Física - Ideia 38

Escrito por Matheus Felipe R. Borges

Construções geométricas em problemas

Problemas de construção geométrica são extremamente comuns em olimpíadas mais avançadas, principalmente na EuPhO (Olimpíada Europeia de Física), olimpíadas estonianas como Est-Fin e NBPhO e na Physics Cup (Tida por muitos a olimpíada mais difícil de todas).

A ideia por trás dessa aula é ensinar o aluno a resolver problemas de construção geométrica, isto é problemas que o aluno precisa colocar a "mão na massa" e tirar informações diretamente da figura, então o uso de régua e compasso é essencial para a solução dos problemas. No caso, como estamos em um mundo virtual e entendendo que o aluno pode ter dificuldade de imprimir as figuras e/ou usar a régua diretamente na tela do computador, foi disponibilizado os arquivos Geogebra (.ggb) das figuras, assim, sinta-se a vontade para baixar os arquivos fazer upload no Geogebra e tentar resolver os problemas.

Dessa forma, resolveremos uma série de problemas juntos, em uma tentativa de mostrar a linha de raciocínio que devemos seguir para solucionar os problemas.

Introdução

Os problemas mais comuns de construção geométrica envolvem óptica geométrica, principalmente problemas com lentes, ou seja, começaremos solucionando problemas que envolvem essa área (problemas 1 a 6), e depois mostrarei alguns problemas que envolvem construção em outros contextos (problemas 7 e 8).

Gande parte dos problemas que os estudantes estão acostumados é, para um dado objeto, encontrar a imagem dele, e para isso usam-se as propriedades dos instrumentos ópticos (Muitas de vezes indiretamente, pois comumente aplica-se diretamente formulas prontas, porem as propriedades estão sendo automaticamente aplicadas, uma vez que as fórmulas são montadas baseando-se nelas). Em problemas envolvendo construção em óptica, muitas vezes, a imagem já é dada e o aluno com seus conhecimentos das propriedades deve achar o que a questão pede (ou a posição do instrumento, ou o objeto, etc), ou seja, na maior parte dos casos faremos o processo inverso do que é feito nas questões "clássicas" de óptica e quase não utilizaremos formulas aqui.

Problema 1

(Estonian Open Physics Competition)

A figura mostra um objeto $AB$ e sua imagem real $A'B'$ feita por uma lente convergente. Encontre a localização da lente, do seu respectivo centro óptico e plano focal.

Só o básico

Resolução:

Em um primeiro contato, o aluno pode ficar assustado e se perguntar "Como devo agir aqui?", a ideia é que você possui o objeto e a imagem e sabe o processo de criação dela, então deve-se usar as propriedades de formação da imagem em lentes para encontrar o que é pedido. A primeira propriedade que usaremos é

Propriedade 1: Formação da imagem

Todo e qualquer raio que sai do objeto passa pela imagem, podendo ter sido desviado pela lente ou não.

Obs.1: nos nossos problemas vamos sempre considerar que os raios luminosos se propagam em linha reta, e sofrem desvios se, e somente se, quando passam por algum instrumento, continuando o trajeto em linha reta.

Obs.2:às vezes, a imagem é virtual e o que "passa" pela imagem é o prolongamento do raio de luz. (Veja a figura a baixo)

Para usar essa informação devemos pensar em um dado raio específico -- o raio que, ao mesmo tempo, passa por $A$ e por $B$ (raio 1) -- quando esse raio passar pela lente ele sofrerá um desvio (se tornando o raio 2) e passará tanto por $A'$ quanto $B'$:

Perceba que o único ponto possível que o raio 1 pode ter sido desviado é o ponto $C$, ou seja, esse ponto deve pertencer a lente. Como a lente é um seguimento de reta (pelo menos na nossa representação), ainda precisamos de mais informações para determinarmos a posição da lente. Para isso usaremos mais uma propriedade:

Propriedade 2: raios passando pelo centro óptico

Raios que passam pelo centro óptico não sofrem desvio.

