01-Transporte:
Demonstre que, definindo um vetor velocidade $$\vec{v}$$ para uma quantia infitesimal de fluido em cada ponto do espaço, no qual a massa total dele se conserva, vale a relação para evolução temporal de sua densidade:
$$\frac{D\rho}{Dt}=-\rho(\nabla \cdot \vec{v})$$
Onde:
$$\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+(\vec{v} \cdot \nabla)$$
Qual a condição que o escoamento de um fluido deve satisfazer, para ser incompressível?
02-Fluido Incompressíveis:
Figura 01: Superfície envoltória das linhas de velocidade
Definindo como linha de velocidade a linha que é gerada sendo tangente ao vetor velocidade do fluido num ponto qualquer, mostre que a linha velocidade num líquido incompressível nunca pode terminar dentro dele, a não ser que a velocidade seja nula em todo ponto, a linha termine fora do fluido ou forme loops fechados.
03-Vorticidade:
Definindo como vorticidade a quantidade:
$$\vec{\omega}=\nabla \times \vec{v}$$
Definindo linha de vorticidade a linha gerada sendo tangente ao vetor vorticidade do fluido num ponto qualquer, mostre que a linha de vorticidade não termina em nenhum ponto do fluido, a não ser que a vorticidade seja nula em todos os pontos, a linha termine fora do fluido ou forme loops fechados.
04-Energia se Conserva às vezes:
Tomando uma superfície gerada pelas linhas de velocidade de um fluido, mostre que nela, se desconsideramos trabalho de forças dissipativas ou condução de calor:
$$\frac{P}{\rho}+\tau=cte$$
Sendo $$\tau$$ a energia por massa do fluido, $$p$$ sua pressão e $$\rho$$ sua densidade.
05-Mas Nem sempre:
Prove que num escoamento unidimensional, com secção tranversal constante e $$p$$ e $$v$$ homogêneos, vale que:
$$\rho v^2+p=cte$$
Como seria uma generalização desse resultado para um $$p$$, $$v$$ e $$S$$ não homogêneos?
06-Navier Stokes:
Nessa questão iremos conseguir deduzir as equações de Navier Stokes, que descrevem um fluxo genérico de fluido.
a) Escreva a quantia de massa saindo duma superfície $$S$$, de volume $$V$$ em função duma integral no volume, operadores diferenciais, e parâmetros do fluido $$\rho$$ e $$\vec{v}$$, que você poderá usar de agora em diante.
b) Escreva a taxa de variação de massa dentro desse volume $$V$$ em função duma integral de volume e operadores diferenciais
c) Escreva, numa forma diferencial, a condição para conservação local de massa.
d) Escreva o fluxo de momento na direção $$i$$ saindo de uma superfície fechada em função duma integral apropriada sobre a superfície, você pode usar a notação de Einstein, em que:
$$a_{i}b_{i}=\sum_{i=1}^{3} a_{i} b_{i}$$
A resposta deve ficar em função da densidade e componentes da velocidade e vetores área relevantes.
e) Escreva em função de integrais e componentes de velocidade apropriados a taxa de variação de momento dentro dessa superfície.
f) Escreva, por meio dos resultados anteriores, o momento gerado nessa superfície devido à influência de forças externas.
g) A força exercida no sistema pode ser gerada por duas maneiras diferentes, por interações no volume ou entre superfícies, podemos escrever em geral:
$$F_{i}=\int f_{i} dV +\int \sigma_{ij} dS_{j}$$
Escreva, então, a segunda lei de newton do sistema na forma diferencial (em termo dos i’s)
h) Pode-se mostrar que para que exista isotropia do espaço, devemos ter:
$$\sigma_{ij}=-p\delta_{ij}+\mu(\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}})$$
Mostre então, que vale, a equação de Navier-Stokes para conservação de momento:
$$\rho\frac{D\vec{v}}{Dt}=\vec{f}-\nabla p+\mu(\nabla^{2}\vec{v}+\frac{1}{3}\nabla(\nabla \cdot \vec{v}))$$
i) Para o caso de um fluido incompressível, simplifique a equação
j) Calcule para o caso incompressível a equação diferencial que rege a evolução da vorticidade no tempo, se a vorticidade é zero num tempo $$t$$, ela pode passar a ser não zero depois? Quais as condições pra isso ser possível ou não?
k) Para o fluido incompressível, sem viscosidade e irrotacional, mostre que, tomando:
$$f=-\nabla \psi$$
$$v=-\nabla \phi$$
Temos:
$$p+\psi+\frac{\rho v^2}{2}-\rho \frac{\partial \phi}{\partial t}=cte$$
E no caso estacionário, temos a equação de Bernoulli com todas as linhas de velocidade com a mesma constante:
$$p+\psi+\frac{\rho v^2}{2}=cte$$
07-Equilíbrio mecânico:
Um recipiente de volume V inicialmente a vácuo está fechado numa atmosfera de pressão $$p$$ e temperatura $$T_{o}$$, após isso é feito um pequeno furo nele por meio do qual a atmosfera entra lentamente. Após isso o sistema vai entrar em dois equilíbrios relevantes, sendo que um acontece bem antes do outro. Qual equilíbrio acontece primeiro, provavelmente, e qual será a temperatura nele?
