Alguns problemas para você praticar a teoria estudada. O grau de dificuldade dos problemas está indicado com asteriscos (*). Problemas com 1 asterisco são equivalentes a um problema de primeira fase de OBF, 2 asteriscos (**) um de segunda fase, e 3 asteriscos (***) um de terceira fase.
Problema 1*
No aparato do relógio de luz apresentado no texto de apoio, a dedução geométrica da dilatação temporal baseia-se fundamentalmente no segundo postulado da Relatividade Restrita. O que esse postulado garante para que a dedução seja válida?
a) Que o tempo passa no mesmo ritmo para os observadores $O$ e $O’$.
b) Que a distância vertical $d$ entre o emissor e o espelho encolhe com a velocidade.
c) Que a velocidade do pulso de luz no vácuo possui o mesmo valor constante $c$ para ambos os observadores, independentemente do movimento do relógio.
d) Que a luz se move mais devagar quando vista pelo observador em $S$ para compensar a distância maior.
e) Que o Teorema de Pitágoras só se aplica no referencial $S’$ em repouso.
O cerne do fenômeno da dilatação temporal usando o relógio de luz reside no fato de que a velocidade da luz é uma constante invariante ($c$) para qualquer referencial inercial (Segundo Postulado).
Como o observador externo $S$ vê a luz percorrer uma trajetória diagonal (mais longa que a trajetória puramente vertical vista por $O’$), e a velocidade da luz deve continuar sendo rigorosamente igual a $c$, o tempo decorrido para completar o trajeto deve ser necessariamente maior no referencial $S$. Portanto, a alternativa correta é a letra c).
\[\boxed{c)}\]
Problema 2*
Um relógio de luz idêntico ao do material didático está em repouso no referencial $S’$ e possui uma distância vertical entre o laser e o espelho de $d = 3,0 \times 10^8\text{ m}$. Se esse relógio passar por um observador no referencial $S$ com uma velocidade constante $v = 0,8c$, qual será o intervalo de tempo próprio ($\Delta t’$) de ida e volta do pulso luminoso medido por $O’$? (Considere $c = 3,0 \times 10^8\text{ m/s}$).
Conforme estabelecido pelo texto, no referencial próprio $S’$, o pulso de luz realiza uma trajetória puramente vertical de ida e volta. Logo, a distância total percorrida é $2d$.
Como a velocidade da luz é $c$, o intervalo de tempo próprio ($\Delta t’$) é dado diretamente por:
$$\Delta t’ = \dfrac{2d}{c}$$
Substituindo os valores fornecidos no enunciado:
$$\Delta t’ = \dfrac{2 \cdot (3,0 \times 10^8\text{ m})}{3,0 \times 10^8\text{ m/s}} = 2,0\text{ s}$$
No referencial próprio, o ciclo leva exatamente $2,0$ segundos.
\[\boxed{\Delta t’ = 2,0\text{ s}}\]
Problema 3*
Utilizando os dados do Problema 2, calcule o intervalo de tempo $\Delta t$ medido pelo observador fixo no referencial $S$ para o mesmo ciclo de ida e volta do pulso de luz.
Para o observador em $S$, o relógio está em movimento, logo o tempo medido sofrerá dilatação temporal através da relação $\Delta t = \gamma \Delta t’$.
Primeiro, determinamos o fator de Lorentz ($\gamma$) para $v = 0,8c$:
$$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 – (0,8)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 – 0,64}} = \dfrac{1}{\sqrt{0,36}} = \dfrac{1}{0,6} = \dfrac{5}{3}$$
Agora, multiplicamos pelo tempo próprio $\Delta t’ = 2,0\text{ s}$ encontrado no problema anterior:
$$\Delta t = \gamma \Delta t’ = \dfrac{5}{3} \cdot 2,0 = \dfrac{10}{3}\text{ s} \approx 3,33\text{ s}$$
O observador em $S$ medirá um intervalo de aproximadamente $3,33$ segundos.
\[\boxed{\Delta t = \dfrac{10}{3}\text{ s} \approx 3,33\text{ s}}\]
Problema 4*
Uma nave espacial de patrulha possui um comprimento próprio (comprimento de repouso) de $l_0 = 120\text{ m}$. Se ela cruzar o espaço com uma velocidade constante ultra-relativística de modo que o fator de Lorentz seja exatamente $\gamma = 2,0$, qual será o comprimento $l$ da nave medido por uma estação espacial em repouso?
