Escrito por Ualype Uchôa
Na ideia a seguir, será apresentada uma situação aparentemente simples que possui uma explicação surpreendentemente elegante. Aprenderemos sobre o Cone de Mach; uma ferramenta incrível que possui diversas aplicações em alguns problemas. Esta aula possui foco no Nível 1/Nível 2, mas algumas questões serão recomendadas apenas para o Nível 2.
O Cone de Mach
Vamos imaginar a seguinte situação; um avião supersônico (ou seja, sua velocidade é maior que a do som no ar) viaja com velocidade constante $$v$$ através do ar (onde a velocidade do som é $$c$$), dando origem ao seguinte fenômeno:
Figura 1: Avião supersônico voando. É possível ver o ar condensado devido à onda de choque, que provoca bruscas variações de pressão na atmosfera.
Primeiramente, devemos entender o que acontece aqui. O avião, a todo momento, emite ondas sonoras que se propagam esfericamente em todas as direções, com velocidade $$c$$. A envoltória de todas as frentes de ondas forma uma figura com formato de um cone, o chamado Cone de Mach. Vamos analisar melhor a situação, em um plano bidimensional (pois há simetria de rotação em relação ao eixo do movimento do corpo):
Figura 2: Esquema das frentes de onda geradas por um avião supersônico.
O avião se movimenta ao longo da reta do meio, enquanto as retas pontilhadas representam a envoltória das frentes de ondas geradas. Quando o avião passa por $$A$$, ele emite uma onda sonora esférica. Após $$t$$ segundos, o avião encontra-se no ponto $$C$$, e, no mesmo instante, um ponto da frente de onda emitida em $$A$$ encontra-se em $$B$$. Sendo $$\alpha$$ o ângulo entre a envoltória e a reta que determina o movimento do nosso avião, temos:
$$\sin{\alpha}=\dfrac{AB}{AC}$$,
Mas $$AC=vt$$ e $$AB=ct$$, então:
$$\sin{\alpha}=\dfrac{c}{v}$$.
O chamado ângulo de Mach, que nos fornece a relação entre a velocidade do avião e do som.
OBS: Talvez você esteja se perguntando: por que existe uma envoltória cônica inclinada de $$\alpha$$? Mostramos a relação acima para uma onda emitida em $$A$$, mas, em vez disso, poderíamos ter escolhido um ponto $$A’$$, e utilizar o mesmo raciocínio. Após $$t’$$ segundos, o avião estaria no ponto $$C$$, a uma distância $$vt’$$ de $$A’$$, tempo no qual a frente de onda andou $$ct’$$. Calculando o seno do ângulo entre a reta tangente à frente de onda, obtemos, como deveríamos, o mesmo resultado, mostrando que há uma curva tangente à todas as frentes de ondas, a todo instante.
Veja que, pela condição de existência do ângulo, $$\sin{\alpha} \leq 1$$, implicando $$v \geq c$$, o que está de acordo com o problema (ou o avião é supersônico ou viaja na mesma velocidade do som, situação em que a envoltória forma um ângulo reto com a linha de movimento; i.e as frentes de onda sempre acompanham o avião). Vamos aplicar os conhecimentos em um exemplo:
Exemplo 1: Um avião voa horizontalmente com velocidade $$v$$. Um observador no solo escuta o barulho do avião $$T$$ segundos após este passar acima de sua cabeça. A que altura voava a aeronave? A velocidade do som vale $$c$$.
Solução: Primeiramente, perceba um fato curioso; o observador, durante certo tempo, é capaz de ver o avião, mas não consegue ouvi-lo. Assim que a onda de choque (envoltória) passa por ele, ele escuta o barulho do avião num chamado “Sonic Boom”, devido a uma onda que foi emitida anteriormente. Veja a seguinte geometria:
Figura 3: Geometria utilizada na solução do exemplo 1.
