada no vácuo, onde a permissividade elétrica do meio é $$\varepsilon _0$$. Faça o gráfico que melhor representa o campo elétrico ao longo da direção radial da esfera. Dica: divida o problema em duas partes, uma para r<R e outra para r>R.
Aplicando a Lei de Gauss para a região r<R:
$$E \cdot 4\pi r^2=\dfrac{q_{int}}{\varepsilon_0}$$
É possível perceber que a carga interna subtendida pela superfície gaussiana varia com r da seguinte forma:
$$\rho$$ = densidade de carga = constante
$$\dfrac{q}{\dfrac{4 \pi R^3}{3}}=\dfrac{q_{int}}{\dfrac{4 \pi r^3}{3}}$$
$$q_{int}=\dfrac{r^3}{R^3}q$$
Substuindo na Lei de Gauss:
$$E \cdot 4\pi r^2=\dfrac{q r^3}{\varepsilon_0 R^3}$$
$$E=\dfrac{q r}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}$$, para r<R
Portanto, o trecho r<R deve ser linear!
Para a região r>R:
$$E \cdot 4\pi r^2=\dfrac{q}{\varepsilon_0}$$
$$E=\dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$$
Então, decresce com $$\dfrac{1}{r^2}$$
Logo, o gráfico deve ser algo como:
Problema 06***
Dois cilindros longos, cada um de raio R e carregando uma densidade volumétrica uniforme de carga $$+\rho$$ e $$-\rho$$, respectivamente, são parcialmente sobrepostos como na representado na figura:
Prove que o campo elétrico na região sobreposta é uniforme. Dica: use o principio da superposição e calcule o campo elétrico gerado pela parte positiva + negativa na superficie sobreposta.
Inicialmente, devemos calcular o campo elétrico gerado no interior de um cilindro. Para isso, podemos utilizar a lei de Gauss:
$$E \cdot A=\dfrac{q_{int}}{\varepsilon_0}$$
Devido a simetria cilíndrica, a superficie gaussiana também será cilíndrica, de raio $$r$$ e altura $$l$$. Logo,
$$E \cdot 2 \pi r l=\dfrac{\rho \pi r^2 l}{\varepsilon_0}$$
$$\vec{E} =\dfrac{\rho \vec{r}}{2\varepsilon_0}$$
Onde r representa a distância radial a partir do centro do cilindro.
Logo, para a carga positiva e negativa temos, respectivamente:
$$\vec{E_+} =\dfrac{\rho \vec{r_+} }{2\varepsilon_0}$$ ; $$\vec{E_-} =\dfrac{-\rho \vec{r_-} }{2\varepsilon_0}$$
Onde $$r_+$$ e $$r_-$$ são as distâncias do centro até um ponto qualquer na região sobreposta:
Logo, o campo elétrico na região sobreposta é, pelo principio da superposição, $$\vec{E}=\vec{E_+}+\vec{E_-}=\dfrac{\rho ( \vec{r_+}-\vec{r_-} )}{2\varepsilon_0}$$
É possível perceber pela figura que vetorialmente, $$\vec{r_+} -\vec{r_-} = \vec{d}$$. Onde d é a distância entre os centros, ou seja, é constante.
Portanto, o campo elétrico é:
$$\boxed{\vec{E}=\dfrac{\rho \vec{d}}{2 \varepsilon_0}}$$
E então, é constante!
$$\boxed{\vec{E}=\dfrac{\rho \vec{d}}{2 \varepsilon_0}}$$
Problema 07**
Duas superfície esféricas concêntricas são uniformemente eletrizadas com cargas elétricas +q e -q, como na figura:
Determine a intensidade do vetor campo elétrico resultante nos pontos H, I e J.