O centro óptico é um ponto "especial" da lente, que os raios passam sem sofrer desvio algum. Então, ao ligar os pontos $A$ e $A'$ por uma linha reta (raio 3), o centro óptico deve estar em algum lugar dessa linha, uma vez que esse deve representar um raio de luz que não sofreu desvio. Fazendo um processo análogo para $B$ e $B'$ encontramos:

Como o centro óptico pertence às duas retas $AA'$ e $BB'$, ele deve ser o ponto $D$, então, uma vez que temos dois pontos da lente, sabemos a sua localização:

Agora, ainda precisamos encontrar o plano focal da lente para solucionarmos totalmente a questão, para isso usaremos uma propriedade diretamente relacionada com o plano focal:

Propriedade 3: raios paralelos

Raios paralelos convergem no mesmo ponto do plano focal.

Assim, pegaremos dois raios paralelos: um que sai de $A$ (raio 5) e outro de $B$ (raio 6) . Poderíamos pegar quaisquer dois raios paralelos, mas por simplicidade pegaremos raios que incidem perpendicularmente à lente:

Então acha-se o ponto $G$ que pertence ao plano focal, e uma vez que o plano focal é paralelo à lente encontramo-lo:

 

Obs.: O ponto $G$ é comumente chamado de foco da lente, por ser o ponto do plano focal que os raios que incidem perpendicularmente à lente convergem.

Portanto, encontramos, agora, tudo pedido na questão, a lente, o centro óptico e o plano focal. Essa é a resposta do problema, isso pode parecer estranho para quem nunca viu um problema de construção, porém é exatamente isso que o aluno precisa responder, ou seja, indicar na imagem o que foi pedido.

Problema 2

(Estonian-Finnish Olympiad in Physics 2004) (Adaptada)

Mostre que a imagem criada de uma linha reta por uma lente delgada é também uma linha reta. Assuma que o eixo óptico da lente e a linha estão no mesmo plano $(x,y)$. Desenhe na figura a imagem da linha e indique qual parte da imagem é real e qual é virtual.

 

Uma linha

Resolução:

Aqui, você pode utilizar as equações prontas da óptica geométrica

$\dfrac{y'}{y}=-\dfrac{x'}{x}=\dfrac{f}{f-x}$

Porém, como nosso objetivo aqui é apresentar a construção geométrica, utilizemos argumentos de construção:

Inicialmente, para montar a imagem precisamos usar o plano focal que está do outro lado da lente (ambos os PFs são paralelos e equidistantes à lente), uma vez que a lente é convergente (obs: o plano dado na imagem está aí só para auxiliar na resposta)

Para construir a imagem pegaremos dois pontos e utilizar as propriedades discutidas na questão anterior:

Sabemos que existe um raio que sai de $A$, passa por $B$ (raio 1) e, após sofrer desvio pela lente, passa pelas imagens $A'$ e $B'$, esse raio coincide com a linha analisada. Para encontrar o raio desviado utilizaremos as propriedades 2 e 3, existe um raio paralelo ao raio $AB$ que passa pelo centro óptico sem sofrer desvio, esse raio cruza o plano focal em um dado ponto $P$, e uma vez que raio paralelos passam pelo mesmo ponto do plano focal achamos o raio 2:

Ambas as imagens $A'$ e $B'$ estão no raio 2. Perceba que os pontos $A$ e $B$ são quaisquer pontos da linha, ou seja, todas as imagens de quaisquer dois pontos que você pegar da linha pertencem ao raio 2 (pois o raio 1 sempre é o mesmo), desse modo encontrasse que a imagem da linha pertence a uma reta. Faremos uma análise adicional para achar a imagem com maior precisão:

Utilizando a propriedade 2 para cada ponto $A$ e $B$ podemos encontrar as imagens $A'$ e $B'$:

