Escrito por José Ulisses Fonseca Mendonça
Na aula de hoje, iremos aprender sobre Indução Eletromagnética, um dos fenômenos mais interessantes da Física. A partir desse estudo, vamos introduzir conceitos importantes como o Fluxo Magnético e a Força Eletromotriz Induzida chegando até Indutâncias e Energia em Campos Magnéticos. Sinta-se convidado para acessar nosso Curso de Física, onde temos diversas outras aulas além dessa. Se seu objetivo é estudar para a OBF, você não precisa se preocupar tanto com as fórmulas integrais e diferenciais apresentadas durante a aula, que servem apenas como uma generalização do conteúdo. Agora, vamos começar a aula!
Fluxo Magnético
Introdução
Imagine uma superfície no espaço denominada $$S$$, na qual existe um campo magnético constante $$\vec{B}$$. A superfície $$S$$ tem área $$A$$ e as linhas de campo magnético estão deslocadas de um ângulo $$\theta$$ em relação ao vetor área $$\vec{A}$$ conforme a figura abaixo.
O fluxo magnético através dessa superfície é definido como:
$$\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos{\theta}$$
O fluxo magnético é uma grandeza escalar que relaciona o campo magnético com a área projetada de uma superfície. Note que sempre devemos usar a área projetada perpendicularmente ao campo, ou de forma análoga, podemos decompor o campo perpendicularmente à área. A unidade de fluxo magnético no S.I. é Weber ($$Wb$$). Perceba agora que se o campo não for constante ao longo da superfície, vamos ter que somar cada contribuição do campo $$B$$ com seu respectivo pedaço de área $$dA$$, equacionando:
$$\Phi = \displaystyle \int_S \vec{B} \cdot d\vec{A}$$
Esta é a forma generalizada para o fluxo magnético passando por uma superfície. Não se assuste com a integral, lembre-se que integrais são apenas somatórios em regime contínuo.
Lei de Gauss para o Magnetismo
Agora, podemos falar de uma importante lei do magnetismo. Ela não tem um nome específico, mas muitos chamam de Lei de Gauss para o Magnetismo. Aqui está o seu enunciado: o fluxo magnético total através de qualquer superfície fechada é igual a 0. Equacionando:
$$\Phi_{fechada} = \displaystyle \oint_S \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$$
Isso se deve porque as linhas de campo magnético não começam nem terminam em nenhum ponto, elas são sempre fechadas. Logo, tudo que entra na superfície também sai e no final não haverá variação de fluxo magnético. Essa afirmação está diretamente relacionada ao fato de não existirem monopolos magnéticos, substitua $$q=0$$ na Lei de Gauss tradicional e veja o que acontece!
Força Eletromotriz Induzida
Introdução
A força eletromotriz induzida $$\epsilon$$ é, por definição, a energia por carga fornecida por uma fonte para fazer as cargas circularem num circuito completo. Equacionando:
$$\epsilon = \displaystyle \frac{W}{q} = \displaystyle \oint \vec{E} \cdot d\vec{l}$$
Em fontes ideais, onde não há perda de energia interna, temos que a força eletromotriz induzida $$\epsilon$$ será igual a diferença de potencial dos terminais da fonte $$\Delta V$$. Caso não estejamos trabalhando com fontes ideais e sim com fontes reais, que dissipam energia interna, teremos
$$\Delta V = \epsilon – rI$$
Onde $$r$$ é a resistência interna da fonte e $$I$$ é a corrente que passa por ela.
Lei de Faraday-Neumann
A lei de Faraday-Neumann nos diz que:
$$\epsilon = -\displaystyle \frac{d\Phi}{dt}$$
Você pode estar se perguntando o que é aquele $$d$$ do lado do $$\Phi$$ e do $$t$$. É simplesmente uma diferença infinitesimal. O $$\Delta$$ que geralmente usamos serve para variações grandes, enquanto o $$d$$ serve para variações muito pequenas. Basicamente, imaginando o gráfico $$\Phi$$ versus $$t$$, a tangente deste gráfico em um ponto qualquer representa $$\frac{d\Phi}{dt}$$. Ilustrando, temos:
Basicamente, temos que:
$$\displaystyle \frac{d\Phi}{dt} = \tan{\alpha}$$
Esse é o conceito de derivada. Assim, caso queira achar a força eletromotriz induzida em um certo instante $$t$$ conhecendo apenas o gráfico $$\Phi$$ versus $$t$$, basta traçar a reta tangente ao ponto do instante referido, achar o coeficiente angular e multiplicar por -1.
Voltando para a Lei de Faraday-Neumann, podemos escrevê-la como:
$$\epsilon = \displaystyle \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\displaystyle \frac{d\Phi}{dt} = -\displaystyle \int_S \frac{d\vec{B}}{dt} \cdot d\vec{A}$$
A partir disso, podemos concluir que a variação de fluxo magnético induz um campo elétrico no espaço! Logo, se tivermos variação de campo magnético com o tempo, teremos um campo elétrico induzido.
