Noções básicas de cálculo

O cálculo é a parte da matemática que se preocupa com o comportamento e movimento de grandezas contínuas. O domínio dos conceitos de derivada, integral e operador nabla é fundamental na física. Na IYPT, ao passo que os problemas envolvem matérias incomuns para o Ensino Médio, o contato prévio com o cálculo auxilia no desenvolvimento de intuições matemáticas e físicas.

Esse curso introdutório ao cálculo visa explicar o significado geométrico dos principais conceitos de cálculo, além de ensinar o básico de como podemos utilizá-los. Iremos começar com derivadas e integrais. Depois, mostraremos noções de derivadas parciais, produtos entre vetores e operador nabla serão abordadas para, no fim, retratarmos gradientes, divergentes e rotacionais. Sugestões de materiais para o aprofundamento se encontram nas referências!

Derivada

Para compreendermos o que é uma derivada, imagine que nós quiséssemos calcular a velocidade instantânea de um deslocamento (s) de um corpo ao longo do tempo (t), tal como mostra o gráfico abaixo. Ao contrário de uma função linear, em que o coeficiente angular de qualquer intervalo nos dá a velocidade, o formato curvo da função a seguir não permite que esse mesmo processo seja feito. Por isso, podemos tomar uma porção muito pequena ou “infinitesimal” de t, chamada dt, de forma que ao ampliarmos o pedaço, esse se aproxima de uma reta (figura à direita). Agora, a divisão ds/dt nos dá uma velocidade instantânea bem acurada. Nesse processo, acabamos de derivar o deslocamento em relação à velocidade.

Derivada é, em sua definição, a taxa de variação instantânea de uma função em relação a sua variável. Por esse motivo, ela também é vista como a inclinação da reta tangente a um ponto.

$f’ = \frac{df}{dx}$

Caso uma função for descontínua (pontos vazios) ou apresentar “bicos” (exemplo: módulo de x), ela não é derivável. Contudo, na física, a maioria das funções são deriváveis, e podemos até derivar várias vezes. No nosso exemplo, a velocidade é a primeira derivada do deslocamento, e a aceleração seria sua segunda derivada.

Há algumas regras de derivações que valem a pena serem memorizadas para diferentes tipos de funções:

Integral

A integral é basicamente a área abaixo de uma curva. Veja a figura abaixo e imagine que nós tivéssemos que calcular a área abaixo da função no intervalo entre a e b. Para que isso seja feito, dado o formato curvo, podemos dividir a área total em pequenos retângulos, até que o conjunto aproxime-se o máximo possível do formato original

Assim, a integral é a soma de todas as áreas dos retângulos de base dx e altura o próprio valor da função, ou seja, f(x). Para os extremos a e b, ela pode ser representada dessa forma:

$\int_{a}^{b} f(x) \,dx$

O cálculo da integral de funções pode ser feito a partir do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), que diz que a integração e a derivação são processos inversos.

A antiderivada de $f(x)$ (queremos integrá-la) é uma outra função $F(x)$ cuja derivada é $f(x)$, e ela pode ser encontrada mentalmente por esse pensamento: Qual função que, ao derivá-la, resulta nessa minha função?

Segundo o TFC, para calcularmos a integral de uma função entre a e b, podemos fazer a diferença entre sua antiderivada (função primitiva) nos valores limites b e a:

$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b)-F(a)$

Dessa forma, como a velocidade é a derivada do deslocamento, então a integral da velocidade é, de acordo com o TFC, o deslocamento. Além disso, na física, a integral é utilizada para encontrar trabalho, volumes, campos elétricos, etc.

