Escrito por Mateus Bastos
Lei de Ampére
Durante a formulação do eletromagnetismo, não se sabia a ligação entre eletricidade, magnetismo e óptica. No entanto, começaram a ser estudados fenômenos que aparentavam trazer uma relação entre eles. É possível, por exemplo, medir um campo magnético próximo a um circuito elétrico. Esse fenômeno se traduz na Lei de Ampére.
Imagine um fio retilíneo conduzindo corrente elétrica, atravessando perpendicularmente uma folha de papel. Se você espalhar limalha de ferro sobre essa folha, observará que os grãos se organizam formando círculos concêntricos ao redor do fio. Isso acontece porque a corrente gera um campo magnético no espaço ao seu redor, e cada grão de limalha, comportando-se como uma pequena bússola, alinha-se com esse campo, revelando o formato das linhas de campo magnético.
A “quantidade de campo magnético acumulada” ao longo de um caminho fechado depende apenas da corrente que atravessa a área delimitada por ele.
Essa região, em questão, é uma curva imaginária unidimensional chamada de Amperiana (semelhante à região gaussiana da Lei de Gauss). Uma amperiana é um caminho fechado escolhido arbitrariamente, em que passa uma corrente que é a corrente encerrada.
A circulação de um campo vetorial seria a quantidade (em vetor) de linhas de campo passando por uma determinada curva fechada (imagine, por exemplo, linhas de campo de um fluído passando por uma área determinada de um cano). A computação da circulação não é relevante para a OBF.
Se você desenhar uma amperiana em torno da região 1 (encerrando corrente $$i$$) e uma amperiana em torno da região 2 (encerrando corrente $$2i$$), a circulação do campo magnético ao longo da segunda amperiana será o dobro da circulação ao longo da primeira. Cuidado que nesse exemplo é discutida sobre a circulação do campo, não o valor de seu módulo, que não necessariamente é o mesmo (veja o primeiro exemplo do fio infinito).
Qualitativamente, a Lei de Ampére afirma o seguinte: correntes elétricas são as fontes do campo magnético, e a estrutura geométrica do campo é determinada pela distribuição das correntes que o produzem. Ela estabelece uma ponte fundamental entre fenômenos elétricos e magnéticos, mostrando que não se tratam de domínios independentes da natureza, mas de aspectos profundamente conectados.
A forma integral/diferencial da Lei de Ampére é a mais completa, mas não são relevante para provas como a OBF:
$$\displaystyle \oint_c \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 i \rightarrow \nabla \times \mathbf{B}=\mu_0 \mathbf{J}$$
- $$\mu_0$$ é a permeabilidade magnética do vácuo;
- $$i$$ é a corrente elétrica;
- $$\mathbf{J}$$ é a densidade de corrente.
Seja um fio infinito e cilíndrico com raio desprezível, percorrido por uma corrente $$i$$. Pela Lei de Ampére, o campo magnético gerado à uma distância $$a$$ é:
$$\displaystyle 2\pi a |\mathbf{B}|=\mu_0 i \rightarrow |\mathbf{B}|=\frac{\mu_0 i}{2\pi a}$$
Veja que nesse exemplo, se uma amperiana $$C_1$$ for desenhada em torno do ponto $$P_1$$ à distância $$a$$ do fio, e a amperiana $$C_2$$ em torno do ponto $$P_2$$, diametralmente oposto ao $$P_1$$, os campos serão iguais em módulo e circulação (simetria rotacional garante esse fato).
Lei de Biot-Savart
Para calcular campos magnéticos pontuais, dado uma corrente em um condutor, usa-se a lei de Biot-Savart:
Novamente, para provas como OBF, não será cobrado a demonstração matemática de campos e nem a resolução de integrais de linha
$$\displaystyle \mathbf{B}=\frac{\mu_0 i}{4\pi}\int \frac{d\mathbf{l}\times \hat{r}}{r^2}$$
- $$d\mathbf{l}$$ é o elemento infinitesimal de comprimento do fio;
- $$\hat{r}$$ é o versor que aponta do fio para o ponto desejado;
- $$r$$ é o módulo da distância entre o fio e o ponto desejado.