Lei de Lenz
Vimos anteriormente que a variação de fluxo magnético gera uma força eletromotriz induzida. Caso tivermos um circuito fechado condutor, isso é, com pelo menos um elemento condutor, teremos também uma corrente induzida no circuito. A Lei de Lenz nos diz que a corrente induzida surge em um sentido tal que produz um fluxo induzido em oposição à variação do fluxo indutor que lhe deu origem. Observe a imagem abaixo:
Veja que a variação do fluxo está direcionada no mesmo sentido do campo, portanto devemos usar a regra da mão direita com o negativo dessa variação, ou seja, apontando o dedão para baixo! Assim teremos uma corrente induzida no sentido horário.
Indutâncias
Indutância Própria
Por Biot-Savart, sabemos que o campo magnético é proporcional à corrente e pela definição de fluxo magnético, sabemos que o fluxo é proporcional ao campo. Logo, podemos introduzir uma constante de proporcionalidade chamada indutância própria que chamaremos de $$L$$ de modo que $$\Phi = LI$$. Esta constante depende apenas da geometria do loop (tamanho e formato) e sua unidade no S.I. é Henrys ($$H$$). Se a corrente variar com o tempo, temos que a força eletromotriz induzida será:
$$\epsilon = -L\displaystyle \frac{dI}{dt}$$
Em circuitos onde temos indutores ideais, essa é exatamente a sua diferença de potencial. Agora você sabe de onde saiu essa fórmula!
Exemplos
Considere um solenoide com $$N$$ espiras, comprimento $$l$$ e seção circular de raio $$R$$. Temos que o campo dentro dele é constante, ou seja, não há necessidade de integrar. Temos:
$$\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = \displaystyle \frac{\mu_0 NI}{l}\pi R^2 $$
Note que esse fluxo é de apenas uma espira do solenoide. Logo:
$$L = \displaystyle \frac{N\Phi}{I} = \displaystyle \frac{\mu_0 N^2\pi R^2}{l}$$
Considere um toroide de seção reta retangular com $$N$$ espiras, altura $h$, raio interno $r_1$ e raio externo $r_2$. Temos que o campo dentro dele depende apenas da distância até o centro $$r$$, ou seja, precisamos integrar esse campo $$B(r)$$ para acharmos o fluxo total que passa por uma seção retangular do toroide. Temos:
$$\Phi = \displaystyle \int_S \vec{B} \cdot d\vec{A} = \int_{r_1}^{r_2} \int_0^h \displaystyle \frac{\mu_0 NI}{2\pi r}dxdy$$
$$\Phi = \displaystyle \frac{\mu_0 NIh}{2\pi}ln\left(\displaystyle \frac{r_2}{r_1}\right)$$
Note que esse fluxo é de apenas uma espira do toroide. Logo:
$$L = \displaystyle \frac{N\Phi}{I} = \displaystyle \frac{\mu_0 N^2h}{2\pi} ln\left(\displaystyle \frac{r_2}{r_1}\right)$$
Indutância mútua
Suponha que temos dois loops de fio conforme a imagem abaixo. Se fizermos circular uma corrente $$I$$ no loop 1, vamos produzir um campo magnético $$B_1$$. Algumas das linhas de campo irão passar pelo loop 2, gerando um fluxo magnético nesse loop. Você pode levar um bom tempo para calcular $$B_1$$ e depois integrar sobre a superfície 2 para achar $$\Phi_2$$ ou pode usar que $$\Phi_2$$ depende de $$B_1$$ e portanto de $$I_1$$ também, como vimos anteriormente.
Logo, chamando de $$M_{21}$$ uma constante de proporcionalidade que relaciona $$\Phi_2$$ e $$I_1$$, temos:
$$\Phi_2 = M_{21} I_1$$
Com uma física mais avançada, chegamos a fórmula de Neumann:
$$M_{21} = \displaystyle \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \oint \frac{d\vec{l_1} \cdot d\vec{l_2}}{r}$$
Portanto, segue que $$M_{21}$$, assim como $$L$$, só depende da geometria dos dois loops ( tamanho e formato ) e para $$M_{12}$$, chegaremos à mesma fórmula devido à simetria do produto escalar. Assim, $$M_{21} = M_{12}$$, ou seja, independentemente da geometria dos loops, o fluxo magnético através de 2 quando aplicamos uma corrente $$I$$ em 1 é idêntico ao fluxo magnético através de 1 quando aplicamos a mesma corrente $$I$$ em 2.