De acordo com o efeito de Contração de Distâncias abordado no material, o comprimento de um objeto em movimento ($l$) é menor do que o seu comprimento de repouso ($l_0$) quando medido por um observador externo.
A fórmula matemática deduzida a partir das transformadas de Lorentz é:
$$l = \dfrac{l_0}{\gamma}$$
Substituindo os valores fornecidos ($l_0 = 120\text{ m}$ e $\gamma = 2,0$):
$$l = \dfrac{120}{2,0} = 60\text{ m}$$
A estação espacial observará a nave contraída, medindo um comprimento de $60\text{ m}$.
\[\boxed{l = 60\text{ m}}\]
Problema 5*
Com base na equação da Perda de Simultaneidade apresentada na aula:
$$\Delta t’ = -\gamma \dfrac{v}{c^2}\Delta x$$
Se dois eventos ocorrem de forma perfeitamente simultânea no referencial da Terra ($\Delta t = 0$), mas em locais diferentes ao longo do eixo $x$, o que um observador se movendo no sentido positivo desse eixo com velocidade $v$ testemunhará?
a) Os eventos continuarão ocorrendo exatamente ao mesmo tempo.
b) O evento situado na posição espacial mais avançada (maior $x$) ocorrerá primeiro.
c) O evento situado na posição espacial mais atrasada (menor $x$) ocorrerá primeiro.
d) O intervalo de tempo entre os eventos será independente da distância espacial entre eles.
e) A velocidade da luz mudará para manter a simultaneidade intacta.
Consideremos dois eventos tais que o Evento 2 está à frente do Evento 1, ou seja, $x_2 > x_1 \implies \Delta x = x_2 – x_1 > 0$.
Substituindo na fórmula da perda de simultaneidade para eventos simultâneos no referencial de origem ($\Delta t = 0$):
$$\Delta t’ = t’_2 – t’_1 = -\gamma \dfrac{v}{c^2}\Delta x$$
Como $\gamma$, $v$, $c^2$ e $\Delta x$ são valores positivos, o resultado de $\Delta t’$ será estritamente negativo ($\Delta t’ < 0$). Isso implica que:
$$t’_2 – t’_1 < 0 \implies t’_2 < t’_1$$
Consequentemente, o Evento 2 (que possui maior coordenada $x$, estando mais avançado) ocorre em um tempo menor, ou seja, acontece primeiro no referencial em movimento. Portanto, a alternativa correta é a letra b).
\[\boxed{b)}\]
Problema 6*
Uma régua milimetrada está em repouso no referencial $S’$, com uma de suas extremidades na origem $x’_1 = 0$ e a outra em $x’_2 = 2,5\text{ m}$. O referencial $S’$ se move com velocidade $v = 0,6c$ ($\gamma = 1,25$) em relação a $S$. Utilizando a transformada de Lorentz para a posição de uma das extremidades, determine a coordenada $x_2$ da régua medida no referencial $S$ no instante exato $t = 0$.
A transformada de Lorentz para a coordenada espacial é dada por:
$$x’ = \gamma(x – vt)$$
Para a segunda extremidade da régua, sabemos que sua posição no referencial próprio $S’$ é $x’_2 = 2,5\text{ m}$. Queremos encontrar a sua posição $x_2$ no referencial $S$ quando o tempo medido em $S$ for $t = 0$. Substituindo os valores na transformada:
$$2,5 = 1,25 \cdot (x_2 – v \cdot 0)$$
$$2,5 = 1,25 \cdot x_2$$
Isolando $x_2$:
$$x_2 = \dfrac{2,5}{1,25} = 2,0\text{ m}$$
No referencial $S$, em $t=0$, a extremidade estará na posição $2,0\text{ m}$ (o que condiz com o comprimento contraído da régua).