Para calcular o campo elétrico nesses pontos, podemos recorrer a Lei de Gauss. Para o ponto H:
$$E \cdot A=\dfrac{q_{int}}{\varepsilon_0}$$
No ponto H, q_{int}=0. Logo,
$$E \cdot A=\dfrac{0}{\varepsilon_0}$$
$$\boxed{\vec{E} = \vec{0}}$$
Já no ponto I:
$$E \cdot 4 \pi (1,5R)^2=\dfrac{-q}{\varepsilon_0}$$
$$\boxed{\vec{E} =\dfrac{-q}{9 \pi R^2 \varepsilon_0}\hat{r}}$$
Para o ponto J:
$$E \cdot A=\dfrac{q_{int}}{\varepsilon_0}$$
Sendo $$q_{int}$$ = -q+q=0:
$$\boxed{\vec{E} = \vec{0}}$$
$$\boxed{0; \dfrac{-q}{9 \pi R^2 \varepsilon_0}; 0}$$
Problema 08**
Uma carga total Q está distribuída uniformemente por uma casca esférica de raios interno e externo $$R_1$$ e $$R_2$$ , respectivamente. Mostre que o campo elétrico devido à carga é $$\vec{E}=\vec{0} (r<R_1); \vec{E}=\dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon _0 r^2}\dfrac{r^3-R_1^3}{R_2^3-R_1^3}\hat{r} (R_1<r<R_2);\vec{E}=\dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}\hat{r} (r>R_2)$$
Para $$r<R_1$$:
$$q_{int}=0$$
Portanto,
$$\boxed{\vec{E}=\vec{0}}$$
Para $$R_1<r<R_2$$:
$$E \cdot A=\dfrac{q_{int}}{\varepsilon_0}$$
$$E \cdot 4 \pi r^2=\dfrac{q_{int}}{\varepsilon_0}$$
Como a carga é distribuida uniformemente, $$\rho = \dfrac{Q}{\dfrac{4}{3}\pi R_2^3-\dfrac{4}{3}\pi R_1^3} = \dfrac{q_{int}}{\dfrac{4}{3}\pi r^3-\dfrac{4}{3}\pi R_1^3}$$. Substituindo $$q_{int}$$, obtém-se que:
$$\boxed{\vec{E}=\dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon _0 r^2}\dfrac{r^3-R_1^3}{R_2^3-R_1^3}\hat{r}}$$
Para $$r>R_2$$:
$$q_{int}=Q$$
$$E \cdot 4 \pi r^2=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}$$
$$\boxed{\vec{E}=\dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}\hat{r}}$$
Veja a solução
Problema 09**
(Griffths) Um cabo coaxial longo transporta uma densidade de carga volumétrica uniforme $$\rho$$ no cilindro interno (raio a) e uma densidade de carga superficial uniforme no cilindro externo (raio b). Esta carga superficial é negativa e tem a magnitude exata para que o cabo, como um todo, seja eletricamente neutro. Determine o campo elétrico em cada uma das três regiões: (i) dentro do cilindro interno, (ii) entre os cilindros, e (iii) fora do cabo. Faça um gráfico de |E| em função de s (distância radial a partir do eixo principal).
Na região (i):
$$E \cdot A=\dfrac{q_{int}}{\varepsilon_0}$$
$$E \cdot 2 \pi s l=\dfrac{q_{int}}{\varepsilon_0} = \dfrac{\rho \pi s^2 l}{\varepsilon_0}$$
$$E \cdot 2 s = \dfrac{\rho s^2 }{\varepsilon_0}$$
$$|E| = \dfrac{\rho s}{2 \varepsilon_0}$$
Na região (ii):
$$E \cdot A=\dfrac{q_{int}}{\varepsilon_0}$$
$$E \cdot 2 \pi s l=\dfrac{\rho \pi a^2 l}{\varepsilon_0}$$
$$E \cdot 2 s=\dfrac{\rho a^2}{\varepsilon_0}$$
$$|E| =\dfrac{\rho a^2}{2 s\varepsilon_0}$$
Na região (iii):
$$q_{int}=0$$
Já que o cilindro é eletricamente neutro.
