Escrito por Paulo Henrique
Questão 1 (exclusiva para alunos da 1ª série)
Considere $$N$$ esferas de massas idênticas $$m$$ suspensas em equilíbrio na vertical e ligadas por $$N-1$$ molas idênticas de constante elástica $$k$$. A esfera mais acima é presa ao teto por um fio. Em certo instante, o fio é cortado.
Se a gravidade local é $$g$$, encontre:
a) A tração no fio antes do corte
b) A aceleração da primeira massa, imediatamente após o rompimento do fio.
Questão 2 (exclusiva para alunos da 1ª série)
Um bloco mágico de massa $$m$$ é colocado em um plano inclinado de ângulo $$\alpha$$ com a horizontal. A gravidade local vale $$g$$. (veja figura abaixo).
Esse bloco sente uma força do éter, um reino místico. Essa força atua no plano do movimento e é sempre perpendicular a sua velocidade instantânea, seu módulo é
\[f=m{\lambda}v\]
Onde $$v$$ é a velocidade instantânea do bloco. Sabe-se que o bloco se move com velocidade constante. Determine sua velocidade. Considere que haja atrito entre o bloco e a superfície do plano inclinado (coeficiente de atrito cinético $$\mu$$).
Questão 3 (exclusiva para alunos da 1ª série)
Um estudante de física usa um pêndulo simples como cronômetro em sua aula de Física experimental. De acordo com o período do pêndulo, ele consegue saber o tempo decorrido. É sabido que o pêndulo é formado por um fio de aço de coeficiente de dilatação linear $$\alpha=1,1.10^{-5} K^{-1}$$ e que ele atua no regime de pequenas oscilações.
No final da aula, o estudante percebeu uma variação relativa no período do pêndulo de $$0,01\%$$, isto é: $$\dfrac{\Delta{T}}{T}=0,01\%$$, onde $$T$$ é o período no ínicio da aula. Determine a variação da temperatura da sala na qual ele estava. Obs: Considere que a variação relativa no comprimento do fio do pêndulo muito pequena, ou seja: $$\dfrac{\Delta{l}}{l}\ll{1}$$. Use a aproximação: $${(1+x)}^{\beta}\approx{1+{\beta}x}$$, quando $$x\ll{1}$$.
Questão 4 (exclusiva para alunos da 1ª série)
Dois carros estão inicialmente a uma distância $$L_0=10$$ $$m$$. Os carros podem ser tratados como pontos materiais. O primeiro carro começa a perseguir o segundo com velocidade constante $$v_1=8 m/s$$. Percebendo isso, o segundo carro, inicialmente em repouso, começa a acelerar uniformemente como uma tentativa de fuga. Qual é a aceleração mínima que o segundo carro deve ter a fim de fugir do primeiro? O problema é unidimensional.
Questão 5
Esse problema trata de colisões bidimensionais elásticas entre corpos pontuais.
a) Considere duas bolas de sinuca de massas iguais a $$m$$. Uma das bolas se aproxima da outra, que está estacionária, com velocidade $$V_0$$. Após a colisão, as bolas irão adquirir velocidades $$V_1$$ e $$V_2$$. Mostre que
\[\vec{V_1}\cdot{\vec{V_2}}=0\]
Ou seja, as bolinhas formam um ângulo reto após a colisão ou a colisão é unidimensional.
b) Em qual coleção de pontos a bola estacionária pode ser posicionada tal que seria possível a situação na qual as duas bolas caem em dois (diferentes) buracos da mesa após a tacada. Desconsidere a rotação das bolas.
Questão 6
Uma barra de massa $$M$$ uniformemente distribuída ao longo do seu comprimento é colocada livre no espaço. Um impulso $$J$$ perpendicular é aplicado a barra a uma distância $$x$$ do centro de massa da barra (nesse caso, o C.M. coincide com o centro geométrico da barra). Calcule a velocidade adquirida pela barra. Qual o ponto da barra que tem velocidade nula? Use $$I=\dfrac{ML^2}{12}$$ como o momento de inércia da barra em relação ao seu centro.
Questão 7
Mede-se a velocidade $$v$$ de propagação de ondas transversais num fio com uma extremidade presa a uma parede, que é mantido esticado pelo peso de um bloco suspenso da outra extremidade através da polia. Depois (veja a figura abaixo), mergulha-se o bloco na água até os $$2/3$$ da altura e verifica-se que a velocidade de propagação cai para $$50\%$$ da anterior. Qual a densidade do bloco? Dado: densidade da água $$\rho=1 kg/l$$.
Questão 8
Num planeta distante, cientistas locais fizeram um grande experimento para testar seus conhecimentos de gravitação e cinemática. Como mostra a figura abaixo, uma cavidade esférica foi escavada do planeta, que tem raio $$R$$ e massa $$M$$ (Quando não possui furo) uniformemente distribuída. O raio da cavidade é $$R/2$$, e está a uma distância $$R/2$$ do centro da esfera maior.
a) Considere um ponto $$P$$ dentro da cavidade, distando $$r$$ da origem e fazendo um ângulo $$\theta$$ com a direção vertical. O princípio da superposição nos diz que o campo gravitacional de uma distribuição de massa pode ser calculado como a soma vetorial dos campos que seriam gerados se cada parte (fica a critério do físico escolher como dividir o sistema em “partes”) da distribuição estivesse atuando sozinho, sem a presença das outras partes. Sendo assim, na presente questão, pode-se dizer que o campo gravitacional no ponto $$P$$ é igual ao campo gerado pela esfera maior totalmente preenchida somado (vetorialmente) com o campo gerado por uma distribuição de massa negativa distribuída uniformemente na região da cavidade. De fato, a “soma” dessas configurações (esfera totalmente preenchida+cavidade com massa negativa) gera a verdadeira distribuição. Calcule o campo gravitacional no ponto $$P$$.