Dados: $$\gamma$$, Coeficiente de Poisson do gás
08-Escoamento Inclinado:
Um jato d’água atinge uma superfície lisa e daí se se separa em dois jatos diferentes, um se movendo pra direita e uma pra esquerda. Sendo o ângulo que o jato faz com x igual a $$\alpha$$, encontre a razão da vazão de água dos dois jatos, e a razão de suas velocidades.
Figura 02: Jato se espalhando em dois de diferentes áreas
09-Barra Pesada:
Uma barra está se movendo na água com velocidade $$v$$ em relação à sua normal, com base nisso e sabendo que ela faz um ângulo $$\alpha$$ com o eixo y, encontre a velocidade $$u$$ da água subindo ao longo da barra.
Figura 03: Barra descendo contra o líquido e forçando fluxo.
10-Cachimbo da Paz:
Supondo que você está fumando um cachimbo, tal que a temperatura do gás que sai dele, cuja massa molar vale $$\mu$$ e coeficiente de Poisson $$\gamma$$, é praticamente constante e igual a um $$T_{o}$$. Sendo a temperatura da atmosfera $$T$$ e a fumaça muito má condutora de calor com o meio externo, ache a altura máxima de subida da coluna de gás sabendo que a gravidade vale $$g$$.
11-Tensão Superficial:
Nos materiais existem energias relacionadas às interações intermoleculares entre seus diversos constituintes, contudo há uma assimetria nos contornos deles devido a falta de continuidade do material. Essa assimetria gera um defeito de energia, que seria de ligação portanto negativo, gerando então uma energia positiva. Essa energia associada a superfície deve ser proporcional ao número de moléculas nela presente, em geral da área, e pode depender de outros parâmetros do material, essa energia será nossa tensão superficial, que chamaremos de:
$$E=\sigma A$$
Onde $$\sigma$$ é o coeficiente de tensão superficial do material e $$A$$ é sua área de superfície, pela relação de proporção que dissemos que deveria existir.
a) Considerando um filme de sabão retangular de comprimento L, e certa largura, qual a força que você deve exercer para segurar o sabão?
b) Qual a diferença de pressão entre a parte interna e externa de uma bolha?
c) Ache a diferença de pressão na interface de uma bolha quando ela tem dois raios de curvatura principais na superfície, $$R_{1}$$ e $$R_{2}$$.
12-Canudinho:
Num canudo de diâmetro $$d$$ uma bolha em sua ponta está na eminência de cair, calcule qual seu raio. Considere que o diâmetro do canudo é muito menor que o comprimento de capilaridade do material (uma combinação das variáveis do corpo com a gravidade)
Dados: $$\sigma$$ é o coeficiente de tensão superfícial e $$g$$ a gravidade.
13-Filme:
Supondo que você quer gravar um filme de água que preenche um anel sendo despedaçado. Estime o timing necessário para você conseguir registrar a filmagem, tendo o filme uma espessura $$h$$, o anel um diâmetro $$D$$ e a água um coeficiente de tensão superficial e densidade, respectivamente, $$\sigma$$ e $$\rho$$.
Dados: $$\sigma=0.025 \frac{N}{m}$$; $$D=10cm$$; $$h=1\mu m$$
14-Bolhas Grudentas:
Se você tem duas bolhas de mesmo material, uma com raio $$R$$ e outra com raio $$r$$ unidas por meio de uma interface, encontre o raio de curvatura dessa interface e o raio do perímetro circular disso.
15-Duas placas:
Suponha que você tem duas placas de vidro, tal que a área molhada delas tem área $$A$$ e o ângulo de contato da água é $$\theta$$, encontre a força de atração entre as placas em função de sua distância $$d$$ e coeficiente de tensão superficial da água $$\sigma$$
16-Ângulo de contato:
Supondo que nós temos um líquido em contato com um sólido, estado todo esse sistema cercado por gás. O sistema vai ter uma energia de tensão superficial em cada interface de separação das fases, e vai existir um estado em que essa energia vai ser minimizada, portanto o estado de equilíbrio. Encontre, com isso, a relação que vale em transformações espontâneas da área de contato no sólido:
$$\sigma_{ls}+\sigma_{lg}cos\alpha \geq \sigma_{sg}$$
Onde no equilíbrio ocorre a igualdade. Para alguns valores dos coeficientes o líquido tende a ficar no máximo de contato possível com o sólido, podendo até subir pelas paredes de alguns, que é bem visto em superfluidos, o que deve valer sobre os coeficiente pra que isso ocorra?