Escrito por Mateus Bastos
Alguns problemas para você praticar a teoria estudada. O grau de dificuldade dos problemas está indicado com asteriscos (*). Problema com 1 asterisco é o equivalente a um problema de primeira fase de OBF, 2 asteriscos (**) um de segunda fase, e 3 asteriscos (***) um de terceira fase.
Use $$\frac{\mu_0}{2\pi}=2\cdot 10^{-7} \text{ T } \cdot$$ m/A
Problema 1 *
Dois solenoides ideais $$S_1$$ e $$S_2$$ têm o número de espiras por metro dado por $$n_1=3n_2$$, conduzem correntes $$\mathbf{i_1}=-\mathbf{i_2}$$, e diâmetros $$d_1=5d_2$$. O que se pode afirmar sobre o campo magnético no interior de cada um?
a) $$\mathbf{B_1}=-5\mathbf{B_2}$$
b) $$\mathbf{B_1}=-15\mathbf{B_2}$$
c) $$\mathbf{B_1}=15\mathbf{B_2}$$
d) $$\mathbf{B_1}=3\mathbf{B_2}$$
e) $$\mathbf{B_1}=-3\mathbf{B_2}$$
O campo no interior de um solenoide ideal não depende do seu diâmetro. Por argumentos de simetria, encontra-se $$\mathbf{B}=\mu_0 n i\,\hat{\mathbf{z}}$$, em que $$n$$ é a densidade de espiras por metro (a direção depende do sentido da corrente). Portanto:
$$\mathbf{B_1}=\mu_0 n_1 i_1\,\hat{\mathbf{z}}\qquad\text{e}\qquad\mathbf{B_2}=\mu_0 n_2 i_2\,\hat{\mathbf{z}}$$
Como $$\mathbf{i_1}=-\mathbf{i_2}$$, os campos têm sentidos opostos. Usando $$n_1=3n_2$$:
$$\mathbf{B_1}=\mu_0(3n_2)(i_1)\,\hat{\mathbf{z}}=-3\,\mu_0 n_2 i_2\,\hat{\mathbf{z}}=-3\mathbf{B_2}$$
O diâmetro ($$d_1=5d_2$$) é irrelevante para o campo interno.
e) $$\mathbf{B_1}=-3\mathbf{B_2}$$
Problema 2*
Dois fios retos longos e paralelos, separados por $$20 cm$$, conduzem correntes de mesmo sentido: $$ i_1 = 4,0 A$$ e $$i_2= 6,0 A$$. Determine a intensidade e a orientação do campo magnético resultante no ponto médio entre eles.
Um fio reto muito longo cria ao seu redor um campo magnético cujas linhas são circunferências centradas no fio, e cuja intensidade diminui à medida que nos afastamos. Como o ponto que nos interessa é o meio do caminho entre os dois fios, ele está a $$0{,}10\text{ m}$$ de cada um.
Calculando a contribuição de cada fio separadamente:
$$B_1=\frac{\mu_0 i_1}{2\pi r}=\frac{(4\pi\cdot10^{-7})(4{,}0)}{2\pi(0{,}10)}=8{,}0\cdot10^{-6}\text{ T}$$
$$B_2=\frac{\mu_0 i_2}{2\pi r}=\frac{(4\pi\cdot10^{-7})(6{,}0)}{2\pi(0{,}10)}=1{,}2\cdot10^{-5}\text{ T}$$
Agora o ponto-chave: como as duas correntes têm o mesmo sentido, ao aplicar a regra da mão direita percebemos que, no ponto entre os fios, os dois campos apontam para lados opostos. Um tende a “entrar” no plano e o outro a “sair”.
$$B=B_2-B_1=1{,}2\cdot10^{-5}-0{,}8\cdot10^{-5}=4{,}0\cdot10^{-6}\text{ T}$$
$$B=4{,}0\cdot10^{-6}\text{ T}$$, no sentido do campo do fio de $$6{,}0\text{ A}$$.
Problema 3**
Num ponto P, um fio reto longo com $$i = 30 A$$ produz um campo magnético horizontal (P está a $$10 cm$$ do fio). No mesmo ponto, uma bobina produz um campo vertical de $$8,0·10^{-5} T$$, perpendicular ao do fio. Determine o módulo do campo resultante em P.
