Escrito por Caio Yamashita
Falaaaaaa, Olímpicos!!!! Escrevi essas questões para vocês treinarem sobre a força de Lorentz. Elas estão com a dificuldade indicada por asteriscos.
Problema 1 *
Uma partícula de massa $m$ e carga positiva $q$ é lançada com velocidade horizontal $v$ em uma região onde existe um campo magnético uniforme $B$ perpendicular à velocidade. Determine o raio $R$ da trajetória circular descrita pela partícula e o período $T$ do movimento.
A força magnética atua como força centrípeta no movimento circular uniforme:
Isolando o raio $R$:
O período $T$ corresponde ao tempo necessário para percorrer o perímetro da circunferência com velocidade constante:
Problema 2 *
Um feixe de íons, cada um com carga $q$ e massa $m$, é acelerado a partir do repouso por uma diferença de potencial $V$. Em seguida, os íons entram em uma região com campo magnético uniforme $B$ perpendicular à direção de movimento. Encontre uma expressão para o raio da trajetória circular que os íons descrevem.
Pelo teorema da energia cinética, o trabalho realizado pelo campo elétrico na aceleração transforma-se em energia cinética:
A força magnética fornece a resultante centrípeta na região de campo magnético:
Substituindo a velocidade $v$:
Problema 3
Um seletor de velocidades consiste em uma região onde coexistem um campo elétrico uniforme $E$ e um campo magnético uniforme $B$, ambos perpendiculares entre si e à direção de movimento de uma partícula de carga $q$ e velocidade $v$. Determine a velocidade que uma partícula deve possuir para atravessar o dispositivo sem sofrer desvio em sua trajetória retilínea.
Para que a partícula atravesse a região sem sofrer desvio, a força elétrica e a força magnética devem ter módulos iguais e sentidos opostos, anulando-se mutuamente:
Isolando a velocidade $v$:
Note que o resultado é independente da massa e da carga da partícula.
Problema 4
Uma partícula de massa $m$ e carga $q$ é liberada a partir do repouso em uma região onde existem campos cruzados: um campo elétrico uniforme $\vec{E}$ na direção do eixo $y$ e um campo magnético uniforme $\vec{B}$ na direção do eixo $z$. Utilizando as equações de movimento, determine a velocidade máxima alcançada pela partícula na direção do eixo $y$.
As equações de Newton para as componentes da velocidade são:
Integrando a primeira equação a partir do repouso ($v_x = 0$ em $t = 0$):
(ou por relação direta com a posição $y$).
Pela conservação de energia, como o campo magnético não realiza trabalho, a energia cinética é devida apenas ao trabalho da força elétrica:
A velocidade $v_y$ é máxima quando a aceleração $dv_y/dt = 0$. Da segunda equação de movimento, isso ocorre quando:
Substituindo $v_x$ na relação de conservação de energia e lembrando que o deslocamento máximo em $y$ ocorre nesse ponto, podemos encontrar a velocidade máxima. Resolvendo o sistema diferencial, a velocidade máxima em $y$ é atingida quando $v_x$ atinge seu valor máximo, resultando em:
Problema 5 ***
(OBF) Uma partícula de massa $m$ e carga elétrica positiva $q$ entra em uma região semi-infinita contendo um campo magnético uniforme $B$ perpendicular ao plano da trajetória, com velocidade $v$ fazendo um ângulo $\theta$ com a fronteira reta da região, penetrando no campo. Determine a distância máxima que a partícula penetra para o interior da região de campo magnético a partir da fronteira.
A trajetória da partícula dentro do campo magnético é um arco de circunferência de raio:
A penetração máxima medida perpendicularmente à fronteira ocorre quando o vetor velocidade da partícula se torna paralelo à fronteira (ou seja, quando ela descreve um arco cujo desvio angular em relação à direção de entrada é $\theta$).
Geometricamente, a distância máxima $d$ medida de forma perpendicular à linha de entrada é dada por uma corda ou projeção do raio da trajetória. Desenhando a geometria do arco, a penetração máxima é:
Substituindo o valor do raio $R$: