Escrito por Caio Yamashita
Nesta aula, iremos introduzir os conceitos fundamentais do magnetismo, compreendendo a natureza do campo magnético, a força exercida por campos magnéticos sobre cargas elétricas e correntes elétricas, além de estudar o movimento de partículas carregadas em campos magnéticos uniformes. Discutiremos também a regra da mão direita, uma ferramenta para determinar direções em produtos vetoriais.
O Campo Magnético
Assim como uma carga elétrica cria ao seu redor um campo elétrico, correntes elétricas e ímãs produzem um campo magnético, uma grandeza vetorial representada por $$\vec{B}$$.
Historicamente, o magnetismo foi observado inicialmente em minerais capazes de atrair objetos de ferro. Atualmente, sabemos que todos os fenômenos magnéticos têm origem no movimento de cargas elétricas.
O campo magnético é medido no Sistema Internacional em tesla (T). Embora sua definição completa envolva a força exercida sobre cargas em movimento, podemos inicialmente interpretá-lo como uma entidade física que preenche o espaço ao redor de ímãs, correntes elétricas e partículas carregadas em movimento.
Uma característica importante do campo magnético é que suas linhas de campo sempre formam curvas fechadas. Em um ímã comum, convenciona-se que as linhas saem do polo norte e entram no polo sul.
Força Magnética Sobre uma Carga Elétrica
Considere uma carga elétrica $$q$$ movendo-se com velocidade $$\vec{v}$$ em uma região onde existe um campo magnético $$\vec{B}$$. Experimentalmente, observa-se que a carga sofre uma força magnética cujo valor vetorial é dado por
$$\vec{F}_B=q\vec{v}\times\vec{B}$$.
Essa expressão é conhecida como força magnética.
O módulo da força é dado por
$$F_B=|q|vB\sin\theta$$,
onde $$\theta$$ é o ângulo formado entre os vetores velocidade e campo magnético.
Observe algumas consequências imediatas dessa expressão:
a) Se a carga estiver em repouso, $$v=0$$, e portanto
$$F_B=0$$.
Assim, campos magnéticos não exercem força sobre cargas em repouso.
b) Se a velocidade for paralela ao campo magnético, $$\theta=0$$(ou $$\pi$$, caso seja antiparalela), de modo que
$$\sin0=0$$,
e novamente
$$F_B=0$$.
Portanto, não há força magnética quando a partícula se move paralelamente às linhas de campo.
c) Se a velocidade for perpendicular ao campo magnético, $$\theta=90^\circ$$, e como
$$\sin90^\circ=1$$,
obtemos o valor máximo possível para a força:
$$F_B=|q|vB$$.
Características da Força Magnética
Uma das propriedades mais importantes da força magnética é que ela é sempre perpendicular à velocidade da partícula.
De fato, pela definição do produto vetorial, o vetor força magnética é perpendicular tanto ao vetor velocidade quanto ao vetor campo magnético.
Como consequência, a força magnética não realiza trabalho sobre a partícula. Isso significa que ela não altera a energia cinética nem o módulo da velocidade da carga. Sua única função é modificar a direção do movimento.
Portanto:
a) A energia cinética permanece constante.
b) O módulo da velocidade permanece constante.
c) Apenas a direção da velocidade varia.
Regra da Mão Direita
A determinação da direção da força magnética é feita através da chamada regra da mão direita.
Para uma carga positiva:
a) Aponte os dedos da mão direita na direção da velocidade $$\vec{v}$$.
b) Gire os dedos em direção ao campo magnético $$\vec{B}$$.
c) O polegar indicará a direção da força magnética $$\vec{F}_B$$.
Caso a carga seja negativa, o sentido encontrado pela regra da mão direita deve ser invertido.
Essa regra decorre diretamente da natureza vetorial da expressão
$$\vec{F}_B=q\vec{v}\times\vec{B}$$.
Exemplo 1:
Uma carga positiva move-se horizontalmente para a direita em uma região onde o campo magnético aponta para dentro do plano da página(entrando). Determine a direção da força magnética.
Solução:
Aplicando a regra da mão direita:
- Os dedos apontam para a direita.
- O campo magnético aponta para dentro da página.
O polegar aponta para cima paralelo ao plano.
Logo, a força magnética aponta para cima.