b) Após calcular o campo gravitacional, os cientistas colocaram um feixe de pequenas esferas (consideradas pontuais) na origem. O feixe lança-as com velocidade $$V$$ em todas as direções. Calcule a máxima distância $$x$$ que uma das pequenas esferas podem chegar quando atingirem a superfície interna da cavidade. Admita que a velocidade $$V$$ não é suficiente para que as esferas atinjam o outro lado da cavidade (na superfície da esfera maior).
Questão 9
Uma pequena quantidade de água de massa $$m=50$$ $$g$$ num contêiner a temperatura $$T=273$$ $$K$$ é colocado dentro de uma câmara à vácuo que é evacuada rapidamente. Como resultado, parte da água se solidifica e o resto vira vapor.
a) Qual a quantidade de água se transforma em gelo? O calor latente de fusão da água é $$Q_f=80 cal/g$$, e o calor latente de vaporização é $$Q_v=600 cal/g$$
b) Um pedaço de uma liga metálica de massa $$M=325 g$$ e volume inicial $$V=48 (cm)^3$$ é colocado dentro do calorímetro junto do gelo obtido no item anterior. A densidade do metal a $$T=273$$ $$K$$ é $${\rho}_0=6,8$$ $$g/{(cm)^3}$$. A capacidade térmica é $$C=0,12$$ $$cal/g.K$$, e o coeficiente linear de expansão $$\alpha=1,1.10^{-5} K^{-1}$$. Quanto gelo terá derretido quando o equilíbrio for atingido?
Questão 10
Durante uma obra de um prédio, os operários em cima do prédio de altura $$h$$ descobrem que o elevador está com defeito. Por sorte, havia um engenheiro com eles, que sugere uma forma deles descerem no elevador. Ele sugere o uso de um dispositivo de frenagem que funciona mediante uma maquina térmica improvisada. A mesma realizará um trabalho no elevador (no qual os operários descerão) tal que o conjunto operários+engenheiro (massa motal $$m$$) chegue ao solo em repouso. A maquina térmica funciona entre duas fontes não ideais: suas temperaturas variam durante o processo. A fonte quente (temperatura inicial $$T_1$$) e a fonte fria (temperatura inicial $$T_2<T_1$$) possuem capacidades térmicas respectivamente iguais a $${\gamma}T$$ e $${\chi}T$$, ou seja, elas variam e são proporcionais a temperatura instantâneas das fontes. A maquina deixa de funcionar quando as fontes atingem o equilíbrio térmico (como deveria mesmo ser, de acordo com a segunda lei da Termodinâmica). A temperatura final das fontes é $$T_F$$.
a) Como a capacidade térmica das fontes variam, o cálculo do calor trocado durante o processo requer cálculo diferencial. Por isso, use o resultado
\[\Delta{Q}=\dfrac{K({T_F}^2-{T_0}^2)}{2}\]
Onde $$K$$ é o fator de proporcionalidade da capacidade térmica dos corpos ($$\gamma$$ para a fonte fria e $$\chi$$ para a fonte quente) e $$T_0$$ é a temperatura inicial da fonte em questão. Dado o balanço de energia da maquina térmica, calcule o trabalho realizado $$W$$ em função de $$T_1$$, $$T_2$$, $$T_F$$, $$\gamma$$ e $$\chi$$.
b) Considerando que a máquina térmica tenha rendimento de Carnot, calcule a temperatura $$T_1$$. Use $$\gamma$$ e $$\chi$$. Dê sua resposta em função de $$T_2$$, $$T_F$$, $$\gamma$$ e $$\chi$$.
c) Levando em conta que o conjunto de massa $$m$$ é solto do repouso, calcule a aceleração da gravidade máxima da Terra para que ainda seja possível eles descerem em segurança. Despreze qualquer tipo de atrito e admita que todo trabalho realizado (pela substância de trabalho na maquina térmica) seja efetivamente utilizado durante a descida do elevador. De sua resposta como função de $$m$$, $$h$$, $$T_2$$, $$T_F$$, $$\gamma$$ e $$\chi$$.
Questão 11
Um diamante é polido no formato de uma esfera de raio $$r$$. O diamante é posto ao lado de uma fonte luminosa pontual $$S$$. A superfície mais distante da fonte luminosa foi recoberta com prata (superfície refletora). Determine a que distância da esfera deve se localizar a fonte pontual de luz $$S$$ para que se forme uma imagem coincidente com a fonte. O índice de refração do diamante vale $$n=2,4$$ e o raio da esfera vale $$r=1 cm$$. Considere a aproximação paraxial.
Questão 12
Um laço circular de raio $$R$$ é feito de um fio perfeitamente elástico e está girando com velocidade angular $$\Omega$$ constante em uma mesa horizontal lisa. O eixo de rotação é vertical passando pelo centro.
Um pequeno impulso radial dado ao loop em um ponto $$P$$ da mesa faz com que o pulso transversal se propague nele. Mostre que o menor tempo em que o pulso voltará ao seu ponto de origem na mesa é
\[{\Delta{t}}{min}=\dfrac{\pi}{\Omega}\]