Agora perceba que achando as imagens de diferentes pontos da linha perceberemos que pontos da linha entre o plano focal e a lente (análogos ao ponto $B$) tem imagens virtuais (estão do mesmo lado do objeto) e pontos depois do PF (análogos ao ponto $A$) tem imagens reais (do outro lado da lente), é importante ressaltar que nenhuma imagem real fica entre o foco e lente. A imagem da linha é:

Problema 3

(Estonian-Finnish Olympiad in Physics 2004) (Adaptada)

Um fotógrafo quer tirar uma foto de um campo de flores. A fim de obter uma imagem onde todas as flores (tanto próximas quanto distantes) são nítidas, ele tem que usar uma lente com recursos de mudança de inclinação. O campo de flores (o qual se estende efetivamente para o infinito) e a imagem de sua borda distante, com o plano da imagem, estão representados na figura. Encontre a posição da lente. O comprimento focal é dado em escala.

Campo de flores

Resolução:

A imagem do horizonte representa a imagem de um objeto muito distante, consideraremos uma distância infinita.

Para objetos no infinito consideramos que os raios incidem perpendicularmente à lente, ou seja, a imagem do horizonte é o ponto de convergência de raios perpendiculares à lente -- isto é, o foco. Desse modo, como foi dado pela questão a distância focal, conseguimos determinar possíveis posições para a lente, já que a distância entre a lente e o foco deve ser o comprimento focal.

A lente deve ser tangente à circunferência marcada na figura. Agora, precisamos de mais informações para determinar a posição da lente. O fotógrafo quer que todo o campo de flores seja visível na foto, logo as imagens de todos os pontos do campo devem pertencer ao anteparo da câmera, assim faremos um processo análogo ao problema 1 com a propriedade 1. Exite um raio de luz que passa por todos os objetos, sofre desvio e passa por todas as imagens.

Perceba que o único ponto possível para o raio sofrer desvio é o ponto $A$, assim, ele deve pertencer à lente. Portanto, a lente passa pelo ponto $A$ e é tangente à circunferência, então a posição da lente é:

Problema 4

(Physics Cup-2012)

O quadrilátero mostrado na figura é a imagem real de um quadrado formada por uma lente delgada ideal. Tanto o quadrado quanto o eixo óptico da lente estão no mesmo plano da imagem. Determine a posição da lente e a orientação do seu eixo óptico.

Quadrado troncho

Resolução:

Perceba que até aqui, em todos os problemas, nós tínhamos tanto a posição do objeto quanto a da imagem, o que nós permtia utilizar a propriedade 1 facilmente e, assim, com auxílio das outras propriedades, encontrar tudo que é pedido. Entretanto, nesse problema, a questão nos da apenas a imagem… O que fazer agora?

Bom, apesar da questão nos dar só a imagem no desenho, foi dada a seguinte informação:

"O quadrilátero mostrado na figura é a imagem real de um quadrado…"

E, por incrível que pareça, essa informação é suficiente para determinarmos tudo que é pedido (e um pouco mais). Na solução dessa questão apresentarei os argumentos de maneira mais lenta, e, nas próximas, serei mais breve. Inicialmente, nomearemos os pontos do quadrilátero para facilitar a comunicação:

Suponhamos que o quadrilátero seja a imagem do seguinte quadrado:

obs.: não é possível determinar onde ele se encontra na imagem de cara.

Todas as propriedades de antes ainda são válidas, ou seja, um raio que passa por $A$ e $B$ passará por $A'$ e $B'$. Desse modo, analisaremos os raios $AB$ e $CD$, note que ambos são paralelos, ou seja, pela propriedade 3, ao passarem pela lente eles se cruzarão no plano focal, olhe o exemplo a baixo: (é importante ressaltar que é apenas um exemplo didático, provavelmente não são as reais posições da lente e plano focal)

O mesmo acontece para os raios $AD$ e $BC$:

Logo, perceba que os pontos de intersecção dos raios $A'B'$ e $C'D'$ e dos raios $A'D'$ e $B'C'$ pertencem ao plano focal (esses raios são os raios após o desvio da lente). Desse modo conseguimos determinar o plano focal na imagem que nos foi fornecida pelo enunciado:

os pontos $P_1$ e $P_2$ pertencem ao plano focal.