\[\boxed{x_2 = 2,0\text{ m}}\]
Problema 7*
O conceito de “tempo próprio” ($\tau$), discutido no material de apoio, desempenha um papel central na relatividade. Como o tempo próprio entre dois eventos é definido operacionalmente?
a) É o tempo medido em qualquer referencial, dado que o tempo é uma grandeza absoluta no universo.
b) É o tempo medido por um observador que se encontra em um referencial onde os dois eventos ocorrem na mesma posição espacial.
c) É o maior intervalo de tempo possível que se pode medir entre dois eventos quaisquer.
d) É o tempo registrado por um relógio em movimento acelerado em relação aos eventos.
e) É o tempo obtido dividindo-se o tempo de qualquer observador pelo quadrado da velocidade da luz.
Por definição física e conforme exposto na dedução matemática do relógio de luz, o tempo próprio $\tau$ (ou $\Delta t’$) é o intervalo de tempo mensurado por um relógio que está presente em ambos os eventos. Isso significa que, no referencial desse relógio, os eventos ocorrem no mesmo local do espaço ($\Delta x’ = 0$). Qualquer outro observador em movimento relativo medirá um tempo dilatado (maior). Portanto, a alternativa correta é a letra b).
\[\boxed{b)}\]
Problema 8**
Considere o aparato do relógio de luz em movimento. No referencial próprio $S’$, o pulso de luz viaja verticalmente uma distância $d = 4,0\text{ m}$ até o espelho e retorna para o detector, totalizando uma distância de $8,0\text{ m}$. No referencial $S$, o relógio desloca-se lateralmente com velocidade constante de $v = 0,6c$. Utilizando as relações geométricas e cinemáticas da aula, calcule a distância total percorrida pelo pulso de luz (a trajetória em zigue-zague) sob a perspectiva do observador em $S$.
No referencial próprio $S’$, o intervalo de tempo próprio para o percurso completo é:
$$\Delta t’ = \dfrac{2d}{c} = \dfrac{2 \cdot 4,0}{c} = \dfrac{8,0}{c}$$
Para o observador no referencial $S$, o relógio está em movimento com $v = 0,6c$, o que gera um fator de Lorentz igual a:
$$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 – (0,6)^2}} = 1,25$$
O tempo total medido em $S$ devido à dilatação temporal será:
$$\Delta t = \gamma \Delta t’ = 1,25 \cdot \left(\dfrac{8,0}{c}\right) = \dfrac{10,0}{c}$$
Como o segundo postulado afirma que a velocidade da luz também é igual a $c$ no referencial $S$, a distância total $D$ percorrida pelo pulso em zigue-zague será o produto dessa velocidade pelo tempo de voo medido em $S$:
$$D = c \cdot \Delta t = c \cdot \left(\dfrac{10,0}{c}\right) = 10,0\text{ m}$$
A trajetória observada em $S$ possui um comprimento total de $10,0\text{ m}$.
\[\boxed{D = 10,0\text{ m}}\]
Problema 9**
Dois sinalizadores luminosos fixos ao longo de uma linha férrea reta disparam flashes simultaneamente no referencial da Terra ($S$). A distância própria que os separa é de $\Delta x = 2,0 \times 10^8\text{ m}$. Um trem relativístico experimental ($S’$) trafega paralelamente à linha com velocidade constante $v = 0,6c$ ($\gamma = 1,25$). Calcule o módulo do intervalo de tempo $\Delta t’$ que um passageiro do trem medirá entre esses dois mesmos disparos.
Como os flashes são simultâneos na Terra, o intervalo de tempo nesse referencial é $\Delta t = t_2 – t_1 = 0$. A distância entre eles é $\Delta x = 2,0 \times 10^8\text{ m}$.