Exemplo
Considere dois anéis concêntricos de raios $$R$$ e $$r$$ com $$R>>r$$ que chamaremos de anéis 1 e 2. O anel 1 tem uma corrente $$I_1$$ circulando nele. Em problemas com simetria, em que não precisamos calcular $$B(r)$$ em todos os pontos do espaço para depois integrar e achar o fluxo, é infinitamente melhor achar a indutância mútua por $$\Phi_2 = M_{21} I_1$$. Só faz sentido usar a fórmula integral apresentada acima em problemas onde simetrias e aproximações não são válidas. Logo, vamos resolver por $$\Phi_2 = M_{21} I_1$$.
Como $$R>>r$$, podemos considerar que o campo é constante no anel de raio $$r$$ e igual ao do centro dos anéis. Temos:
$$\Phi_2=\vec{B} \cdot \vec{A}=\displaystyle \frac{\mu_0 I_1}{2R} \pi r^2$$
$$M_{21} I_1=\displaystyle \frac{\mu_0 I_1}{2R} \pi r^2 \implies M_{21}=\displaystyle \frac{\mu_0\pi r^2}{2R}$$
Energia em Campos Magnéticos
Introdução
Vimos anteriormente que a força eletromotriz é a energia fornecida por uma fonte por unidade de carga elétrica. Logo, como a fonte perde energia, temos que a variação de sua energia com o tempo é negativa. Isso significa que a potência elétrica também é. Equacionando junto com a fórmula da potência elétrica:
$$P_{ot} = -\displaystyle \frac{dE}{dt} = \epsilon I = -\displaystyle \frac{d\Phi}{dt}I$$
$$dE = LIdI$$
Se começarmos com uma corrente nula e chegarmos a um valor final $$I$$, temos:
$$E = \displaystyle \frac{LI^2}{2}$$
Vemos que a energia da nossa fonte não depende do tempo, mas sim de aspectos geométricos do circuito e da corrente.
E se tivermos duas ou mais fontes acopladas, isto é, a indutância mútua entre elas é diferente de 0? Como será a energia magnética do sistema? Nesse caso, temos a fórmula geral:
$$E = \displaystyle \frac{1}{2} \sum^n_{i=1} \sum^n_{j=1} M_{ij} I_i I_j$$
Onde $$M_{ii} = L_{i}$$ é a indutância própria da fonte $$i$$ e $$M_{ij}$$ é a indutância mútua da fonte $$i$$ com a $$j$$.
Para o caso de duas fontes:
$$E = \displaystyle \frac{L_1 I_1^2}{2} + \displaystyle \frac{L_2 I_2^2}{2} + M_{12} I_1 I_2$$
Há uma forma mais bonita e geral de escrever essa energia, generalizando para qualquer corrente superficial e volumétrica. Com uma física mais avançada, chegamos a forma final e mais geral da energia em um campo magnético:
$$E = \displaystyle \frac{1}{2\mu_0} \int B^2 d\tau$$
Onde $$d\tau$$ representa um diferencial de volume. Atente ao fato de que a integral deve ser realizada por todo o espaço e não só pela região considerada.
Algo interessante sobre essa fórmula é que ela confirma que a energia armazenada em um campo magnético é sempre maior ou igual a 0.
Valor máximo de $$M_{12}$$
Conhecendo a fórmula da energia em campos magnéticos, podemos agora achar o valor máximo de $$M_{12}$$. Considere duas fontes acopladas, temos que a energia do sistema será:
$$E=\displaystyle \frac{L_1I_1^2}{2} + \displaystyle \frac{L_2I_2^2}{2}+M_{12}I_1I_2$$
Perceba que o termo com a indutância mútua pode ser negativo se uma das correntes for negativa, algo que não ocorre com os termos de indutância própria. Como a energia do sistema é sempre positiva, temos:
$$\displaystyle \frac{L_1I_1^2}{2} + \displaystyle \frac{L_2I_2^2}{2}+M_{12}I_1I_2 \geq 0$$
Podemos pensar nessa equação como uma equação do segundo grau em $$I_1$$ (poderia ser em $$I_2$$ também). O caso limite ocorre quando $$\Delta = b^2-4ac \leq 0$$, pois se o $$\Delta$$ for positivo, o gráfico de E terá uma região negativa, o que é impossível. Logo:
$$M_{12}^2 I_2^2 \leq \displaystyle \frac{4L_1L_2I_2^2}{4}$$
$$M_{12} \leq \sqrt{L_1 L_2}$$
E assim, podemos escrever a indutância mútua como $$k\sqrt{L_1 L_2}$$ onde $$k$$ é o coeficiente de acoplamento e $$\sqrt{L_1 L_2}$$ é o valor máximo de $$M_{12}$$. Quando $$k=1$$, temos o chamado acoplamento perfeito (valor máximo da indutância mútua), algo muito buscado por alguns mecanismos como transformadores. Além disso, quando $$E=0$$, o campo magnético de uma fonte cancela o da outra (o que faz sentido quando você pensa na fórmula integral da energia magnética).