Escrito por Mateus Bastos
Nessa aula, serão introduzidos diagramas espaço-tempo, que são extremamente importantes para visualizar a evolução de um sistema físico na relatividade especial. Além disso, eles possibilitam classificar causalidade entre eventos, conceito que é radicalmente modificado da Mecânica Clássica. Também serão discutidos invariantes relativísticos, que são elementos de extrema importância por não ser necessário especificar o referencial trabalhado em seu cálculo.
Diagramas espaço-tempo (Diagrama de Minkowski)
Um diagrama espaço-tempo consiste em traçar a linha de mundo (o eixo temporal) de um evento (determinado ponto $$(ct,\vec{x})$$). Note que a linha de mundo se encontra em um espaço quadri-dimensional, e por isso usa-se apenas uma ou duas coordenadas espaciais e a temporal para construir o diagrama (geralmente apenas uma espacial e a temporal). Veja a seguir um exemplo de diagrama.
A origem do sistema é algum evento, podendo ser totalmente arbitrário. A primeira coisa a se notar é que também foi desenhado outro referencial $$S’$$. No diagrama espaço-tempo, o ângulo $$\theta=\arctan(\frac{v}{c})$$, em que $$v$$ é a velocidade do referencial $$S’$$ em relação a $$S$$. Perceba que os eixos do referencial $$S’$$ não são perpendiculares pelo simples fato que as transformações de Lorentz são transformações lineares, pertencentes à matriz de Lorentz $$\Lambda$$.
Esse diagrama mostra uma das principais diferenças entre a Mecânica Clássica e a Relatividade Especial (discutido matematicamente na aula anterior): eventos não são simultâneos em todos os referenciais. No referencial $$S’$$, o eixo $$x’$$ contém todos os pontos que são simultâneos $$(0,x’)$$. Porém, eles apresentam coordenadas temporais distintas no referencial $$S$$. O mesmo acontece para eventos no eixo $$ct’$$.
Distância espaço-tempo
Para um determinado evento, a distância do mesmo até a origem é dada pela equação
$$\Delta s^2= -\Delta x^2 – \Delta y^2 – \Delta z^2 +c^2 \Delta t^2$$
O sinal de menos é extremamente importante para garantir causalidade de eventos. Note que o espaço da Relatividade Especial não é o espaço Euclidiano, por causa do sinal negativo. A escolha do sinal negativo para o espaço e positivo para o tempo é intercalável (é possível construir e chegar nos mesmos resultados usando $$-c^2\Delta t^2$$ e $$+\Delta x^2 …$$). Tome cuidado apenas com o seguinte fato: trocando os sinais do intervalo espaço-tempo, todos os outros sinais devem ser invertidos.
Essa distância é um invariante de Lorentz! Ou seja, seu valor independe de qualquer referencial adotado:
$$\Delta s^2=\Delta s’^2$$
Demonstração matemática para velocidade unidimensional:
$$\Delta s’^2=c^2\Delta t’^2 – \Delta \vec{x}’^2\rightarrow t’=\gamma (t-\frac{vx}{c^2}); x’=\gamma (x-vt); y’=y; z’=z$$
$$ => \Delta s’^2 =c^2 \gamma ^2 (t-\frac{vx}{c^2})^2 -\gamma^2 (x-vt)^2 -y^2 – z^2 =\gamma^2 c^2 (t^2 +(\frac{vx}{c^2})^2 -2t\frac{vx}{c^2})- \gamma^2 (x^2 +v^2t^2 -2xvt) -y^2 -z^2$$
$$ \Delta s’^2= \gamma^2 (c^2t^2 + (\frac{vx}{c})^2 -x^2 -v^2t^2) -y^2 -z^2 =t^2c^2 \gamma^2 (1-(\frac{v}{c})^2) -x^2 \gamma^2 (1-(\frac{v}{c})^2) -y^2 -z^2 $$
$$\Delta s’^2 = c^2t^2 -x^2 -y^2 -z^2 =\Delta s^2$$
Intervalos e causalidade
Dado o sinal negativo da distância espaço-tempo, é possível perceber que ela admite três tipos de solução:
- $$ds^2>0$$: Tipo tempo – O intervalo entre dois eventos é o suficiente para que a luz viaje entre eles. Serão eventos causalmente conexos;
- $$d s^2 =0$$: Tipo luz (ou nulo) – O intervalo entre dois eventos é exatamente a distância que a luz percorre divido por sua velocidade. Apenas a luz pode estar nesse tipo de intervalo (segundo postulado da relatividade);
- $$ds^2 <0$$: Tipo espaço – O intervalo entre dois eventos é pequeno demais para que a luz viaje entre eles. Serão eventos causalmente desconexos;
Com isso, é gerado o famoso cone de luz, que classifica causalmente os eventos de uma determinada linha de mundo. Todos os eventos dentro do cone são causalmente conexos, e todos os pontos fora do cone são desconexos.
Algo bastante importante de se ter em mente é que se dois eventos forem causalmente conexos, eles serão em todos os referenciais. Se não forem em algum, então são causalmente desconexos. Ou seja, sejam os eventos colocados em ordem de acontecimento no referencial $$S$$: $$A,B,C,D$$. No referencial $$S’$$, a ordem de acontecimentos é: $$A,C,B,D$$. Os eventos $$C,B$$ são causalmente desconexos, pois não preservaram a causalidade sob mudança de referencial.
Invariantes relativísticos
Um invariante relativístico é um escalar que não depende do referencial adotado. Eles são muito importantes pois pode-se construir objetos, a partir dos invariantes, que não mudam seu módulo sob transformações de referenciais. Eles são chamadas de objetos covariantes.
Dois invariantes muito importantes para o nosso estudo são o tempo próprio e o comprimento próprio:
Tempo próprio é a medida de tempo invariante, associada à distância de dois eventos $$ds^2$$, de intervalos tipo tempo $$ds^2>0$$. O tempo próprio é o tempo medido no relógio do próprio referencial, de tal forma que nenhum observador discorde desse tempo percorrido. Note que o intervalo de tempo do referencial $$S$$ pode não ser o mesmo para $$S’$$, mas o tempo próprio será.
Pelo uso da métrica na convenção $$(+, -, -, -)$$, define-se tempo próprio como:
$$d\tau ^2 =dt^2 -\frac{{dx^i }^2}{c^2}=\frac{dt^2}{\gamma^2}$$
A distância própria é a medida de espaço invariante para intervalos tipo espaço $$ds^2<0$$. Da mesma forma que o tempo próprio, o comprimento próprio é o comprimento medido com o objeto de medida do próprio referencial. Novamente, o comprimento de um objeto no referencial $$S$$ pode não ser o mesmo para $$S’$$.
Pelo uso da métrica na convenção $$(+, -, -, -)$$, define-se distância própria como:
$$d\sigma^2 = -ds^2$$