Escrita por Victor Ivo:
Massa Reduzida é um conceito muito útil para problemas de movimento relativo entre corpos, pois isso passa todas as variáveis do problema para uma só. Primeiramente, vamos mostrar que a energia cinética de dois corpos pode ser escrita como:
$$E=\frac{M v_{cm}^{2}}{2}+\frac{\mu v_{rel}^{2}}{2}$$
Sendo $$M=m_{1}+m_{2}$$ e $$\mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$$, sendo $$m_{1}$$ e $$m_{2}$$ as massas do primeiro e segundo corpo, respectivamente. $$v_{cm}$$ é velocidade do centro de massa do sistema e $$v_{rel}$$ a velocidade relativa entre as massas.
Prova:
A energia cinética do sistema é igual à soma das energias cinéticas:
$$E=\frac{m_{1} v_{1}^{2}}{2}+\frac{m_{2} v_{2}^{2}}{2}$$
Pelas definições de $$\vec{v_{rel}}$$ e $$v_{cm}$$:
$$\vec{v}_{cm}=\frac{m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}}{m_{1}+m_{2}}$$
$$\vec{v}_{rel}=\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}$$
E rearranjando as fórmulas para obter a velocidade dos corpos em função das duas novas variáveis:
$$\vec{v}_{1}=\vec{v}_{cm}+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \vec{v}_{rel}$$
$$\vec{v}_{2}=\vec{v}_{cm}-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \vec{v}_{rel}$$
E pegando a energia cinética de cada corpo em função das novas variáveis:
$$T_{1}=\frac{m_{1} v_{1}^{2}}{2}=\frac{m_{1} \vec{v}_{1} \cdot \vec{v}_{1}}{2}$$
$$T_{1}=\frac{m_{1} v_{cm}^{2}}{2}+\frac{m_{1} m_{2}^{2} v_{rel}^{2}}{2(m_{1}+m_{2})^{2}}+m_{1} m_{2} \vec{v}_{cm} \cdot \vec{v}_{rel}$$
E, fazendo a substituição análoga para $$m_{2}$$:
$$T_{2}=\frac{m_{2} v_{cm}^{2}}{2}+\frac{m_{1}^{2} m_{2} v_{rel}^{2}}{2(m_{1}+m_{2})^{2}}-m_{1} m_{2} \vec{v}_{cm} \cdot \vec{v}_{rel}$$
Portanto, a soma das energias é:
$$T=T_{1}+T_{2}=\frac{(m_{1}+m_{2})}{2} v_{cm}^{2}+\frac{m_{1}m_{2} (m_{1}+m_{2})}{2(m_{1}+m_{2})^{2}} v_{rel}^{2}$$
E, finalmente:
$$T=\frac{(m_{1}+m_{2}) v_{cm}^{2}}{2}+\frac{m_{1} m_{2} v_{rel}^{2}}{2(m_{1}+m_{2})}$$
Como queríamos demonstrar. Em problemas com sistemas isolados, i.e, com forças apenas internas, o momento do sistema é conservado e, portanto, a velocidade do centro de massa é constante. Desta maneira, o único termo relevante para o movimento do sistema é a energia devido ao movimento relativo, que é parecido com a energia cinética de um corpo. Em sistemas com potencial $$V$$, função da distância entre massas, a energia pode ser escrita como:
$$E=T+V=\frac{\mu v_{rel}^{2}}{2}+V(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2})=\frac{\mu v_{rel}^{2}}{2}+V(\vec{r}_{rel})$$
A energia do centro de massa não foi colocada pois é constante, e um termo constante na energia não muda o movimento do sistema. Perceba que as 6 variáveis do sistema, posição da primeira e segunda massa nos três eixos, foram reduzidas para 3, as 3 componentes da distância relativa entre as massas. Ainda mais interessante é que em problemas unidimensionais o número de variáveis do sistema vai de 2 para 1, portanto tendo resolução em geral trivial ou reduzível ao problema de uma massa se movendo por um potencial. A ideia fica mais clara pelos exemplos.