Com as propriedades que temos até agora, esse é o máximo de informação que conseguiremos! Agora introduzamos a propriedade 4:

Propriedade 4: raios perpendiculares

Temos dois raios perpendiculares que convergem nos pontos $P$ e $Q$ no plano focal

Exitem dois raios que passam pelo centro óptico e cruzam os pontos $P$ e $Q$ e eles são perpendiculares por serem paralelos cada um a algum dos raios originais (propriedade 3)

 

Analisando o triângulo formado entre o centro óptico e os pontos $P$ e $Q$ vemos que se inscrevemos ele numa circunferência, $PQ$ será o diâmetro, pois o triângulo é retângulo e $PQ$ é a hipotenusa.

 

Portanto, se pegarmos os pontos que dois raios originalmente perpendiculares cruzam o plano focal e traçarmos uma circunferência cuja reta que liga os pontos é o diâmetro, o centro óptico pertencerá à circunferência. (Essa é a propriedade 4, ela é um pouco mais complexa que as outras, então, caso não entenda, releia a explicação)

Utilizaremos a propriedade 4 no nosso problema para determinar o centro óptico e, consequentemente, a posição da lente. Perceba que os pontos $P_1$ e $P_2$ representam também os pontos de intersecção de dois raios originalmente perpendiculares com o plano focal ($AB$ e $BC$ ou $AD$ e $CD$) então podemos traçar a circunferência da propriedade 4:

 

O centro óptico deve estar em algum lugar da circunferência $c_1$. Precisamos, então, encontrar outra circunferência analisando outros raios perpendiculares. Note que os raios $AC$ e $BD$ são originalmente perpendiculares:

Então as intersecções de $A'C'$ e $B'D'$ com o plano focal obedecem à propriedade 4:

Perceba que o centro óptico também deve pertencer à circunferência $c_2$. Já que ele pertence às duas circunferências, ele deve ser o ponto $P_5$:

 

Já que a lente passa pelo centro óptico e é paralela ao plano focal, encontramos, agora, a posição da lente:

 

Para encontrarmos tudo que foi pedido precisamos encontrar o eixo óptico,, a reta que passa pelo centro óptico perpendicularmente à lente:

Essa é a resposta do problema! Ainda é possível, com auxílio da construção, encontrar a real posição do objeto, faremos isso na próxima questão.

Problema 5

Para armazenar alimento, as abelhas criam estruturas com formatos hexagonais chamadas favos.

Um apicultor observando as abelhas ficou fascinado com os hexágonos e percebeu que ao colocar a lente dos seus óculos próxima a um favo hexagonal $ABCDEF$ a seguinte imagem foi formada. Encontre por meio de construções geométricas a posição do favo, do centro óptico e do plano focal da lente do apicultor. Considere que a lente é delgada, ideal e tanto a lente quanto o hexágono estão no mesmo plano da imagem.

Favo deformado

Resolução:  

Analisaremos um hexágono regular $ABCDEF$

A primeira ideia que usaremos é que se um raio sai de $A$ e passa por $B$ passará por $A'$ e $B'$ (Propriedade 1). Sabemos que os lados $AB$ e $ED$ são paralelos, portanto ao passar pela lente os raios ${AB}$ e ${ED}$ se cruzam no plano focal (propriedade 3).

Então o ponto de encontro dos raios ${A'B'}$ e ${E'F'}$, $P_1$, pertence ao plano focal.