Para calcular o intervalo de tempo no referencial do trem ($S’$), aplicamos a equação de transformação de Lorentz para o tempo:
$$\Delta t’ = \gamma \left(\Delta t – \dfrac{v\Delta x}{c^2}\right)$$
Substituindo os valores conhecidos ($v = 0,6c$ e $\Delta t = 0$):
$$\Delta t’ = \gamma \left(0 – \dfrac{0,6c \cdot \Delta x}{c^2}\right) = -\gamma \dfrac{0,6\Delta x}{c}$$
$$\Delta t’ = -1,25 \cdot \dfrac{0,6 \cdot (2,0 \times 10^8)}{3,0 \times 10^8}$$
$$\Delta t’ = -1,25 \cdot \dfrac{1,2 \times 10^8}{3,0 \times 10^8} = -1,25 \cdot 0,4 = -0,5\text{ s}$$
Tomando o módulo do intervalo de tempo conforme pedido pelo enunciado, temos $|\Delta t’| = 0,5\text{ s}$.
\[\boxed{|\Delta t’| = 0,5\text{ s}}\]
Problema 10**
Uma barra delgada de comprimento próprio $L_0 = 2,0\text{ m}$ está em repouso no plano $x’y’$ do referencial $S’$, fazendo um ângulo de $\theta’ = 60^\circ$ com o eixo $x’$. O referencial $S’$ se move com velocidade $v = \dfrac{\sqrt{3}}{2}c$ ao longo do eixo $x$ em relação ao laboratório ($S$). Calcule o comprimento total $L$ da barra quando medido pelos cientistas no laboratório.
Primeiramente, determinamos as componentes do comprimento da barra no seu referencial de repouso $S’$:
$$L’_{0x} = L_0 \cdot \cos(60^\circ) = 2,0 \cdot 0,5 = 1,0\text{ m}$$
$$L’_{0y} = L_0 \cdot \sin(60^\circ) = 2,0 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\text{ m}$$
No referencial do laboratório ($S$), o movimento ocorre exclusivamente na direção do eixo $x$. Portanto, apenas a componente horizontal sofrerá contração espacial, enquanto a componente vertical permanecerá inalterada:
$$L_y = L’_{0y} = \sqrt{3}\text{ m}$$
Calculamos o fator de Lorentz para a velocidade dada:
$$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 – \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 – \dfrac{3}{4}}} = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4}}} = 2,0$$
A componente horizontal contraída em $S$ será:
$$L_x = \dfrac{L’_{0x}}{\gamma} = \dfrac{1,0}{2,0} = 0,5\text{ m}$$
O comprimento total $L$ medido no laboratório é obtido combinando as duas componentes ortogonais:
$$L = \sqrt{L_x^2 + L_y^2} = \sqrt{(0,5)^2 + (\sqrt{3})^2}$$
$$L = \sqrt{0,25 + 3} = \sqrt{3,25} = \sqrt{\dfrac{13}{4}} = \dfrac{\sqrt{13}}{2}\text{ m} \approx 1,80\text{ m}$$
\[\boxed{L = \dfrac{\sqrt{13}}{2}\text{ m} \approx 1,80\text{ m}}\]
Problema 11**
No referencial fixo da Terra, a espessura da atmosfera superior que separa a zona de criação de um múon até a superfície do planeta é de $H_0 = 4000\text{ m}$. O múon viaja verticalmente para baixo com uma velocidade de $v = 0,96c$ ($\gamma \approx 3,57$). Sob a perspectiva do próprio múon (ou seja, no seu referencial próprio), qual é a espessura $H$ da atmosfera que ele vê se aproximar, devido ao efeito de contração das distâncias?
Para o múon, ele próprio está parado em seu referencial de repouso, enquanto a Terra e sua atmosfera movem-se em sua direção com velocidade $v = 0,96c$.
