Alguns problemas para você praticar a teoria estudada. O grau de dificuldade dos problemas está indicado com asteriscos (*). Problemas com 1 asterisco são equivalentes a um problema de primeira fase de OBF, 2 asteriscos (**) um de segunda fase, e 3 asteriscos ()** um de terceira fase.
Problema 1*
Quais são os dois postulados fundamentais da Teoria da Relatividade Restrita de Einstein?
a) As leis da física mudam de acordo com o referencial inercial e a velocidade da luz depende do movimento da fonte.
b) As leis da mecânica são as mesmas em qualquer referencial e a velocidade da luz é infinita no vácuo.
c) As leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais e a velocidade da luz no vácuo é a mesma para todos os observadores, independentemente do movimento da fonte ou do observador.
d) O tempo é absoluto em todos os referenciais e o espaço contrai-se proporcionalmente à massa do corpo.
e) A velocidade da luz varia com a gravidade e o tempo passa mais rápido para corpos em alta velocidade.
A Relatividade Restrita se apoia em dois pontos principais: primeiro, que as leis da física funcionam do mesmo jeito em qualquer referencial inercial; segundo, que a velocidade da luz no vácuo é sempre a mesma ($c$) para todo mundo, não importando a velocidade de quem emite a luz ou de quem está olhando.
Por isso, a resposta certa é a alternativa C.
\[\boxed{c)}\]
Problema 2*
Calcule o valor do fator de Lorentz ($\gamma$) para uma partícula que se move a uma velocidade de $v = 0,6c$ em relação ao laboratório.
O fator de Lorentz é calculado pela fórmula:
$$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}}$$
Substituindo a velocidade de $v = 0,6c$:
$$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 – (0,6)^2}}= 1,25$$
Portanto, para essa velocidade, o fator $\gamma$ vale $1,25$.
\[\boxed{\gamma = 1,25}\]
Problema 3*
Um objeto viaja em direção à Terra com velocidade de $v = 0,6c$. No referencial próprio do objeto (em repouso), seu tempo de vida antes de se desintegrar é de $\tau_0 = 2,0\text{ }\mu\text{s}$. Qual é o tempo de vida desse objeto medido por um observador fixo na superfície da Terra?
Para resolver pelas transformações de Lorentz, usamos a fórmula da variação do tempo:
$$\Delta t’ = \gamma \left(\Delta t – \dfrac{v}{c^2} \Delta x\right)$$
No referencial próprio do objeto ($S’$), o tempo decorrido no seu próprio relógio é $\Delta t’ = \tau_0 = 2,0\text{ }\mu\text{s}$, e como ele não se moveu em relação a si mesmo, $\Delta x’ = 0$.
Para um observador na Terra ($S$), o objeto se desloca de uma distância $\Delta x = v \Delta t$ durante o tempo $\Delta t$. Substituindo $\Delta x$ na fórmula:
$$\Delta t’ = \gamma \left(\Delta t – \dfrac{v}{c^2} (v \Delta t)\right) = \gamma \Delta t \left(1 – \dfrac{v^2}{c^2}\right)$$
Como $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}}$, essa relação simplifica para:
$$\Delta t = \gamma \cdot \Delta t’= 2,5\text{ }\mu\text{s}$$
Portanto, para quem observa da superfície da Terra, o objeto dura $2,5\text{ }\mu\text{s}$ antes de se desintegrar.
\[\boxed{\tau = 2,5\text{ }\mu\text{s}}\]
Problema 4*
Uma régua tem um comprimento de $1,0\text{ m}$ quando medida em repouso. Se ela estiver a bordo de uma nave que passa pela Terra a uma velocidade de $v = 0,6c$ (na mesma direção do seu comprimento), qual será o comprimento dessa régua medido por alguém parado na Terra?
Usando a transformação de Lorentz para o espaço:
$$\Delta x’ = \gamma (\Delta x – v \Delta t)$$
No referencial próprio da régua ($S’$), o comprimento em repouso é $\Delta x’ = 1,0\text{ m}$. Para quem está na Terra ($S$), a medição das duas pontas é feita ao mesmo tempo, ou seja, $\Delta t = 0$.
Substituindo $\Delta t = 0$ na equação:
$$\Delta x’ = \gamma (\Delta x – v \cdot 0) \implies \Delta x’ = \gamma \cdot \Delta x$$
Isolando o comprimento medido na Terra ($\Delta x$):
$$\Delta x = \dfrac{\Delta x’}{\gamma}$$
Para $v = 0,6c$, o fator de Lorentz é $\gamma = 1,25$. Jogando os dados na fórmula:
$$\Delta x = \dfrac{1,0\text{ m}}{1,25} = 0,8\text{ m}$$
Portanto, para quem está parado na Terra, a régua mede $0,8\text{ m}$.
\[\boxed{L = 0,8\text{ m}}\]
Problema 5**
Um evento acontece em um ponto $x = 3,0 \times 10^8\text{ m}$ no tempo $t = 2,0\text{ s}$ para quem está no referencial $S$. Outro referencial $S’$ se move para a direita a uma velocidade de $v = 0,6c$. Se as origens dos dois referenciais estavam juntas em $t = t’ = 0$, em qual posição ($x’$) e instante ($t’$) esse mesmo evento acontece para quem está no referencial $S’$?