Analogamente, como os raios ${E'F'}$ e ${B'C'}$ são originalmente paralelos o ponto $P_2$ também pertence ao plano focal. Com isso conseguimos determinar a posição do plano focal na figura.

Utilizaremos a propriedade 4, apresentada no último problema para achar as demais partes da lente, assim, os raios ${A'C'}$ e ${C'D'}$ são originalmente perpendiculares, portanto podemos achar os pontos que eles cruzam o plano focal e utilizar a propriedade.

Concluímos que o centro óptico pertence à circunferência $C_1$. Fazendo o mesmo para os raios ${A'D'}$ e ${C'E'}$ temos:

Então concluímos que o centro óptico pertence tanto à circunferência $C_1$ tanto a $C_2$. Ou seja, o ponto $Q$ é o centro óptico. Achamos assim o centro óptico, a posição da lente, o foco e o plano focal.

Para achar o objeto de um dos pontos usaremos dois raios: um que passa pelo foco e volta paralelo ao eixo óptico (propriedade 3) e outro que passa pelo centro óptico sem desvio (propriedade 2).

Repetindo o processo para todos os pontos, chegamos em

 

Problema 6

(Physics Cup-2017)

A elipse mostrada na figura é a imagem real de uma circunferência formada por uma lente delgada e ideal. O ponto indicado na figura é uma imagem do centro da circunferência. A lente e a elipse pertencem ao mesmo plano. Determine a posição e a orientação da lente.

Quase um círculo

Resolução:

Aqui, o processo será análogo ao problema 4, precisaremos utilizar as propriedades 3 e 4. A primeira ideia que teremos aqui é a seguinte: se um raio é tangente ao círculo original ele também será tangente à elipse, já que para ele passar por um ponto na imagem precisa passar pelo objeto (propriedade 1), se ele só passa por um ponto no objeto só passará por um ponto na imagem, assim, tangencia.

Nessa questão, as informações dadas são

"A elipse mostrada na figura é a imagem real de uma circunferência…"

e

" O ponto indicado na figura é uma imagem do centro da circunferência."

Precisaremos utilizar essas informações. Pensando na circunferência de origem, quando traçamos uma reta que passa pelo centro, encontramos duas retas que são paralelas: as retas tangentes. (Veja abaixo)

Na elipse, esses raios devem se parecer com:

Supondo que $A'$ e $B'$ sejam as imagens de $A$ e $B$, respectivamente. Nesse caso, como os raios são originalmente paralelos, $P_1$ deve pertencer ao PF. Analogamente, fazendo o mesmo processo para outros dois pontos

Assim, determinamos a posição do PF:

Agora, precisamos pensar em raios perpendiculares para utilizarmos a propriedade 4. Um par de raios perpendiculares que conhecemos é o raio $AB$ e o tangente aos círculos, então ao pegar a intersecção do raio $A'B'$ com o PF e o ponto $P_1$ esses devem obedecer à propriedade 4.

 

O centro óptico deve pertencer à $c_1$. Analogamente, Para $C$ e $D$:

Já que o centro ópticopertence à $c_2$ e $c_1$, nos achamo-lo. E, consequentemente, encontramos a lente.

 

Problema 7

(Open Estonian-Finnish Olympiad in Physics 2015)

A seguinte fotografia mostra duas bolas que foram lançadas simultaneamente com a mesma velocidade, mas em diferentes direções do ponto $P$. Qual é essa velocidade? Use $g=9,8 m/s^2$ e observe a escala fornecida.

 

Lançamentos

Resolução:

Aqui resolveremos uma questão que envolve construção, porem não é em óptica. A ideia é a mesma, precisamos utilizar a figura para arrancar todas as informações. Consideremos o processo em um referencial em queda livre, então, ambas as bolas se moverão com velocidades constantes. As velocidades são iguais, mas as direções são diferentes. Portanto, para qualquer momento no tempo, elas estão a uma distância igual do ponto de lançamento $Q$. Assim, o ponto $Q$ pode ser encontrado como o ponto de interseção da mediatriz do segmento $AB$ (que conecta as bolas) e da linha vertical traçada a partir do ponto $P$.