Dessa forma, a distância vertical (altura da atmosfera) medida pelo múon passa pelo processo de contração espacial ao longo da linha de movimento:
$$H = \dfrac{H_0}{\gamma}$$
Substituindo os dados numéricos fornecidos ($H_0 = 4000\text{ m}$ e $\gamma = 3,57$):
$$H = \dfrac{4000}{3,57} \approx 1120,45\text{ m}$$
A espessura da atmosfera medida no referencial do múon é de aproximadamente $1120\text{ m}$.
\[\boxed{H \approx 1120,45\text{ m}}\]
Problema 12**
Dois relógios sincronizados estão separados por uma distância própria de $L_0 = 900\text{ m}$ a bordo de uma supernave espacial (referencial $S’$). A nave passa raspando pela Terra a uma velocidade de $v = 0,6c$ ($\gamma = 1,25$). Devido à perda de simultaneidade, observadores terrestres afirmam que os relógios da nave estão desajustados. Determine a diferença de tempo (desassincronia) observada pela Terra entre esses dois relógios.
Para determinar o desajuste de tempo observado pelo referencial da Terra ($S$), consideramos dois eventos que ocorrem simultaneamente na Terra ($\Delta t = 0$), correspondentes à leitura simultânea dos dois relógios da nave.
A equação de transformação de Lorentz para o tempo é:
$$\Delta t’ = \gamma \left(\Delta t – \dfrac{v\Delta x}{c^2}\right)$$
Sabemos que a distância entre os relógios medida na Terra é a distância contraída: $\Delta x = \frac{L_0}{\gamma}$. Substituindo $\Delta t = 0$ e $\Delta x$ na equação:
$$\Delta t’ = \gamma \left(0 – \dfrac{v \cdot \left(\dfrac{L_0}{\gamma}\right)}{c^2}\right) = -\dfrac{v L_0}{c^2}$$
O módulo dessa diferença temporal representa o desajuste síncrono dos relógios medido pelo observador externo:
$$|\Delta t’| = \dfrac{v L_0}{c^2}$$
Substituindo os valores ($v = 0,6c$ e $L_0 = 900\text{ m}$):
$$|\Delta t’| = \dfrac{0,6c \cdot 900}{c^2} = \dfrac{0,6 \cdot 900}{c} = \dfrac{540}{3,0 \times 10^8\text{ m/s}} = 1,8 \times 10^{-6}\text{ s} = 1,8\text{ }\mu\text{s}$$
A desassincronia medida é de $1,8\text{ }\mu\text{s}$.
\[\boxed{|\Delta t’| = 1,8\text{ }\mu\text{s}}\]
Problema 13***
Uma barra de comprimento próprio $L_0$ possui uma lâmpada instalada exatamente em seu ponto médio. No referencial próprio da barra ($S’$), a lâmpada é acesa em $t’=0$ e emite um pulso de luz em sentidos opostos. Como a lâmpada está no centro, a luz atinge simultaneamente a extremidade traseira (Evento T) e a extremidade dianteira (Evento D) em $S’$. Mostre, utilizando as equações das transformações inversas de Lorentz para o tempo, que para um observador no referencial $S$ (em relação ao qual a barra se move para a direita com velocidade $v$), o pulso atinge a extremidade traseira antes, e calcule analiticamente essa diferença de tempo $\Delta t = t_D – t_T$ em função de $\gamma, v, L_0$ e $c$.
No referencial próprio da barra ($S’$), a lâmpada localiza-se na origem $x’=0$. As extremidades traseira e dianteira estão posicionadas em $x’_T = -\frac{L_0}{2}$ e $x’_D = \frac{L_0}{2}$, respectivamente.
Como a luz viaja com velocidade $c$, o tempo que ela leva para percorrer metade do comprimento da barra em $S’$ é $t’_T = t’_D = \frac{L_0}{2c}$.
Portanto, as coordenadas dos eventos em $S’$ são:
- Evento T (traseira): $\left(-\dfrac{L_0}{2}, \dfrac{L_0}{2c}\right)$
- Evento D (dianteira): $\left(\dfrac{L_0}{2}, \dfrac{L_0}{2c}\right)$
Para mapear os tempos desses eventos no referencial $S$, aplicamos a transformada inversa de Lorentz para o tempo: $t = \gamma \left(t’ + \dfrac{vx’}{c^2}\right)$.
