Escrito por José Ulisses Fonseca Mendonça
Alguns problemas para você praticar a teoria estudada. O grau de dificuldade dos problemas está indicado com asteriscos (*). Problemas com 1 asterisco é o equivalente a um problema de primeira fase de OBF, 2 asteriscos (**) um de segunda fase, e 3 asteriscos (***) um de terceira fase.
Problema 1*
Uma espira condutora circular está imersa em um campo magnético uniforme $$\vec{B}$$ perpendicular ao plano da espira. O módulo do campo magnético varia com o tempo segundo a função $$B = B_0-kt$$, onde $$B_0$$ e $$k$$ são constantes positivas. O sentido do campo magnético aponta para dentro da página. No intervalo de tempo em que o campo está diminuindo, a corrente induzida na espira:
a) é nula, pois o campo varia linearmente.
b) tem sentido horário.
c) tem sentido anti-horário.
d) alterna de sentido periodicamente.
e) tem sentido anti-horário, mas sua intensidade diminui exponencialmente.
O campo original aponta para dentro da página e seu módulo está diminuindo ($$B = B_0-kt$$). Pela Lei de Lenz, a corrente induzida criará um campo magnético induzido que tenta se opor a essa diminuição. Portanto, o campo induzido deve apontar no mesmo sentido do campo original, ou seja, para dentro da página. Logo, usando a regra da mão direita, a corrente induzida na espira tem sentido horário.
Item b
Problema 2*
Uma barra metálica de comprimento $$L$$ desliza com velocidade constante $$v$$ sobre trilhos condutores paralelos sem atrito, imersos em um campo magnético uniforme $$B$$ perpendicular ao plano dos trilhos. Os trilhos estão conectados a um resistor de resistência $$R$$. A potência mecânica necessária para manter a barra em movimento com velocidade constante $$v$$ é dada por:
a) $$BLv$$
b) $$\frac{B^2L^2v}{R}$$
c) $$\frac{B^2L^2v^2}{R}$$
d) $$\frac{BLv^2}{R}$$
e) Zero, pois não há atrito.
Ao deslizar com velocidade $$v$$, a barra varre uma área por unidade de tempo, gerando uma variação de fluxo:
$$\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = B \cdot L \cdot \frac{\Delta x}{\Delta t} = BLv = \epsilon$$
A corrente no circuito será:
$$I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{BLv}{R}$$
Como a velocidade é constante, a potência mecânica fornecida pela força externa deve ser exatamente igual à potência elétrica dissipada por efeito Joule no resistor. Logo:
$$P_{mecanica} = P_{Joule} = I^2 R = \left(\frac{BLv}{R}\right)^2 R = \frac{B^2L^2v^2}{R}$$
Item c
Problema 3*
Um pequeno ímã em barra é abandonado do repouso acima de um longo tubo cilíndrico vertical de cobre. Desprezando a resistência do ar, o movimento do ímã dentro do tubo é tal que:
a) ele cai com aceleração constante igual à gravidade $$g$$.
b) sua aceleração é constantemente maior que $$g$$, devido à atração magnética.
c) ele desacelera até parar completamente no meio do tubo e flutuar.
d) ele atinge rapidamente uma velocidade terminal constante de queda.
e) ele oscila harmonicamente entre as extremidades superior e inferior do tubo.
À medida que o ímã cai, ele induz correntes circulares nas paredes do tubo de cobre (um excelente condutor). Essas correntes criam campos magnéticos que, pela Lei de Lenz, opõem-se ao movimento do ímã, gerando uma força magnética vertical para cima ($$F_m$$). Como $F_m$ é proporcional à velocidade $$v$$ do ímã, à medida que ele acelera pela gravidade, $$F_m$$ aumenta até que seu módulo iguale o peso do ímã ($$F_m = P$$). Nesse ponto, a força resultante é zero e o ímã passa a cair com velocidade constante.
Item d
Problema 4*
Uma espira condutora quadrada de lado $$L$$ e resistência total $$R$$ está posicionada inicialmente no plano $$xy$$. Nessa região, existe um campo magnético uniforme e estacionário $$\vec{B}$$, que aponta perpendicularmente para dentro da página (sentido $$-z$$).
Um estudante gira a espira rapidamente em torno de um eixo fixo que passa pelo seu centro (paralelo ao eixo $$y$$), de modo que ela realiza uma rotação exata de $$90^\circ$$ em um intervalo de tempo igual a $$\Delta t$$.