$$|E| = 0$$
Logo, o gráfico fica:
Problema 10**
O campo elétrico na superfície de um planeta é de aproximadamente 100 N/C, apontando para baixo. A 100 metros acima da superfície, o campo elétrico na atmosfera é de apenas 10 V/m, também direcionado para baixo. Qual é a densidade média de carga na atmosfera desse planeta abaixo de 100 metros? Considere a permissividade do ar como sendo $$\varepsilon_0=8,85 \cdot 10^{-12} F/m$$
Utilizando a Lei de Gauss para um prisma como superfície gaussiana:
$$\phi =\dfrac{q_{int}}{\varepsilon_0}$$
$$\phi = 100 A – 10 A=90 A$$
$$q_{int} = \rho_{ar} h A$$
Substituindo,
$$90 A =\dfrac{\rho_{ar} h A}{\varepsilon_0}$$
$$90 =\dfrac{\rho_{ar} 100 }{8,85 \cdot 10^{-12}}$$
$$\boxed{\rho_{ar} \approx 8,0 10^{-12} C/m^3}$$
$$\boxed{\rho_{ar} \approx 8,0 10^{-12} C/m^3}$$
Problema 11***
Uma carga Q foi colocada no centro de um cilindro de altura 8m e raio 4m como na figura. Calcule o fluxo elétrico resultante na área lateral do cilindro.
Podemos imaginar a seguinte superfície gaussiana: Uma esfera de raio $$r^2=4^2+4^2 \Rightarrow r=4\sqrt{2} m$$. De modo que a esfera tangencie a base e o topo do cilindro. Pela Lei de Gauss da superfície esferica:
$$\phi_{total}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}=E \cdot 4\pi r^2$$
Fazendo a Lei de Gauss para a superfície cilindrica:
$$\phi_{lateral}=E \cdot A_{lateral}$$
$$\phi_{lateral}=E \cdot 4 \pi r\cdot 4$$
Substituindo E:
$$\phi_{lateral}=\dfrac{Q}{4\pi r^2 \varepsilon_0} \cdot 4 \pi r \cdot 4$$
$$\phi_{lateral}=\dfrac{Q}{ 4r \varepsilon_0}$$
$$\boxed{\phi_{lateral}=\dfrac{Q}{ 16\sqrt{2} \varepsilon_0} Nm^2/C}$$
$$\boxed{\phi_{lateral}=\dfrac{Q}{ 16\sqrt{2} \varepsilon_0} Nm^2/C}$$
Problema 12***
Uma esfera isolante de raio R é eletrizada positivamente com uma densidade superficial de carga $$+\rho$$ e possui uma cavidade em seu interior de raio $$\dfrac{R}{2}$$, como na figura. Nessa cavidade, uma carga $$+q$$ é posicionada. Calcule a força elétrica atuante na carga +q.