Calculando o tempo $t_T$ no referencial $S$:
$$t_T = \gamma \left( \dfrac{L_0}{2c} + \dfrac{v \cdot \left(-\dfrac{L_0}{2}\right)}{c^2} \right) = \gamma \dfrac{L_0}{2c} \left(1 – \dfrac{v}{c}\right)$$
Calculando o tempo $t_D$ no referencial $S$:
$$t_D = \gamma \left( \dfrac{L_0}{2c} + \dfrac{v \cdot \left(\dfrac{L_0}{2}\right)}{c^2} \right) = \gamma \dfrac{L_0}{2c} \left(1 + \dfrac{v}{c}\right)$$
Como $\left(1 – \frac{v}{c}\right) < \left(1 + \frac{v}{c}\right)$, fica demonstrado matematicamente que $t_T < t_D$ (a luz atinge a traseira primeiro). A diferença de tempo será:
$$\Delta t = t_D – t_T = \gamma \dfrac{L_0}{2c} \left[ \left(1 + \dfrac{v}{c}\right) – \left(1 – \dfrac{v}{c}\right) \right]$$
$$\Delta t = \gamma \dfrac{L_0}{2c} \left( \dfrac{2v}{c} \right) = \gamma \dfrac{v L_0}{c^2}$$
\[\boxed{\Delta t = \gamma \dfrac{v L_0}{c^2}}\]
Problema 14***
O paradoxo do trem e do túnel põe à prova a consistência dos efeitos relativísticos. Um trem de comprimento próprio $L_0 = 100\text{ m}$ viaja a uma velocidade tal que seu fator de Lorentz é $\gamma = 2,0$. Ele deve passar por um túnel de montanha que também possui comprimento próprio de $100\text{ m}$.
a) Sob a perspectiva de um observador parado no túnel (referencial $S$), qual o comprimento do trem em movimento? O trem cabe inteiramente dentro do túnel?
b) Sob a perspectiva de um passageiro no trem (referencial $S’$), qual o comprimento do túnel? O trem cabe dentro dele?
c) Resolva o paradoxo calculando o intervalo de tempo $\Delta t’ = t’_2 – t’_1$ no referencial do trem entre dois eventos: Evento 1 (a frente do trem sai do túnel) e Evento 2 (a traseira do trem entra no túnel). Explique o resultado.
a) No referencial do túnel ($S$):
O trem sofre contração espacial: $L = \frac{L_0}{\gamma} = \frac{100}{2,0} = 50\text{ m}$. Como o túnel tem $100\text{ m}$, o trem de $50\text{ m}$ cabe com folga dentro dele. Em $S$, a traseira do trem entra no túnel antes que a frente saia.
b) No referencial do trem ($S’$):
O túnel é que está em movimento e sofre contração: $L_{\text{túnel}} = \frac{100}{\gamma} = \frac{100}{2,0} = 50\text{ m}$. Como o trem possui comprimento próprio de $100\text{ m}$, ele não cabe dentro de um túnel de $50\text{ m}$. Aqui surge o paradoxo: como o trem cabe no túnel em um referencial, mas não cabe no outro?
c) Resolução via Perda de Simultaneidade:
Adotemos a entrada do túnel como a origem $x=0$ em $S$, e o instante em que a frente do trem entra no túnel como $t=0$.
- O Evento 1 (frente sai do túnel) ocorre na posição da saída: $x_1 = 100\text{ m}$. Como a velocidade é $v$, o tempo gasto é $t_1 = \frac{100}{v}$.
- O Evento 2 (traseira entra no túnel) ocorre na entrada: $x_2 = 0$. Como o trem mede $50\text{ m}$ em $S$, a sua traseira precisa percorrer $50\text{ m}$ para entrar no túnel, logo $t_2 = \frac{50}{v}$.
Calculamos os intervalos em $S$: $\Delta t = t_2 – t_1 = \frac{50}{v} – \frac{100}{v} = -\frac{50}{v}$ e $\Delta x = x_2 – x_1 = 0 – 100 = -100\text{ m}$.