O módulo da força eletromotriz média induzida na espira durante esse quarto de volta vale:
a) Zero, pois o campo magnético é uniforme.
b) $$\frac{B L^2}{\Delta t}$$
c) $$\frac{2 B L^2}{\Delta t}$$
d) $$\frac{B L^2}{2 \Delta t}$$
e) $$\frac{B L}{\Delta t}$$
No início, a espira está perfeitamente perpendicular às linhas de campo magnético. A área da espira é $A = L^2$. Portanto, o fluxo inicial é:
$$\Phi_i = B \cdot A = B L^2$$
Após girar $90^\circ$, o plano da espira fica perfeitamente paralelo às linhas de campo magnético. Nenhuma linha de campo atravessa a superfície da espira. Logo, o fluxo final é:
$$\Phi_f = 0$$
A força eletromotriz média depende apenas da variação total do fluxo dividida pelo intervalo de tempo, sem se preocupar com funções contínuas ou derivadas em cada instante:
$$\varepsilon_{méd} = \left\vert{} \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right\vert{} = \left\vert{} \frac{\Phi_f -\Phi_i}{\Delta t} \right\vert{} = \left\vert{} \frac{0 – B L^2}{\Delta t} \right\vert{} = \frac{B L^2}{\Delta t}$$
Item b
Problema 5**
Uma espira circular menor de raio $$r$$ e resistência $$R$$ é colocada no centro de uma espira circular muito maior de raio $$L$$ ($$L \gg r$$), de modo que ambas sejam coplanares e concêntricas. Uma corrente constante $$I_0$$ circula pela espira maior. De repente, a espira maior é girada rapidamente em $$180^\circ$$ em torno de seu próprio diâmetro. Sabendo que o campo magnético no centro de uma espira circular maior de raio $$L$$ carregando corrente $I_0$ é dado por $$B = \frac{\mu_0 I_0}{2L}$$, determine a carga total $$q$$ que circula pela espira menor devido a essa rotação.
Como a espira menor é muito pequena ($r \ll L$), podemos aproximar o campo magnético criado pela espira maior em toda a área da espira menor como sendo uniforme e igual ao campo no centro:
$$B = \frac{\mu_0 I_0}{2L}$$
A área da espira menor é $A = \pi r^2$. Inicialmente, os vetores área e campo estão alinhados, então o fluxo inicial é:
$$\Phi_{\text{inicial}} = B \cdot A = \frac{\mu_0 I_0 \pi r^2}{2L}$$
Quando a espira maior gira em $180^\circ$, o sentido do campo magnético gerado por ela inverte em relação à espira menor, de modo que o fluxo final passa a ser:
$$\Phi_{\text{final}} = -\Phi_{\text{inicial}} =-\frac{\mu_0 I_0 \pi r^2}{2L}$$
A variação total do fluxo magnético através da espira menor vale:
$$\Delta \Phi = \Phi_{\text{final}}-\Phi_{\text{inicial}} =-2 \Phi_{\text{inicial}} =-\frac{\mu_0 I_0 \pi r^2}{L}$$
Pela Lei de Coulomb-Faraday, a carga total $q$ que circula por um circuito de resistência $R$ devido a uma variação de fluxo é dada pela razão entre o módulo da variação do fluxo e a resistência:
$$q = \frac{\vert{}\Delta \Phi\vert{}}{R}= \frac{\mu_0 I_0 \pi r^2}{L R}$$
$$q = \frac{\mu_0 I_0 \pi r^2}{L R}$$
Problema 6***
Uma espira quadrada rígida de lado $L$, massa $m$ e resistência elétrica $R$ desliza sobre um plano horizontal sem atrito com velocidade inicial $v_0$. À sua frente, existe uma região de largura $D$ (onde $D > L$) que contém um campo magnético uniforme $B$ perpendicular ao plano da espira.
Determine a velocidade final da espira se a velocidade inicial $v_0$ for grande o suficiente para que ela atravesse completamente a região com campo magnético e saia do outro lado.
Durante a entrada (ou saída), a força eletromotriz induzida quando a espira se move com velocidade $v$ é:
$$\varepsilon = B L v$$
A corrente induzida é:
$$I = \frac{BLv}{R}$$
A força magnética que se opõe ao movimento é, portanto:
$$F_m = I L B = \frac{B^2 L^2 v}{R}$$
Pela segunda lei de Newton:
$$F_m = -m \frac{\Delta v}{\Delta t} \implies \frac{B^2 L^2 v}{R} = -m \frac{\Delta v}{\Delta t}$$
Como $v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ para um pequeno intervalo, podemos reescrever a relação de forma direta:
$$\frac{B^2 L^2}{R} \left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right) = -m \frac{\Delta v}{\Delta t} \implies \frac{B^2 L^2}{R} \Delta x = -m \Delta v$$
Para entrar completamente, a espira percorre uma distância $\Delta x = L$. A variação de velocidade na entrada ($\Delta v_{ent} = v_{meio}-v_0$) é:
$$v_{meio}-v_0 = -\frac{B^2 L^3}{mR}$$
Para sair completamente, ela percorre mais uma distância $\Delta x = L$. A variação de velocidade na saída ($\Delta v_{sai} = v_{final}-v_{meio}$) é:
$$v_{final}-v_{meio} = -\frac{B^2 L^3}{mR}$$
Somando as duas equações, a velocidade final $v_f$ ao sair totalmente é:
$$v_f = v_0-\frac{2 B^2 L^3}{mR}$$
$$v_f = v_0-\frac{2 B^2 L^3}{mR}$$
Problema 7**
Uma espira quadrada rígida de lado $$a$$, massa $$m$$ e resistência $$R$$ é solta do repouso de uma altura $$h = 2a$$ acima da borda superior de uma região onde existe um campo magnético uniforme horizontal $$\vec{B}$$, perpendicular ao plano da espira. A espira cai e entra na região de campo. Determine o valor do campo magnético $$B$$ para que a espira se mova com velocidade constante durante todo o processo de entrada na região de campo.