Força Magnética Sobre Correntes Elétricas
Sabemos que uma corrente elétrica corresponde ao movimento ordenado de cargas elétricas. Portanto, um campo magnético também pode exercer força sobre um fio percorrido por corrente.
Considere um condutor retilíneo de comprimento $$L$$ percorrido por uma corrente elétrica $$i$$, imerso em um campo magnético uniforme $$\vec{B}$$.
A força magnética exercida sobre esse trecho do condutor é dada por
$$\vec{F}=i\vec{L}\times\vec{B}$$.
Seu módulo é
$$F=iLB\sin\theta$$,
onde $$\theta$$ é o ângulo entre a direção da corrente e o campo magnético.
Assim como ocorre para partículas carregadas:
a) Corrente paralela ao campo magnético produz força nula.
b) Corrente perpendicular ao campo magnético produz força máxima.
Exemplo 2:
Um fio de comprimento $$0,30m$$ é percorrido por uma corrente de $$4A$$ e encontra-se perpendicularm a um campo magnético uniforme de intensidade $$0,5T$$. Determine a força magnética exercida sobre o fio.
Solução:
Como o fio é perpendicular ao campo magnético,
$$\theta=90^\circ$$
e
$$\sin90^\circ=1$$.
Logo,
$$F=iLB$$
$$F=(4)(0,30)(0,5)$$
$$F=0,6N$$.
Movimento Circular em Campo Magnético Uniforme
Consideremos agora uma partícula carregada penetrando perpendicularmente em uma região onde existe um campo magnético uniforme.
Como a velocidade é perpendicular ao campo magnético, a força magnética possui módulo
$$F_B=qvB$$.
Além disso, essa força é sempre perpendicular à velocidade da partícula. Portanto, ela atua exatamente como uma força centrípeta. Vamos considerar apenas o módulo da carga nos próximos passos(e não o seu sinal).
Sabemos que a força centrípeta necessária para manter uma partícula em movimento circular uniforme é
$$F_c=\dfrac{mv^2}{R}$$,
onde $$m$$ é a massa da partícula e $$R$$ é o raio da trajetória.
Igualando força magnética e força centrípeta:
$$qvB=\dfrac{mv^2}{R}$$.
Cancelando um fator de velocidade:
$$qB=\dfrac{mv}{R}$$.
Assim, o raio da trajetória circular é
$$R=\dfrac{mv}{qB}$$.
Esse resultado mostra que:
a) Quanto maior a massa da partícula, maior será o raio.
b) Quanto maior a velocidade, maior será o raio.
c) Quanto maior o campo magnético, menor será o raio.
d) Quanto maior a carga elétrica, menor será o raio.
Período e Frequência do Movimento
Como a trajetória é circular, seu comprimento é
$$2\pi R$$.
O período do movimento será dado por
$$T=\dfrac{2\pi R}{v}$$.
Substituindo a expressão do raio:
$$T=\dfrac{2\pi}{v}\dfrac{mv}{qB}$$
$$T=\dfrac{2\pi m}{qB}$$.
Portanto, o período não depende da velocidade da partícula.
A frequência do movimento é
$$f=\dfrac{1}{T}$$,
de modo que
$$f=\dfrac{qB}{2\pi m}$$.
Exemplo 3:
Um elétron entra perpendicularmente em um campo magnético uniforme de intensidade $$B$$ com velocidade $$v$$. Determine o raio de sua trajetória.
Solução:
Aplicando diretamente a expressão obtida anteriormente:
$$R=\dfrac{mv}{qB}$$.
Como se trata de um elétron:
$$m=m_e$$ e $$q=e$$.
Logo,
$$R=\dfrac{m_ev}{eB}$$.
A trajetória descrita pelo elétron será uma circunferência.
Resumo
-A força magnética sobre uma carga elétrica é dada por
$$\vec{F}_B=q\vec{v}\times\vec{B}$$.
-Seu módulo vale
$$F_B=|q|vB\sin\theta$$.
-A força magnética é sempre perpendicular à velocidade e, portanto, não realiza trabalho.
-A direção da força é determinada pela regra da mão direita.
-A força magnética sobre um condutor percorrido por corrente é dada por
$$\vec{F}=i\vec{L}\times\vec{B}$$.
-Uma carga que entra perpendicularmente em um campo magnético uniforme executa movimento circular uniforme com raio
$$R=\dfrac{mv}{qB}$$
-e período
$$T=\dfrac{2\pi m}{qB}$$.