Escrita por Paulo Henrique
Introdução
É muito comum, em problemas de Termodinâmica, que se faça perguntas a respeito do sistema durante uma dada transformação. Por exemplo: Um gás X é submetido a uma transformação regida pela equação:
$$\frac{P}{V}=constante$$ (1)
Determine o trabalho realizado pelo gás desde de $$V_1$$ até $$V_2$$. Ou seja, o aluno deve, sabendo o que ocorre com o sistema, determinar certos paramêtros termodinâmicos. Aqui, iremos desenvolver uma ideia de suma utilidade que, de certa forma, generaliza o resultado do exemplo proposto acima. Os chamados processos politrópicos são da forma:
$$PV^n=constante$$ (2)
Dada essa equação, inúmeras perguntas relacionadas ao sistema podem ser feitas.
Desenvolvimento
Como você já deve ter percebido, a equação do processo não é suficiente para tratar o problema. Obviamente, deve-se saber qual o sistema em questão. Em questões de olimpíadas, a substância de trabalho a qual o processo é submetido geralmente é um gás ideal. Por motivos de aplicação, usaremos esse tipo de gás para a análise do processo. Lembre-se de que a equação de estado de um gás ideal é:
$$PV=nRT$$ (3)
onde $$n$$ é o número de mols e as outras letras representam as funções usuais.
Podemos diferenciar (2) para obter:
$$\frac{dP}{dV}V^n+PnV^{n-1}=0$$
Ou
$$\frac{dP}{dV}=\frac{-nPV^{n-1}}{V^n}=-\frac{nP}{V}$$ (4)
Procedendo da mesma forma, diferenciemos (3):
$$V\frac{dP}{dV}+P=R\frac{dT}{dV}$$ (5)
Bom, as duas equações geradas por diferenciação direta de (2) e (3) não nos dizem muita coisa. Mas um resultado interessante pode ser obtido a partir da primeira lei da Termodinâmica na forma diferencial, veja:
$$dU=d’Q-PdV$$ (6)
Podemos definir a capacidade térmica molar $$C$$ do sistema da seguinte forma:
$$d’Q=CdT$$ (7)
Evidentemente, $$C$$, que depende do processo ao qual o gás é submetido, pode ser função da temperatura, volume, etc. Portanto, se o processo é isovolumétrico (a volume constante), temos:
$$dU=C_{v}dT$$ (8)
onde o subscrito em $$C$$ sinaliza um processo a volume constante. Logo, (6) toma a seguinte forma:
$$C_{v}dT=CdT-PdV$$ (9)
Diferenciando a equação acima, obtemos:
$$\frac{dT}{dV}=\frac{P}{C-C_v}$$ (10)
Podemos substituir (10) e (4) em (5). O resultado obtido é:
$$C=C_v-\frac{R}{n-1}$$ (11)
Que, curiosamente, só depende de n. Podemos reduzir (11) mais ainda se percebemos que, para um gás ideal:
$$C_p-C_v=R$$ e $$\frac{C_p}{C_v}=\gamma$$
Onde $$C_p$$ se refere a capacidade térmica do sistema em um processo a pressão constante e $$\gamma$$ é o chamado coeficiente de Poison, uma constante do gás.
Logo:
$$C_v=\frac{R}{{\gamma}-1}$$
Dessa forma, nosso resultado final toma a forma compacta:
$$C(n)=\frac{R}{{\gamma}-1}-\frac{R}{n-1}$$ (12)
Conforme você verá nos exemplos, essa equação, fácil de memorizar, nos permite obter várias informações sobre o sistema e nos faz economizar muito tempo em questões. Observe, que (12) é uma expressão para capacidade térmica molar dos sistema. Se quisermos obter informações quantitativas, é preciso que se multiplique pelo número de mols do gás.