Para que a espira se mova com velocidade constante enquanto entra no campo, a força magnética deve equilibrar o peso. Logo:
$$mg = BIa = \frac{B^2 a^2 v}{R}$$
Assim, temos que:
$$v=\sqrt{2gh}=\frac{mgR}{B^2a^2}$$
Logo:
$$B^2 = \frac{mgR}{2a^2\sqrt{ga}} \implies B = \sqrt{\frac{mgR}{2a^2\sqrt{ga}}}$$
$B = \sqrt{\frac{mgR}{2a^2\sqrt{ga}}}$
Problema 8***
Um anel condutor fino de massa $m$, raio $r$ e autoindutância $L_0$ é feito de um material supercondutor, de modo que sua resistência elétrica é rigorosamente nula ($R = 0$). Inicialmente, o anel está em repouso e posicionado concentricamente em torno de um longo solenoide que produz um fluxo magnético externo conhecido $\Phi_0$ através da área do anel. Nesse estado inicial, nenhuma corrente circula pelo anel. O anel é então lançado axialmente com velocidade inicial $v_0$ para fora do solenoide, movendo-se em direção a uma região onde o campo magnético externo é nulo.
a) Mostre que, para um condutor ideal com $R = 0$, o fluxo magnético total que atravessa o anel deve permanecer constante ao longo de todo o movimento.
b) Determine a intensidade da corrente elétrica induzida $I_f$ no anel quando ele estiver completamente fora da região de campo magnético do solenoide.
c) Encontre a velocidade final $v_f$ do anel após ele escapar completamente do campo magnético do solenoide. Qual é a velocidade inicial mínima $v_{min}$ para que o anel consiga escapar?
a)
A Lei de Ohm para um circuito com autoindutância $$L_0$$ e resistência $R$ é dada por:
$$\epsilon_{ext}-L_0 \frac{\Delta I}{\Delta t} = R I$$
Onde $$\epsilon_{ext} = -\frac{\Delta \Phi_{ext}}{\Delta t}$$ é a força eletromotriz gerada pela variação do fluxo externo. Como o material é supercondutor, temos $$R = 0$$:
$$-\frac{\Delta \Phi_{ext}}{\Delta t}-L_0 \frac{\Delta I}{\Delta t} = 0 \implies \Delta \Phi_{ext} + L_0 \Delta I = 0$$
O termo $$L_0 I$$ representa o fluxo próprio (autoinduzido) gerado pela corrente que circula no próprio anel ($$\Phi_{próprio} = L_0 I$$). Logo:
$$ \Delta (\Phi_{ext} + \Phi_{próprio}) = 0 \implies \Phi_{total} = \text{constante} $$
Portanto, o fluxo magnético total através do anel supercondutor é rigorosamente conservado.
b)
Inicialmente, o anel está sob a influência do solenoide com fluxo externo $$\Phi_{ext, i} = \Phi_0$$ e corrente nula ($$I_i = 0$$). O fluxo inicial total é:
$$\Phi_{total, i} = \Phi_0 + L_0 \cdot 0 = \Phi_0$$
Quando o anel está completamente afastado, o campo externo é nulo ($$\Phi_{ext, f} = 0$$). Pela conservação do fluxo total:
$$\Phi_{total, f} = \Phi_{total, i} \implies 0 + L_0 I_f = \Phi_0$$
$$I_f = \frac{\Phi_0}{L_0}$$
c)
Como não há perdas de energia por efeito Joule ($$R=0$$), o sistema é inteiramente conservativo. A energia mecânica e eletromagnética se conserva:
$$E_i = E_f$$
$$\frac{1}{2} m v_0^2 + \frac{1}{2} L_0 I_i^2 = \frac{1}{2} m v_f^2 + \frac{1}{2} L_0 I_f^2$$
Como $$I_i = 0$$ e $$I_f = \frac{\Phi_0}{L_0}$$:
$$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m v_f^2 + \frac{1}{2} L_0 \left( \frac{\Phi_0}{L_0} \right)^2$$
$$m v_0^2 = m v_f^2 + \frac{\Phi_0^2}{L_0} \implies v_f = \sqrt{v_0^2-\frac{\Phi_0^2}{m L_0}}$$
Para que o anel consiga escapar completamente, o termo sob a raiz deve ser maior ou igual a zero ($v_f \ge 0$). Logo, a velocidade inicial mínima é:
$$v_{min} = \frac{\Phi_0}{\sqrt{m L_0}}$$
a) Demonstração
b) $$I_f = \frac{\Phi_0}{L_0}$$
c) $$v_f = \sqrt{v_0^2 – \frac{\Phi_0^2}{m L_0}} ; v_{min} = \frac{\Phi_0}{\sqrt{m L_0}}$$