Derivada parcial

A derivada parcial é aplicada em funções que possuem várias variáveis. Para aplicá-la, usamos as mesmas propriedades de derivada comuns vistas anteriormente. Contudo, a derivada parcial deriva a função em relação a apenas uma das variáveis, tratando as outras como constantes. Por exemplo:

$ f(x,y) = 2x^3 + y^2$

Então, a derivada parcial em relação a x é:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6x^2$,

que é a taxa de variação instantânea da função apenas em relação a x. Desse modo, a variação de um “infinitesimal” df em relação a um “infinitesimal” dx é equivalente a $6x^2$. Além disso, o mesmo vale para a derivada parcial em relação a y:

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y$

Em contextos de IYPT, é muito comum encontrarmos equações de derivadas parciais, como a equação de onda, equação de difusão térmica ou equação de Laplace. Normalmente, são funções que variam no espaço e no tempo: algum $f(x, t)$.

Por exemplo, vejamos um uso da equação de difusão térmica: imagine uma barra de só uma dimensão x, porém diversos valores de temperatura ao longo dela. Conforme o tempo passa, a temperatura nesses pontos variam até alcançarem uma temperatura de equilíbrio. Assim, podemos representar a equação de difusão térmica como:

$\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$

Por meio dessa equação, percebemos que a taxa de variação instantânea da temperatura em relação ao tempo é maior em pontos extremos (máximos e mínimos), onde a segunda derivada de T em relação a x (variação da inclinação da reta tangente a esse pontos em relação a dx) é maior. Fisicamente, isso nos diz que a temperatura muda mais rapidamente em pontos que possuem temperaturas muito altas ou baixas quando comparadas aos pontos ao seus redores.

Operações com vetores

Antes de explorarmos o nabla, temos que aprender diferentes operações vetoriais. Primeiramente, há o produto de um vetor com um escalar (aquele que não é vetor). Ele pode alterar o tamanho do vetor (seu módulo) e/ou inverter o seu sentido (multiplicando por um escalar negativo), mas nunca altera sua direção. No fim, o resultado ainda é um vetor.

Também, podemos fazer operações entre vetores. O produto escalar ou produto interno é o produto entre dois vetores que resulta em um escalar. Sendo $\theta$ o ângulo entre os dois vetores, ele é definido como:

$\vec{A} \cdot \vec{B} = ABcos\theta$

Note que se os vetores são perpendiculares entre si ($\theta=90^\circ$), o produto é nulo.

O produto vetorial ou produto externo é o produto entre dois vetores que resulta em um outro vetor. Geometricamente, o seu módulo indica a área do paralelogramo gerado pelos vetores. Sua fórmula é:

$\vec{A}\times\vec{B} = ABsen\theta\hat{n}$

Observe que $\hat{n}$ indica um vetor unitário (ou seja, de módulo 1), e sua direção é perpendicular ao plano dos dois vetores, enquanto seu sentido (saindo ou entrando no plano) pode ser encontrado com a regra da mão direita, o mesmo estilo daquela utilizada no eletromagnetismo. Os 4 dedos envolvem os dois vetores seguindo a ordem (e então sentido) indicados pela equação, e, desse modo, o dedão indicará o sentido do vetor unitário. Por esse motivo, $\vec{A}\times\vec{B}$ é diferente de $\vec{B}\times\vec{A}$, já que seus sentidos são opostos. Além disso, se os vetores são paralelos entre si ($\theta=0^\circ$), o produto vetorial é zero.

Operador nabla ‘$\nabla$’

Nabla é um operador vetorial que pode ser aplicado a diversas funções, tendo diferentes significados físicos. Representamos o operador como:

$\vec{\nabla}= \hat{x}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{y}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{z}\frac{\partial}{\partial z}$

Em que $\hat{x}$, $\hat{y}$ e $\hat{z}$ representam vetores unitários com o sentido do respectivo eixo. O nabla é parecido com o operador da derivada parcial, porém é um vetor formado pela soma das derivadas parciais em relação a cada dimensão do espaço.