No referencial do laboratório, no entanto, o ponto $Q$ é um ponto em queda livre e, no tempo t, percorreu a distância $|PQ| = \dfrac{gt^2}{2}$.

Usando a escala fornecida, encontramos a partir da figura que $|PQ| \approx 8,6\,\rm{m}$, portanto, $t = \sqrt{\dfrac{2|PQ|}{g}} \approx 1,3\,\rm{s}$.

Portanto, a velocidade de lançamento $v = \dfrac{|AQ|}{t} \approx 20\,\rm{m}/\rm{s}$; aqui, usamos a leitura da figura, $|AQ| \approx 26\,\rm{m}$.

Problema 8

Na figura abaixo, há uma foto de um jato de água fluindo de um tubo horizontal e uma grade de coordenadas, sendo a menor unidade da grade igual ao diâmetro do jato de água em sua altura inicial. Um copo medidor com volume $V = 150 \,\rm{cm}^3$ está posicionado abaixo do jato, que está fluindo com velocidade uniforme. Leva $t = 5\,\rm{minutos}$ para o copo encher completamente. Encontre o diâmetro interno do tubo.

 

Resolução:

Observemos uma parte da água saindo do tubo como um corpo em queda livre com uma velocidade inicial $v$ dirigida horizontalmente. A distância horizontal da parte aumenta linearmente no tempo $s = vt$, mas a vertical é dada por $h = \dfrac{gt^2}{2}$. Assim, $h\sim s^2$ e a forma do jato de água é descrita matematicamente pela equação da parábola $y = kx^2$, onde $x$ e $y$ são as coordenadas do jato de água nas unidades do sistema de coordenadas da figura (escolhemos a origem no canto superior esquerdo, com o eixo $x$ dirigido para a direita e o eixo $y$ para baixo). Para determinar a constante de proporcionalidade $k$ com a ajuda da figura, escolhemos alguns pontos $(x, y)$ com coordenadas inteiras pelos quais o jato passa, por exemplo, $(19,5)$, $(24,8)$ e $(34,16)$. Calculando a razão $\dfrac{x^2}{y}$ para cada ponto, encontramos que $k = 0,014$. Considerando em seguida que uma unidade do referencial é igual ao comprimento físico $d$ (o diâmetro do jato que assumimos ser igual ao diâmetro interno do tubo), podemos transformar as distâncias $s$ e $h$ nas unidades do referencial:

$x=\dfrac{s}{d}=\dfrac{vt}{d}$  e  $y=\dfrac{h}{d}=\dfrac{gt^2}{2d}=\dfrac{gd}{2v^2}x^2$

Onde podemos encontrar uma equação que inclua tanto a velocidade quanto o diâmetro.

$k=\dfrac{gd}{2v^2}$

Logo,

$\dfrac{v^2}{d}=\dfrac{g}{2k}$

O volume de água que passa pelo tubo durante o tempo $t$ é dado por $Svt$, onde $S$ é a área interna do tubo. A partir disso, obtemos uma segunda equação que inclui a velocidade e o diâmetro.

$V=\dfrac{\pi d^2}{4}vt$

Então,

$vd^2=\dfrac{4V}{\pi t}$

Elevando essa equação ao quadrado e dividindo pela outra que encontramos a velocidade cancela e encontramos:

$d^5=\dfrac{32V^2k}{\pi^2t^2g}$

Portanto,

$d=\left(\dfrac{32V^2k}{\pi^2t^2g}\right)^{1/5}$

$d=1\,\rm{mm}$

Problemas sugeridos

Problema 1

(Russia 2008)

Existe um rumor que as anotações do Snell tem um desenho de um sistema óptico. A tinta sumiu e apenas sobraram rabiscos de uma lente convergente, um objeto e sua imagem real, todos eles são paralelos. Pelos comentários feitos por Snell fica claro que existe um espelho plano atrás da lente. Usando o desenho, reconstrua o espelho e determine o foco da lente.