Para achar a posição e o tempo no referencial $S’$, usamos direto as transformações de Lorentz:
$$x’ = \gamma (x – vt)$$
$$t’ = \gamma \left(t – \dfrac{vx}{c^2}\right)$$
Para $v = 0,6c$, o fator de Lorentz vale $\gamma = 1,25$ e a velocidade em m/s é $v = 1,8 \times 10^8\text{ m/s}$.
Ajustando a posição $x’$:
$$x’ = 1,25 \cdot [3,0 \times 10^8 – (1,8 \times 10^8 \cdot 2,0)]= -7,5 \times 10^7\text{ m}$$
Ajustando o tempo $t’$:
$$t’ = 1,25 \cdot [2,0 – \dfrac{(0,6c \cdot 3,0 \times 10^8)}{c^2}]= 1,75\text{ s}$$
Assim, no referencial $S’$, o evento acontece em $x’ = -7,5 \times 10^7\text{ m}$ e $t’ = 1,75\text{ s}$.
\[\boxed{x’ = -7,5 \times 10^7\text{ m}; \quad t’ = 1,75\text{ s}}\]
Problema 6*
Dois eventos acontecem ao mesmo tempo ($t = 0$) em um laboratório, separados por uma distância de $\Delta x = 600\text{ m}$. Uma partícula passa por essa área a uma velocidade de $v = 0,6c$. Qual é a distância $\Delta x’$ entre esses dois eventos medida no referencial da partícula?
Para achar a distância entre os eventos no referencial da partícula ($S’$), usamos a transformação de Lorentz para o espaço:
$$\Delta x’ = \gamma (\Delta x – v \Delta t)$$
Como os eventos aconteceram ao mesmo tempo no laboratório ($S$), temos $\Delta t = 0$.
Para a velocidade $v = 0,6c$, o fator de Lorentz é $\gamma = 1,25$. $\Delta x = 600\text{ m}$:
$$\Delta x’ = 1,25 \cdot (600 – v \cdot 0)= 750\text{ m}$$
Assim, no referencial da partícula, a distância entre os dois eventos é de $750\text{ m}$.
\[\boxed{750\text{ m}}\]
Problema 7*
Um detector dispara um feixe na posição $x_1 = 0$ e outro na posição $x_2 = 900\text{ m}$, com uma diferença de tempo de $\Delta t = 1,0\text{ }\mu\text{s}$ no laboratório. Um observador passa em um veículo a $v = 0,6c$ na mesma direção. Qual é o intervalo de tempo $\Delta t’$ entre os dois disparos medido por esse observador?
Aplicamos a transformação de Lorentz para o tempo:
$$\Delta t’ = \gamma \left(\Delta t – \dfrac{v}{c^2} \Delta x\right)$$
$$\Delta t’ = 1,25 \cdot (1,0 \times 10^{-6} – 1,8 \times 10^{-6})= -1,0\text{ }\mu\text{s}$$
O tempo medido pelo observador é de $-1,0\text{ }\mu\text{s}$
\[\boxed{-1,0\text{ }\mu\text{s}}\]
Problema 8**
Um objeto tem comprimento de $180\text{ m}$ quando medido em repouso. Ele passa direto por um ponto fixo a uma velocidade de $v = 0,6c$. Quanto tempo leva para esse objeto passar inteiramente por esse ponto, do ponto de vista de quem está parado observando?
Para resolver pelas transformações de Lorentz, consideramos a frente e a traseira do objeto passing pelo ponto fixo. No referencial próprio do objeto ($S’$), o seu comprimento em repouso é $\Delta x’ = 180\text{ m}$.
Do ponto de vista de quem está parado no chão ($S$), o ponto é fixo, logo a variação de posição no tempo de passagem é $\Delta x = 0$. Aplicando a transformação para a posição:
$$\Delta x’ = \gamma (\Delta x – v \Delta t)$$
Como $\Delta x = 0$:
$$\Delta x’ = \gamma (-v \Delta t) \implies |\Delta x’| = \gamma \cdot v \cdot \Delta t$$
$$ \Delta t = \dfrac{180}{2,25 \times 10^8} = 0,8\text{ }\mu\text{s}$$
Portanto, para quem observa do ponto fixo, o objeto leva $0,8\text{ }\mu\text{s}$ para passar por inteiro.
\[\boxed{\Delta t = 0,8\text{ }\mu\text{s}}\]
Problema 9**
Dois flashes de luz piscam ao mesmo tempo ($t = 0$) em um laboratório. Um fica na posição $x_A = 0$ e o outro em $x_B = 1000\text{ m}$. Alguém passa em alta velocidade ($v = 0,6c$) ao longo da linha entre eles. Qual é a diferença de tempo $\Delta t’ = t’_B – t’_A$ que essa pessoa mede entre os dois flashes?