Aplicamos a transformada de Lorentz para encontrar $\Delta t’$ no referencial do trem:
$$\Delta t’ = \gamma \left( \Delta t – \dfrac{v\Delta x}{c^2} \right) = \gamma \left( -\dfrac{50}{v} – \dfrac{v(-100)}{c^2} \right) = \gamma \left( -\dfrac{50}{v} + \dfrac{100v}{c^2} \right)$$
Como $\gamma = 2,0 \implies \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2} \implies 1 – \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{4} \implies v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 0,866c$.
Como $\gamma = 2,0 \implies \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2} \implies \frac{v^2}{c^2} = \frac{3}{4}$. Podemos reescrever o termo $\frac{100v}{c^2}$ como $\frac{100}{v} \left(\frac{v^2}{c^2}\right) = \frac{100}{v} \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{75}{v}$.
Substituindo na equação de $\Delta t’$:
$$\Delta t’ = \gamma \cdot \left[ -\dfrac{50}{v} + \dfrac{v}{c^2}\left(\dfrac{50}{1 – \dfrac{v^2}{c^2}} \cdot 2\right) \right] = \dots = +\dfrac{50}{v} > 0$$
Como $\Delta t’ > 0 \implies t’_2 > t’_1$. Isso significa que, no referencial do trem, a frente sai do túnel antes que a traseira entre. Portanto, o trem nunca está inteiramente contido dentro do túnel sob a perspectiva do passageiro. O paradoxo é desfeito porque a simultaneidade do evento “estar totalmente dentro” só existe no referencial da montanha.
\[\boxed{\text{a) } 50\text{ m (Cabe); b) } 50\text{ m (Não cabe); c) } \Delta t’ > 0 \text{ (Eventos não-simultâneos)}}\]
Problema 15***
Demonstre analiticamente como a dilatação do tempo afeta a medição de componentes de velocidade perpendiculares à direção do movimento relativo. Um objeto move-se com velocidade puramente vertical de módulo $u’_y$ no referencial $S’$. O referencial $S’$ desloca-se horizontalmente com velocidade constante $v$ em relação a $S$. Utilizando as diferenciais das transformações de Lorentz para as coordenadas ($dy = dy’$ e $dt = \gamma(dt’ + \frac{v}{c^2}dx’)$), deduza a fórmula da velocidade vertical $u_y$ medida no referencial $S$ e explique física e sucintamente o papel do fator de Lorentz na expressão resultante.
A velocidade na direção vertical conforme medida pelo observador no referencial $S$ é definida por:
$$u_y = \dfrac{dy}{dt}$$
A partir das transformações de Lorentz espaciais, sabemos que dimensões perpendiculares à linha de movimento relativo não sofrem contração, portanto:
$$dy = dy’$$
A transformada de Lorentz para o intervalo de tempo infinitesimal nos dá:
$$dt = \gamma \left(dt’ + \dfrac{v}{c^2}dx’\right)$$
Substituindo as diferenciais $dy$ e $dt$ na definição de $u_y$, obtemos:
$$u_y = \dfrac{dy’}{\gamma \left(dt’ + \dfrac{v}{c^2}dx’\right)}$$
Dividindo o numerador e o分mominador por $dt’$:
$$u_y = \dfrac{\dfrac{dy’}{dt’}}{\gamma \left(1 + \dfrac{v}{c^2}\dfrac{dx’}{dt’}\right)}$$
Por definição, no referencial $S’$, temos as componentes de velocidade $\frac{dy’}{dt’} = u’_y$ e $\frac{dx’}{dt’} = u’_x$. O enunciado afirma que o movimento em $S’$ é puramente vertical, logo $u’_x = 0$. Substituindo essas condições na fração:
$$u_y = \dfrac{u’_y}{\gamma (1 + 0)} = \dfrac{u’_y}{\gamma}$$
Explicação física: O fator de Lorentz ($\gamma$) surge no denominador como uma consequência direta da dilatação temporal. Como o tempo passa mais devagar para o referencial em movimento sob a ótica de $S$ ($dt = \gamma dt’$), o observador externo verá o mesmo deslocamento vertical ($dy’$) ocorrer ao longo de um intervalo de tempo maior, resultando em uma velocidade vertical mensurada menor.
\[\boxed{u_y = \dfrac{u’_y}{\gamma}}\]