Algo importante de ser destacado é que para pontos paralelos à corrente, ou seja, aqueles que o ângulo formado pelo versor $$\hat{r}$$ e a direção da corrente é nulo ($$d\mathbf{l} \times \hat{r}=0$$), não há campo magnético. Isso explica, junto de argumentos de simetria, que a figura formada pelo campo magnético $$\mathbf{B}$$ de um fio retilíneo infinito é um campo vetorial circular para uma distância $$a$$.
Aplicações a geometrias relevante
Espira circular e bobina chata
Uma bobina apresenta simetria de rotação (tente girar um círculo no sentido anti-horário ou horário, você não poderá notar diferença sem marcar pontos!). Todo pequeno elemento do arco da bobina pode ser tratado como um pedacinho de fio, e então, usando o princípio de superposição, o módulo do campo magnético no centro será dado pela soma das contribuições de todos os pedacinhos ao longo do arco de circunferência. Note que, nesse caso, o campo será na direção perpendicular ao plano da bobina (consequência da regra da mão direita aplicada a cada pedacinho).
Pela lei de Biot-Savart, cada elemento de comprimento a uma distância $$r$$ do centro contribui com:
$$\displaystyle |d\mathbf{l} \times \hat{r}|= \Delta L_i \rightarrow |\mathbf{B}_i|=\frac{\mu_0 I}{4\pi r^2}\Delta L_i$$
Novamente, pela sobreposição, o campo total é a soma de todos os elementos de campo por cada pedaço da circunferência. Se é a soma, então a soma de todos os pedaços da circunferência é a própria circunferência:
$$\displaystyle \int \rightarrow \sum_i ; \qquad |\mathbf{B}|=\sum_i |\mathbf{B}_i| = 2\pi r \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2}=\frac{\mu_0 I}{2r}$$
Uma bobina chata é a junção de muitas espiras circulares de forma ideal. Portanto, o campo resultante será a soma do campo de cada uma das voltas das espiras:
$$\displaystyle |\mathbf{B}|=\sum_i^N |\mathbf{B}_i|=N\frac{\mu_0 I}{2r}$$
Solenóide
Um solenóide infinitamente longo apresenta 3 propriedades bastante importantes:
- Simetria de translação: transladar o solenóide uma distância $$x$$ não muda a configuração total do sistema (ele é infinito). Portanto, o campo magnético não depende da posição do ponto (constante);
- Simetria de rotação: Girar o solenóide ao longo de seu eixo não altera a configuração do sistema (simetria axial). Portanto, o campo é paralelo ao eixo;
- Linhas de campo externas: é possível mostrar matematicamente (não será feito) que as linhas de campo externas ao solenóide se cancelam (condição de convergência no infinito). Portanto, o campo externo é nulo.
Um solenóide ideal apresenta características semelhantes ao solenóide infinito (raio muito menor que comprimento total, sem efeitos de borda, etc.). Portanto, essas características acima se aplicam para o caso trabalhado!
$$\displaystyle \mathbf{B}_{int}=\mu_0 i n\hat{z}=\frac{\mu_0 i N}{L}\hat{z}; \qquad |\mathbf{B}_{ext}|=0$$
É fácil ver que todas as simetrias se aplicam aqui (o campo é axial, é constante ao longo do solenóide, e nulo no exterior). A derivação para esse caso será apenas argumentativa.
Magnetismo na matéria
A permeabilidade magnética, igual a permissividade elétrica, é uma propriedade do meio. Isso explica o motivo de ocorrer refração (velocidade da luz depende desses dois valores, e muda com o meio). Para a OBF, o eletromagnetismo na matéria em nível avançado não será cobrado (nem em questões de óptica física). Ao considerarmos a matéria neste nível de OBF, apenas trocamos $$\mu_0$$ por $$\mu$$, a permeabilidade magnética do meio. Fazemos isso por que a própria matéria pode ficar magnetizada, o que afeta o campo magnético que medimos em um laboratório por exemplo.