Exemplos:
1 – Mola ligando duas massas:
Considere o problema de duas massas ligadas por uma mola sem massa de constante elástica $$k$$ e tamanho natural zero. As massas valem $$m_{1}$$ e $$m_{2}$$. Perceba que não existe força externa sobre o sistema, portanto ele pode ser reduzir ao formato mostrado na demonstração. Considerar a energia potencial da mola como:
$$V=\frac{kx^{2}}{2}$$
Sendo $$x$$ a distância entre as molas. Portanto, a energia do sistema é:
$$E=\frac{\mu v^{2}}{2}+\frac{kx^{2}}{2}$$
Perceba que isso é a energia de um corpo de massa $$\mu$$ preso a uma mola de constante elástica $$k$$, portanto a frequência de oscilação da massa na mola pode ser encontrada usando:
$$m \rightarrow \mu$$
E a frequência angular é:
$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \rightarrow \sqrt{\frac{k}{\mu}}$$
Portanto, a frequência de oscilação das massas é:
$$\omega=\sqrt{\frac{k}{\mu}}=\sqrt{\frac{k (m_{1}+m_{2})}{m_{1} m_{2}}}$$
2 – Massas ligadas por corda de tração constante:
Considere duas massas ligadas por uma mola sem massa de tração constante e igual a $$T$$. A energia potencial devido à corda é igual a:
$$U(l)=T l$$
Onde $$l$$ é o tamanho da corda, pois a corda tem um ganho de energia $$F \Delta x$$ por ser distensidade de $$x$$ em qualquer ponta. A energia do sistema é portanto:
$$E=T+V=T l+\frac{\mu v^{2}}{2}$$
Isso é análogo ao problema de uma massa sendo acelerada num campo de força $$F$$ constante, sendo essa força nosso $$T$$ e a massa $$\mu$$. A taxa de variação da velocidade relativa entre as massas pode ser encontrada fazendo:
$$ m \rightarrow \mu$$
E, portanto:
$$a=\frac{F}{m} \rightarrow \frac{T}{\mu}$$
E, finalmente:
$$a=\frac{T}{\mu}=\frac{ (m_{1}+m_{2}) T}{m_{1} m_{2}}$$
3 – Corpos orbitando um centro mútuo:
Considerando dois corpos se atraindo por meio de atração gravitacional, tendo uma delas massa $$m_{1}$$ e a outra massa $$m_{2}$$. A energia do sistema é:
$$E=\frac{\mu v_{rel}^{2}}{2}-\frac{G m_{1} m_{2}}{d}$$
Onde $$d$$ é a distância entre os corpos. Tomando a energia por massa para deixar a analogia mais clara:
$$\frac{E}{\mu}=\frac{v_{rel}^{2}}{2}-\frac{G m_{1} m_{2}}{\mu d}$$
E, no caso de um corpo atraído por outro muito mais massivo, a energia seria do tipo:
$$\frac{E}{m}=\frac{v^{2}}{2}-\frac{GM}{d}$$
Logo, para termos o caso análogo, devemos ter:
$$M \rightarrow \frac{m_{1} m_{2}}{\mu}$$
Portanto, como o período no caso do corpo muito massivo é:
$$T=2\pi \sqrt{\frac{d^{3}}{GM}}$$
Tomando a comparação entre os casos, temos:
$$T=2\pi \sqrt{\frac{d^{3} \mu}{G m_{1} m_{2}}}$$
$$T=2 \pi \sqrt{\frac{d^{3} m_{1} m_{2}}{(m_{1}+m_{2}) Gm_{1} m_{2}}}$$
$$T=2 \pi \sqrt{\frac{d^{3}}{G(m_{1}+m_{2})}}$$
Problemas Relacionados:
P1- Dois corpos iguais e de massa $$m$$ estão presos por uma mola de constante elástica $$k$$, tal que a deformação inicial delas é $$x_{o}$$. Qual a velocidade relativa máxima entre massas?
P2- Um corpo de massa $$m$$ e velocidade inicial inicial $$v_{o}$$ está em cima, e localizado em uma das pontas, de uma barra de massa $$M$$ e comprimento $$L$$. Sabendo que a gravidade vale $$g$$ e que o coeficiente de atrito entre o corpo e a barra vale $$\mu$$, encontre o valor máximo de $$v_{o}$$ para que o corpo não perca contato com a barra.
P3- Uma plataforma de massa M possui uma haste vertical, e na extremidade superior existe um cordão com uma massa $$m$$ presa a outra extremidade. Considere que não há atrito entre a plataforma e o solo. Determine o período para pequenas oscilações do sistema.
P4- Dois corpos, um de massa $$m_{1}$$ e $$m_{2}$$, estão em repouso no espaço e sob influência apenas de suas atrações gravitacionais. Sabendo que eles estão inicialmente a uma distância $$d$$, qual o tempo que eles levam para se chocar?
P5- Dois irmãs permanentes estão alinhados na horizontal numa mesa muito lisa, tal que a distância entre eles dois é $$d$$, e devido ao tamanho finito deles a distância entre seus centros é $$d+d_{o}$$. Os imãs são segurados tal que a força entre eles dois é atrativa, e não tem torque gerado pela força. Se um dos imãs é segurado e o outro é solto, então elas colidem após $$0,6 s$$. Se o outro imã for segurado e o outro solto, eles colidem após $$0,8 s$$. Quanto tempo vai levar pra colisão se os dois imãs forem liberados ao mesmo tempo?
Figura 01: Dois imãs alinhados se atraindo.