Verificações
Vale a pena testar (12) para resultados já conhecidos:
1- Volume constante
Nesse caso, é melhor expressar a transformação da seguinte forma:
$$VP^{\frac{1}{n}}=constante$$
Dessa forma, fica claro que, como $$V$$ é constante e em geral $$P$$ não é, seu expoente deve ser zero a fim de manter o produto constante. Então $$n$$ tende a infinito e pela equação para $$C$$, chegamos em:
$$C=C_V$$
2-Adiabático
Evidentemente, a $$n=\gamma$$ e $$C=0$$. O que era de se esperar, visto que nessa transformação não há troca de calor.
3- Isotérmico
Sabemos pela equação de estado, $$PV=constante$$. Logo $$n=1$$, e concluimos que:
$$C{\to}\infty$$
Podemos interpretar isso da seguinte forma: como o gás é considerado ideal, sua energia interna, que é função de estado só depende da temperatura. Visto que $$\Delta{T}=0$$ temos $$\Delta{U}=0$$. Sendo assim, podemos escrever, a priori:
$$dT=\frac{PdV}{C}=0$$
Que corresponde a $$C{\to}\infty$$.
Aplicações
1- Suponha que a pressão $$P$$ e a densidade $$\rho$$ do ar estejam relacionadas conforme a expressão $$\frac{P}{\rho^n}=constante$$, independente da altura. Encontre o gradiente de temperatura correspondente.
2- Um cilindro horizontal, fechado numa extremidade, é girado com uma velocidade angular constante $$\Omega$$ sobre um eixo vertical passando através da extremidade aberta do cilindro. A pressão de ar exterior é igual a $$P_0$$, a temperatura é igual a $$T$$ e a massa molar de ar é igual a $$M$$. Encontre a pressão de ar em função da distância $$r$$ a partir do eixo de rotação. A massa molar é considerada como sendo independente de $$r$$.
Dica: Encontre o gradiente de pressão: $$\frac{dP(r)}{dr}$$ usando o fato que, a uma distância $$r$$, uma partícula de gás sofre uma aceleração $${\Omega}^2r$$. Considere o gás como ideal.
3- O volume de um mol de gás ideal, com o expoente adiabático $$\gamma$$, varia de acordo com a lei $$V=\frac{a}{T}$$, onde $$a$$ é uma constante. Encontre a quantidade de calor obtida pelo gás nesse processo, sabendo que sua temperatura aumentou em $$\Delta{T}$$
4- Demonstre que em um processo politrópico, o trabalho realizado por um gás ideal é proporcional á variação de sua energia interna. Determine a constante de proporcionalidade.
5- Para quais valores de $$n$$ a capacidade térmica do gás será negativa?
6- Num determinado processo politrópico, o volume de argônio aumentou em $$\alpha=4$$ vezes. Simultaneamente, a pressão diminuiu $$\beta=8$$ vezes. Encontre a capacidade térmica molar do argônio nesse processo, considerando que o gás é ideal.
7- Um mol de argônio é expandido politropicamente, sendo a constante politrópica $$n=1,5$$. No processo, a temperatura do gás muda em $$\Delta{T}=-26$$ $$K$$. Encontre:
a) a quantidade de calor ganha pelo gás.
b) o trabalho realizado pelo gás.
8- Um mol de um gás ideal, cujo expoente adiabático é $$\gamma$$, sofre um processo no qual a pressão do gás é $$P=aT^{\alpha}$$, onde $$a$$ e $$\alpha$$ são constantes. Encontre:
a) o trabalho realizado pelo gás, sabendo que sua temperatura ganha uma variação $$\Delta{T}$$
b) a capacidade térmica molar do gás nesse processo. Para qual valor de $$\alpha$$ a capacidade térmica será negativa?
9- Um recipiente isolado termicamente é dividido por um pistão leve que
pode se mover sem fricção, como mostrado na figura. A parte esquerda é
preenchida com um mol de um gás monoatômico; o que está à direita do
recipiente é evacuado. O pistão é conectado à parede direita por meio de
uma mola, cujo comprimento livre natural é igual ao tamanho do recipiente.
Determine a capacidade térmica molar do sistema, negligenciando a capacidade do recipiente, do pistão e da mola. Considere $$R$$ como a constante dos gases ideais.