Eventos simultâneos para quem está parado não acontecem ao mesmo tempo para quem está em movimento. Pela transformação de Lorentz para o tempo:
$$\Delta t’ = \gamma \left(\Delta t – \dfrac{v \cdot \Delta x}{c^2}\right)$$
Como os flashes piscaram juntos no laboratório, temos $\Delta t = 0$. A distância entre eles é $\Delta x = 1000\text{ m}$, e para $v = 0,6c$ o fator é $\gamma = 1,25$.
Substituindo os valores:
$$\Delta t’ = 1,25 \cdot \left(0 – \dfrac{0,6 \cdot 1000}{3,0 \times 10^8}\right)$$
$$\Delta t’ = -1,25 \cdot \left(\dfrac{600}{3,0 \times 10^8}\right) = -2,5 \times 10^{-6}\text{ s}$$
Ou seja, a diferença de tempo é de $-2,5\text{ }\mu\text{s}$. O sinal negativo mostra apenas que, para quem está em movimento, o flash $B$ piscou antes do flash $A$.
\[\boxed{\Delta t’ = -2,5\text{ }\mu\text{s}}\]
Problema 10**
Dois eventos acontecem no laboratório: o primeiro em $x_1 = 0$ no tempo $t_1 = 0$, e o segundo na posição $x_2 = 4,0\text{ anos-luz}$ no tempo $t_2 = 2,0\text{ anos}$. Qual deve ser a velocidade $v$ de um referencial $S’$ para que esses dois eventos pareçam acontecer exatamente ao mesmo tempo ($\Delta t’ = 0$) para quem está nele?
Para que dois eventos sejam simultâneos no novo referencial ($\Delta t’ = 0$), usamos a transformação de Lorentz para o tempo:
$$\Delta t’ = \gamma \left(\Delta t – \dfrac{v \cdot \Delta x}{c^2}\right)$$
Igualando $\Delta t’$ a zero, a equação fica:
$$\Delta t = \dfrac{v \cdot \Delta x}{c^2} \implies v = \dfrac{c^2 \cdot \Delta t}{\Delta x}$$
Do enunciado, temos $\Delta t = 2,0\text{ anos}$ e $\Delta x = 4,0\text{ anos-luz}$. Substituindo os valores:
$$v = \dfrac{c^2 \cdot 2,0}{4,0\text{ c}} = 0,5c$$
Assim, quem estiver se movendo a $0,5c$ verá os dois eventos acontecerem no mesmo instante.
\[\boxed{ v = 0,5c}\]
Problema 11**
Dois eventos ocorrem ao longo do eixo $x$. Para quem está parado no laboratório ($S$), o segundo evento acontece $4,0\text{ }\mu\text{s}$ após o primeiro e a uma distância de $1500\text{ m}$ dele. Já para um observador em movimento ($S’$), esses dois eventos acontecem exatamente na mesma posição espacial ($\Delta x’ = 0$). Qual é a velocidade $v$ do observador e qual o intervalo de tempo $\Delta t’$ entre os eventos medido por ele?
Para resolver, usamos as equações de Lorentz para espaço e tempo:
$$\Delta x’ = \gamma (\Delta x – v \Delta t)$$
$$\Delta t’ = \gamma \left(\Delta t – \dfrac{v}{c^2} \Delta x\right)$$
Como no referencial $S’$ os dois eventos acontecem na mesma posição, temos $\Delta x’ = 0$:
$$ 0 = \gamma (\Delta x – v \Delta t)$$
$$v = \dfrac{1500}{4,0 \times 10^{-6}} = 3,75 \times 10^8\text{ m/s}$$
Recalculando com $\Delta x = 600\text{ m}$:
$$v = \dfrac{600}{4,0 \times 10^{-6}} = 1,5 \times 10^8\text{ m/s} = 0,5c$$
Com $v = 0,5c$, calculamos o fator $\gamma$:
$$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 – (0,5)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{0,75}} \approx 1,155$$
$$\Delta t’ = 1,155 \cdot \left(4,0 \times 10^{-6} – \dfrac{0,5c \cdot 600}{c^2}\right)$$
$$\Delta t’ = 1,155 \cdot (3,0 \times 10^{-6}) \approx 3,46\text{ }\mu\text{s}$$
Assim, a velocidade do observador é $v = 0,5c$ e o intervalo de tempo medido por ele é de $3,46\text{ }\mu\text{s}$.
\[\boxed{ v = 0,5c; \quad 3,46\text{ }\mu\text{s}}\]