No ponto $$P$$ existem dois campos magnéticos vindos de fontes diferentes. O campo do fio, num ponto a $$0{,}10\text{ m}$$ dele, vale:
$$B_{\text{fio}}=\frac{\mu_0 i}{2\pi r}=\frac{(4\pi\cdot10^{-7})(30)}{2\pi(0{,}10)}=6{,}0\cdot10^{-5}\text{ T}$$
O enunciado já dá o campo da bobina, $$B_{\text{bob}}=8{,}0\cdot10^{-5}\text{ T}$$. O detalhe importante é a geometria: o campo do fio é horizontal e o da bobina é vertical, ou seja, são perpendiculares entre si. O campo resultante é a soma vetorial:
$$B=\sqrt{B_{\text{fio}}^2+B_{\text{bob}}^2}=\sqrt{(6{,}0\cdot10^{-5})^2+(8{,}0\cdot10^{-5})^2}=1{,}0\cdot10^{-4}\text{ T}$$.
$$B=1{,}0\cdot10^{-4}\text{ T}$$
Problema 4***
Um fio é dobrado na forma de um quadrado de lado $$20 cm$$ e conduz $$10 A$$. Determine o campo magnético no centro do quadrado.
A espira é um quadrado, então podemos pensar nela como quatro fios retos iguais, cada um com comprimento finito. Vamos achar o campo que um único lado cria no centro e depois aproveitar a simetria.
A distância do centro do quadrado até cada lado é metade do lado, $$0{,}10\text{ m}$$. Olhando do centro, o lado se estende para os dois lados da perpendicular, formando ângulos de $$45^\circ$$ em cada extremidade. Usando a expressão do campo de um fio de comprimento finito (que depende desses ângulos), o campo de um lado é:
$$B_{\text{lado}}=\frac{\mu_0 i}{4\pi d}\left(\operatorname{sen}45^\circ+\operatorname{sen}45^\circ\right)=\frac{(4\pi\cdot10^{-7})(10)}{4\pi(0{,}10)}\cdot\sqrt{2}\approx1{,}41\cdot10^{-5}\text{ T}$$
Como a corrente percorre o quadrado sempre no mesmo sentido de giro, os quatro lados produzem campo apontando para o mesmo lado no centro. Então basta somar quatro contribuições idênticas:
$$B=4\cdot B_{\text{lado}}=4\cdot1{,}41\cdot10^{-5}\approx5{,}7\cdot10^{-5}\text{ T}$$
$$B\approx5{,}7\cdot10^{-5}\text{ T}$$
Problema 5***
Um fio conduzindo $$8,0 A$$ é dobrado da seguinte forma: dois trechos retos que partem de um ponto central O e seguem radialmente até um raio $$R = 10 cm$$, ligados por um semicírculo de raio $$R$$ centrado em O. Determine o campo magnético em O.
A figura tem duas partes bem diferentes: os trechos retos que apontam para o centro $$O$$ e o semicírculo que os liga.
Nos trechos retos, a corrente caminha exatamente na direção que aponta para $$O$$. Ou seja, o pedacinho de fio e a direção que liga esse pedacinho ao ponto $$O$$ são paralelos. Pela lei de Biot-Savart, um pedaço de corrente que aponta diretamente para o ponto de interesse não gera campo.
Sobra o semicírculo: sabemos que uma espira circular completa gera, no seu centro, um campo bem conhecido. Um semicírculo é exatamente metade dessa volta, então gera metade desse campo:
$$B=\frac{1}{2}\cdot\frac{\mu_0 i}{2R}=\frac{\mu_0 i}{4R}=\frac{(4\pi\cdot10^{-7})(8{,}0)}{4(0{,}10)}\approx2{,}5\cdot10^{-5}\text{ T}$$
$$B\approx2{,}5\cdot10^{-5}\text{ T}$$
Problema 6*
Sobre o campo no interior de um solenoide ideal finito, julgue: (I) depende do raio das espiras; (II) é praticamente uniforme; (III) dobra se a corrente dobrar; (IV) é nulo fora do solenoide. Quais são corretas?
A afirmação (I) diz que o campo depende do raio. Isso é falso: o raio das espiras não influencia o valor do campo interno.
A afirmação (II) diz que o campo é praticamente uniforme. Isso é verdadeiro, em quase todo o interior o campo tem o mesmo valor e a mesma direção.
A afirmação (III) diz que o campo dobra se a corrente dobrar. Verdadeiro, pois o campo é diretamente proporcional à corrente.
A afirmação (IV) diz que o campo é nulo do lado de fora. Isso só vale para o solenoide infinito idealizado; num solenoide real e longo existe um pequeno campo externo, então tratamos como falsa.
Concluindo, apenas as afirmações II e III estão corretas.
II e III.
