Física - Ideia 28

Escrito por Ualype Uchôa

Na ideia a seguir, será apresentada uma situação aparentemente simples que possui uma explicação surpreendentemente elegante. Aprenderemos sobre o Cone de Mach; uma ferramenta incrível que possui diversas aplicações em alguns problemas. Esta aula possui foco no Nível 1/Nível 2, mas algumas questões serão recomendadas apenas para o Nível 2.

O Cone de Mach

Vamos imaginar a seguinte situação; um avião supersônico (ou seja, sua velocidade é maior que a do som no ar) viaja com velocidade constante $v$ através do ar (onde a velocidade do som é $c$), dando origem ao seguinte fenômeno:

Figura 1: Avião supersônico voando. É possível ver o ar condensado devido à onda de choque, que provoca bruscas variações de pressão na atmosfera.

Primeiramente, devemos entender o que acontece aqui. O avião, a todo momento, emite ondas sonoras que se propagam esfericamente em todas as direções, com velocidade $c$. A envoltória de todas as frentes de ondas forma uma figura com formato de um cone, o chamado Cone de Mach. Vamos analisar melhor a situação, em um plano bidimensional (pois há simetria de rotação em relação ao eixo do movimento do corpo):

Figura 2: Esquema das frentes de onda geradas por um avião supersônico.

O avião se movimenta ao longo da reta do meio, enquanto as retas pontilhadas representam a envoltória das frentes de ondas geradas. Quando o avião passa por $A$, ele emite uma onda sonora esférica. Após $t$ segundos, o avião encontra-se no ponto $C$, e, no mesmo instante, um ponto da frente de onda emitida em $A$ encontra-se em $B$. Sendo $\alpha$ o ângulo entre a envoltória e a reta que determina o movimento do nosso avião, temos:

$\sin{\alpha}=\dfrac{AB}{AC}$,

Mas $AC=vt$ e $AB=ct$, então:

$\sin{\alpha}=\dfrac{c}{v}$.

O chamado ângulo de Mach, que nos fornece a relação entre a velocidade do avião e do som.

OBS: Talvez você esteja se perguntando: por que existe uma envoltória cônica inclinada de $\alpha$? Mostramos a relação acima para uma onda emitida em $A$, mas, em vez disso, poderíamos ter escolhido um ponto $A'$, e utilizar o mesmo raciocínio. Após $t'$ segundos, o avião estaria no ponto $C$, a uma distância $vt'$ de $A'$, tempo no qual a frente de onda andou $ct'$. Calculando o seno do ângulo entre a reta tangente à frente de onda, obtemos, como deveríamos, o mesmo resultado, mostrando que há uma curva tangente à todas as frentes de ondas, a todo instante.

Veja que, pela condição de existência do ângulo, $\sin{\alpha} \leq 1$, implicando $v \geq c$, o que está de acordo com o problema (ou o avião é supersônico ou viaja na mesma velocidade do som, situação em que a envoltória forma um ângulo reto com a linha de movimento; i.e as frentes de onda sempre acompanham o avião). Vamos aplicar os conhecimentos em um exemplo:

Exemplo 1: Um avião voa horizontalmente com velocidade $v$. Um observador no solo escuta o barulho do avião $T$ segundos após este passar acima de sua cabeça. A que altura voava a aeronave? A velocidade do som vale $c$.

Solução: Primeiramente, perceba um fato curioso; o observador, durante certo tempo, é capaz de ver o avião, mas não consegue ouvi-lo. Assim que a onda de choque (envoltória) passa por ele, ele escuta o barulho do avião num chamado "Sonic Boom", devido a uma onda que foi emitida anteriormente. Veja a seguinte geometria:

Figura 3: Geometria utilizada na solução do exemplo 1.

A reta em preto determina o solo, e $O$ é a posição do observador. Quando a envoltória atinge o observador, o avião encontra-se no ponto $C$. Contudo, o observador ouve o som que foi emitido no ponto $A$. Sabemos, do enunciado, que $BC=vT$. Durante o tempo $T$, uma onda originada em $B$ (ponto acima da cabeça do observador) percorreu uma distância $BD=cT$. Utilizando pitágoras no triângulo $BOD$, chegamos que:

$\sin{\alpha}=\dfrac{\sqrt{H^2-c^2T^2}}{H}$.

Mas, sabemos que $\sin{\alpha}=\dfrac{c}{v}$, logo, igualando ambas as expressões e isolando $H$:

$H=\dfrac{cT}{\sqrt{1-\dfrac{c^2}{v^2}}}$.

É interessante comentar que, se houvesse outro observador localizado em $D$, este ouviria o som emitido pelo avião no mesmo instante em que o observador localizado em $O$; a diferença é que ele ouviria o som proveniente de $B$.

Generalização

Evidentemente, os resultados aqui derivados não funcionam apenas para o caso em que temos um avião supersônico. O fenômeno do Cone de Mach ocorre quando um corpo se move a uma velocidade maior do que a velocidade característica de propagação das ondas no meio no qual ele está inserido. Uma aplicação conhecida é a do Efeito Cherenkov, que ocorre quando uma partícula carregada se move a uma velocidade maior do que a velocidade da luz naquele meio (que é menor do que a velocidade da luz no vácuo). Nesta situação, verificou-se que a partícula emitia radiação eletromagnética, chamada de radiação Cherenkov, em homenagem ao físico de mesmo nome que observou o fato experimentalmente.

Problemas Relacionados

1. Barquinho

Um fotógrafo capturou a foto de um navio navegando no oceano (a imagem está em escala, porém a mesma é desconhecida). Sabendo que as ondas nesta região do oceano se propagam a uma velocidade de $2,0$ $m/s$, estime a velocidade do barco.

Figura 3: Fotografia de um navio em movimento, visto de cima.

 

2. Observador curioso

Um observador assiste a um espetáculo de caças aéreos, e resolve criar um método para determinar a altitude do avião, bem como a velocidade do som. Na hora em que o caça supersônico passa exatamente pela sua cabeça, ele aciona um cronômetro, e verifica que, até ele ouvir o barulho do caça, passaram-se $t=8$ $s$. Nesse mesmo instante, ele aponta para a direção de onde ele julga estar ouvindo o barulho, que ele identifica fazer um ângulo $\alpha=37^{\circ}$ com a vertical do local. Sendo conhecida a velocidade do avião, constante e igual a $u=550$ $m/s$, encontre:

a) A velocidade de propagação do som.

b) A altura do avião em relação ao solo.

As questões a seguir são recomendadas apenas para o Nível 2, pois envolvem assuntos que não constam no programa do Nível 1!

3. Efeito Cherenkov (ITA - 2015)

Uma partícula eletricamente carregada move-se num meio de índice de refração $n$ com uma velocidade $v = \beta c/n$, em que $\beta > 1$ e $c$ é a velocidade da luz. A cada instante, a posição da partícula se constitui no vértice de uma frente de onda cônica de luz por ela produzida que se propaga numa direção $\alpha$ em relação à da trajetória da partícula, incidindo em um espelho esférico de raio $R$, como mostra a figura. Após se refletirem no espelho, as ondas convergem para um mesmo anel no plano focal do espelho em $F$. Calcule o ângulo $\alpha$ e a velocidade $v$ da partícula em função de $c$,$r$, $R$ e $n$.

Figura 4: Imagem para a questão 3.

4. Luz Cherenkov (IPhO - 2008)

(Apenas as partes 1 e 2 envolvem os assuntos aqui estudados)

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