Calculando o campo elétrico dentro da esfera (desconsiderando a cavidade):
$$E \cdot A=\dfrac{q_{int}}{\varepsilon_0}$$
$$E \cdot 4 \pi r^2 =\dfrac{\rho \dfrac{4\pi r^3}{3}}{\varepsilon_0}$$
$$\vec{E} =\dfrac{\rho \vec{r}}{3\varepsilon_0}$$
Pelo princípio da superposição, podemos considerar a cavidade como sendo a soma de uma densidade de carga $$+\rho$$ com uma densidade de carga $$-\rho$$. Logo, o campo elétrico na cavidade é $$\vec{E}=vec{E_+}+vec{E_-}$$
$$\vec{E_+} =\dfrac{\rho \vec{r_+}}{3\varepsilon_0}$$
$$\vec{E_+} =\dfrac{-\rho \vec{r_-}}{3\varepsilon_0}$$
Onde $$\vec{r_+}$$ e $$\vec{r_-}$$ são:
Perceba que vetorialmente, $$\vec{r_+} -\vec{r_-} = \dfrac{\vec{R}}{2}$$. Então,
$$\vec{E}=vec{E_+}+vec{E_-}$$
$$\vec{E}=\dfrac{\rho (\vec{r_+}- \vec{r_-})}{3\varepsilon_0}$$
$$\vec{E}=\dfrac{\rho \vec{R}}{6\varepsilon_0}$$
Portanto, o módulo da força é:
$$\boxed{F=\dfrac{q \rho R}{6\varepsilon_0}}$$
$$\boxed{F=\dfrac{q \rho R}{6\varepsilon_0}}$$
Problema 13*
Considere um fio retilíneo infinitamente longo, uniformemente eletrizado com uma densidade linear de carga $$+\lambda$$. A força elétrica que atua sobre uma carga puntiforme +q, localizada a uma distância s desse fio, é dada por:
Pela Lei de Gauss:
$$E \cdot A=\dfrac{q_{int}}{\varepsilon_0}$$
$$E \cdot 2 \pi s l=\dfrac{\lambda l}{\varepsilon_0}$$
$$E=\dfrac{\lambda}{2 \pi s\varepsilon_0}$$
Logo, a força é:
$$\boxed{F=\dfrac{q \lambda}{2 \pi s\varepsilon_0}}$$
$$\boxed{F=\dfrac{q \lambda}{2 \pi s\varepsilon_0}}$$
Problema 14*
(ITA) Um fio de densidade linear de carga positiva $$\lambda$$ atravessa três superfícies fechadas A, B e C, de formas respectivamente cilíndrica, esférica e cúbica, como mostra a figura.
Sabe-se que A tem comprimento L = diâmetro de B = comprimento de um lado de C, e que o raio da base de A é a metade do raio da esfera B. Sobre o fluxo do campo elétrico, $$\phi$$, através de cada superfície fechada, pode-se concluir que:
a)$$\phi_A=\phi_B=\phi_C$$
b)$$\phi_A>\phi_B>\phi_C$$
c)$$\phi_A<\phi_B<\phi_C$$
d)$$\phi_A/2=\phi_B=\phi_C$$
e)$$\phi_A=2\phi_B=\phi_C$$
Pela Lei de Gauss:
$$E\cdot A=\phi=\dfrac{q_{int}}{\varepsilon_0}$$
Perceba que o fluxo $$\phi$$ só depende da carga interna $$q_{int}$$.
Para a superfície A:
$$q_{int A}= \lambda L$$
Para a superfície B:
$$q_{int B}= \lambda L$$
Para a superfície C:
$$q_{int C}= \lambda L$$
Perceba que $$q_{int A}=q_{int B}=q_{int C}$$. Portanto,
$$\boxed{\phi_A=\phi_B=\phi_C}$$
$$\boxed{\phi_A=\phi_B=\phi_C}$$
Problema 15***
Uma calota esférica é eletricamente carregada com uma densidade superficial de carga $$+\sigma$$ e disposta como na figura. Calcule o campo elétrico resultante no centro da esfera.
Considere a contribuição de um “pedaço” da calota $$\Delta A$$:
$$\Delta E= \dfrac{\sigma \Delta A}{4\pi \varepsilon_0 R^2}$$
Pela simetria, sabemos que o campo elétrico deve ser perpendicular à superfície (como na figura). Logo,
$$\Delta E_x= \dfrac{\sigma \Delta A \cos\theta}{4\pi \varepsilon_0 R^2}$$
$$E_x=\dfrac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0 R^2} \sum \Delta A \cos\theta $$
$$E_x=\dfrac{\sigma}{4\pi R^2 \varepsilon_0} A_{projetada} $$
$$E_x=\dfrac{\sigma}{4\pi R^2 \varepsilon_0} \pi r^2 $$
$$\boxed{E_x=\dfrac{\sigma r^2}{4 R^2 \varepsilon_0}}$$
$$\boxed{E_x=\dfrac{\sigma r^2}{4 R^2 \varepsilon_0}}$$