Problema 7***
Um fio cilíndrico maciço de raio $$R = 2,0 mm$$ conduz $$I = 12 A$$ distribuída uniformemente na seção. Determine o campo magnético:
a) num ponto interno a $$r = 1,0 mm$$ do eixo;
b) um ponto externo a r = 8,0 mm do eixo.
(a) No ponto interno, a $$1{,}0\text{ mm}$$ do eixo, a circunferência imaginária só engloba parte da corrente: a fração que passa pela região central. Como a corrente está distribuída por igual, essa fração é proporcional à área, ou seja, ao quadrado do raio:
$$I_{\text{int}}=I\,\frac{r^2}{R^2}=12\cdot\frac{(1{,}0)^2}{(2{,}0)^2}=3{,}0\text{ A}$$
Com essa corrente reduzida, o campo no ponto interno é:
$$B=\frac{\mu_0 I_{\text{int}}}{2\pi r}=\frac{(4\pi\cdot10^{-7})(3{,}0)}{2\pi(1{,}0\cdot10^{-3})}=6{,}0\cdot10^{-4}\text{ T}$$
(b) No ponto externo, a $$8{,}0\text{ mm}$$ do eixo, a circunferência imaginária já envolve toda a corrente do cilindro. A partir daí o condutor se comporta como se fosse um fio fino comum:
$$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}=\frac{(4\pi\cdot10^{-7})(12)}{2\pi(8{,}0\cdot10^{-3})}=3{,}0\cdot10^{-4}\text{ T}$$
(a) $$B=6{,}0\cdot10^{-4}\text{ T}$$; (b) $$B=3{,}0\cdot10^{-4}\text{ T}$$.
Problema 8***
A figura ao lado mostra duas configurações de uma espira composta por duas semicircunferências de raios $$r$$ e $$R = 3r$$, articuladas em torno de um eixo formado por dois segmentos retilíneos. Observe que uma configuração pode ser obtida da outra por uma rotação de $$\pi rad$$ do semicírculo menor em torno do eixo pontilhado. Adote um sistema de referência no qual a direção $$z$$ positiva é perpendicular e para fora do plano do papel (ou da tela do dispositivo). Sejam $$B_1$$ e $$B_2$$ as componentes $$z$$ do campo magnético no ponto P gerado pela espira quando percorrida por uma corrente $$i$$ (no sentido indicado na figura), nas configurações 1 e 2, respectivamente. Determine a variação relativa do campo magnético no ponto P, dada por $$\frac{B_2-B_1}{B_1}$$, causada pela mudança da espira da configuração 1 para a 2.
O campo no centro de um arco circular de raio $$a$$, que subtende um ângulo $$\theta$$, é $$B=\dfrac{\mu_0 i\,\theta}{4\pi a}$$. Para uma semicircunferência ($$\theta=\pi$$):
$$B=\frac{\mu_0 i}{4a}$$
Os dois segmentos retilíneos estão sobre a reta que passa por $$P$$, ou seja, $$d\boldsymbol{\ell}\parallel\hat{\mathbf{r}}$$ e $$d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}}=\mathbf{0}$$; logo não contribuem em $$P$$. Sobram as duas semicircunferências.
Configuração 1 (semicírculo menor para cima, maior para baixo): percorrendo a espira, os dois arcos circulam no mesmo sentido, então ambos os campos apontam em $$+z$$ e se somam. Com $$R=3r$$:
$$B_1=\frac{\mu_0 i}{4r}+\frac{\mu_0 i}{4R}=\frac{\mu_0 i}{4r}+\frac{\mu_0 i}{12r}=\frac{3\mu_0 i+\mu_0 i}{12r}=\frac{\mu_0 i}{3r}$$
Configuração 2 (o semicírculo menor é girado $$180^\circ$$ em torno do eixo): a corrente no arco menor passa a circular no sentido oposto, invertendo sua contribuição para $$-z$$; o arco maior permanece igual. Assim:
$$B_2=\frac{\mu_0 i}{4R}-\frac{\mu_0 i}{4r}=\frac{\mu_0 i}{12r}-\frac{3\mu_0 i}{12r}=-\frac{\mu_0 i}{6r}$$
Variação relativa:
$$\frac{B_2-B_1}{B_1}=\frac{-\dfrac{\mu_0 i}{6r}-\dfrac{2\mu_0 i}{6r}}{\dfrac{2\mu_0 i}{6r}}=\frac{-\dfrac{3\mu_0 i}{6r}}{\dfrac{2\mu_0 i}{6r}}=-\frac{3}{2}$$
$$\dfrac{B_2-B_1}{B_1}=-\dfrac{3}{2}=-1{,}5$$