Rabiscos de Snell

Problema 2

(Seletiva Brasileira-2018)

A figura mostra um objeto em forma de elipse com focos $F_1$ e $F_2$ posicionado em um plano que contém o eixo ópticoo de uma lente convergente. Considere ele como sendo translúcido ou com uma leve inclinação acima do plano indicado, o que permite que da superfície toda iluminada tenha raios saindo que atingem a lente e, portanto, formam a figura indicada como imagem. Temos indicado o centro da lente, mas não sua posição angular em volta dele, nem a distância focal.

a) Trace linhas na figura para determinar ao plano que contém a lente. Indique-o com um segmento.

b) Indique o ponto focal imagem da lente, ou seja, o ponto onde raios paralelos ao eixo óptico que viessem do infinito devem se encontrar.

 

Ibagens

Problema 3

Um graveto foi lançado e filmado com uma câmera. Três frames equidistantes (isto é, o tempo entre sucessivos frames é o mesmo) foram sobrepostos na mesma figura. Assuma que o ângulo de rotação do graveto entre o primeiro e último frame é menor que $2\pi$, e o eixo de rotação do graveto é perpendicular ao eixo óptico da câmera. O comprimento do graveto é $L=1m$. Qual o intervalo de tempo entre o primeiro e o último frame e qual é a distância entre o centro de massa do graveto e sua ponta mais grossa? A aceleração da gravidade vale $g=9,8m/{s^2}$.

Problema 4

(NBPhO-2018) 

Enquanto, em casos genéricos, a dinâmica de três corpos interagindo gravitacionalmente é complicada e caótica, existem casos especiais nos quais a dinâmica é regular. Em particular, há casos em que os corpos realizam movimento periódico. O caso mais simples desse movimento periódico ocorre quando os três corpos, posicionados nos vértices de um triângulo equilátero, giram como um corpo rígido. A seguir, consideramos um movimento periódico mais complicado.

Relativamente recentemente, foi descoberto que três massas pontuais iguais podem se mover periodicamente ao longo de uma trajetória em forma de 8 comum, conforme mostrado na figura (a seta indica a direção do movimento). Esta figura é baseada em uma simulação por computador e tem uma forma correta. Se necessário, você pode medir distâncias a partir da versão ampliada da figura (em uma folha separada) usando uma régua.

Vamos enumerar os três corpos com os números $1$, $2$ e $3$, de acordo com a ordem em que passam pelo ponto mais à esquerda P, conforme mostrado na figura. Sejam $O_2$ e $O_3$ as posições dos corpos $2$ e $3$, respectivamente, no momento em que o corpo 1 está passando pelo ponto médio $O$. Da mesma forma, sejam $P_2$ e $P_3$ as posições dos corpos $2$ e $3$, respectivamente, no momento em que o corpo 1 está passando pelo ponto mais à esquerda $P$. Seja $T$ o período completo de movimento de cada um dos corpos ao longo desta trajetória em forma de 8.

a) Expresse os seguintes tempos de percurso para um dos corpos: (a) de $O_2$ para $O$; (b) de $O_3$ para $P_2$.

b) Sejam $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ e $\vec{v}_3$ as velocidades dos três corpos em determinado momento. Escreva uma igualdade relacionando esses três vetores entre si.

c) Prove que o momento angular total deste sistema é zero.

d) Construa as posições dos pontos $O_2$ e $O_3$ (use a figura na folha separada). Justifique sua construção.

e) Construa as posições dos pontos $P_2$ e $P_3$ (use a figura na folha separada). Encontre duas maneiras independentes de construção e justifique seus métodos.

f) Encontre a razão entre a velocidade dos corpos no ponto $O$ e a velocidade no ponto $P$.