A reta em preto determina o solo, e $$O$$ é a posição do observador. Quando a envoltória atinge o observador, o avião encontra-se no ponto $$C$$. Contudo, o observador ouve o som que foi emitido no ponto $$A$$. Sabemos, do enunciado, que $$BC=vT$$. Durante o tempo $$T$$, uma onda originada em $$B$$ (ponto acima da cabeça do observador) percorreu uma distância $$BD=cT$$. Utilizando pitágoras no triângulo $$BOD$$, chegamos que:
$$\sin{\alpha}=\dfrac{\sqrt{H^2-c^2T^2}}{H}$$.
Mas, sabemos que $$\sin{\alpha}=\dfrac{c}{v}$$, logo, igualando ambas as expressões e isolando $$H$$:
$$H=\dfrac{cT}{\sqrt{1-\dfrac{c^2}{v^2}}}$$.
É interessante comentar que, se houvesse outro observador localizado em $$D$$, este ouviria o som emitido pelo avião no mesmo instante em que o observador localizado em $$O$$; a diferença é que ele ouviria o som proveniente de $$B$$.
Generalização
Evidentemente, os resultados aqui derivados não funcionam apenas para o caso em que temos um avião supersônico. O fenômeno do Cone de Mach ocorre quando um corpo se move a uma velocidade maior do que a velocidade característica de propagação das ondas no meio no qual ele está inserido. Uma aplicação conhecida é a do Efeito Cherenkov, que ocorre quando uma partícula carregada se move a uma velocidade maior do que a velocidade da luz naquele meio (que é menor do que a velocidade da luz no vácuo). Nesta situação, verificou-se que a partícula emitia radiação eletromagnética, chamada de radiação Cherenkov, em homenagem ao físico de mesmo nome que observou o fato experimentalmente.
Problemas Relacionados
1. Barquinho
Um fotógrafo capturou a foto de um navio navegando no oceano (a imagem está em escala, porém a mesma é desconhecida). Sabendo que as ondas nesta região do oceano se propagam a uma velocidade de $$2,0$$ $$m/s$$, estime a velocidade do barco.
Figura 3: Fotografia de um navio em movimento, visto de cima.
2. Observador curioso
Um observador assiste a um espetáculo de caças aéreos, e resolve criar um método para determinar a altitude do avião, bem como a velocidade do som. Na hora em que o caça supersônico passa exatamente pela sua cabeça, ele aciona um cronômetro, e verifica que, até ele ouvir o barulho do caça, passaram-se $$t=8$$ $$s$$. Nesse mesmo instante, ele aponta para a direção de onde ele julga estar ouvindo o barulho, que ele identifica fazer um ângulo $$\alpha=37^{\circ}$$ com a vertical do local. Sendo conhecida a velocidade do avião, constante e igual a $$u=550$$ $$m/s$$, encontre:
a) A velocidade de propagação do som.
b) A altura do avião em relação ao solo.
As questões a seguir são recomendadas apenas para o Nível 2, pois envolvem assuntos que não constam no programa do Nível 1!
3. Efeito Cherenkov (ITA – 2015)
Uma partícula eletricamente carregada move-se num meio de índice de refração $$n$$ com uma velocidade $$v = \beta c/n$$, em que $$\beta > 1$$ e $$c$$ é a velocidade da luz. A cada instante, a posição da partícula se constitui no vértice de uma frente de onda cônica de luz por ela produzida que se propaga numa direção $$\alpha$$ em relação à da trajetória da partícula, incidindo em um espelho esférico de raio $$R$$, como mostra a figura. Após se refletirem no espelho, as ondas convergem para um mesmo anel no plano focal do espelho em $$F$$. Calcule o ângulo $$\alpha$$ e a velocidade $$v$$ da partícula em função de $$c$$,$$r$$, $$R$$ e $$n$$.
Figura 4: Imagem para a questão 3.
4. Luz Cherenkov (IPhO – 2008)
(Apenas as partes 1 e 2 envolvem os assuntos aqui estudados)
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