Gradiente

O gradiente de uma função é um vetor obtido pela multiplicação de uma função escalar pelo nabla. O gradiente de f é:

$ \vec{\nabla} f = \hat{x} \frac{\partial f}{\partial x} + \hat{y}\frac{\partial f}{\partial y} + \hat{z}\frac{\partial f}{\partial z} $

O gradiente de uma função é um vetor que aponta para seu valor máximo. A sua magnitude em um determinado ponto indica a inclinação na direção de máximo crescimento da função f. Isso pode ser visto nas imagens a seguir:

No lado esquerdo, temos o gráfico de uma função, e, no lado direito, o campo vetorial do gradiente dessa função. Note que as setas diminuem de tamanho ao aproximarem-se do centro, onde a inclinação é pequena.

Imagine que em uma sala, onde só consideramos duas dimensões x e y, haja uma abelha querendo voar para o local mais quente do ambiente. A forma mais rápida de alcançar esse ponto é voando na direção do vetor gradiente da função temperatura, que aponta para a direção de máxima temperatura. Então, supondo que a função T seja $ T(x,y)= x^2 + y^2 $, ela poderia ser representada mais ou menos assim (considerando o eixo z como temperatura):

Ao analisarmos o gráfico, concluímos que seu gradiente irá apontar do centro para os lados, tanto no eixo x quanto no y, no sentido em que a temperatura aumenta. Matematicamente, o gradiente será:

$\vec{\nabla}T = \hat{x}2x + \hat{y}2y$

Na física, o gradiente é usado no eletromagnetismo para calcular o campo elétrico, entre outras aplicações. Vamos ver mais um exemplo: a força gravitacional de um corpo é igual ao gradiente da energia potencial. Partindo desse pressuposto e sabendo a fórmula da energia potencial, podemos fazer a seguinte manipulação:

$V = – \frac{mMG}{r}$

$\vec{F} = – \vec{\nabla}V \Rightarrow F = -\frac{dV}{dr}= -\frac{d}{dr}(- \frac{mMG}{r}) = -\frac{mMG}{r^2}$

Então, chegamos à conclusão de que a força gravitacional é um vetor que aponta no sentido oposto ao valor máximo da energia potencial, e tem a magnitude igual à variação da energia potencial em relação à distância entre os corpos.

Divergente

O divergente de uma função é equivalente ao produto escalar entre o operador nabla e uma outra função vetorial. Seu resultado, o qual é um escalar, nos diz o quanto essa função vetorial se expande ou contrai no espaço.

Para tornar a explicação desse operador mais intuitiva, vamos considerar que em vez do campo vetorial representar o campo elétrico, magnético ou gravitacional, ele descreve o fluxo de um fluido compressível. Nesse caso, cada vetor representa a velocidade de uma partícula, enquanto o divergente indica a quantidade de vetor que está “surgindo” ou “desaparecendo” em um determinado ponto.

Um ponto terá divergente positivo quando os vetores “surgem” dele, mas negativo quando os vetores próximos a ele “desaparecem“. Isso é visto nas imagens:

Ponto com divergente positivo. O fluido se expande, pois suas partículas estão se dispersando.
Ponto com divergente negativo. O fluido se comprime.

Matematicamente, representamos o divergente de uma função como:

$\vec{\nabla} \cdot \vec{F} = (\hat{x}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{y}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{z}\frac{\partial}{\partial z}) \cdot (F_x \hat{x} + F_y\hat{y} + F_z\hat{z}) = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$

Ele também é a média do produto escalar entre um pequeno deslocamento e a mudança do vetor causada por esse deslocamento, em todas as direções ao redor do ponto que calculamos o divergente. Portanto, fisicamente, o divergente representa o quanto de fluxo (quantidade de líquido por unidade de tempo) é ‘gerado’ ou ‘aniquilado’ a partir desse ponto, ou melhor, a taxa líquida de geração ou absorção de fluxo por unidade de volume.

Concluímos que, para calcularmos o divergente de um ponto, precisamos analisar os vetores ao seu redor em uma região bem próxima a ele. Logo, em campos que se comportam como fluido incompressíveis, seu divergente será zero, pois, para um ponto ter um divergente não nulo, deve existir um aumento de densidade (acúmulo de partículas em determinada região – divergente negativo) ou diminuição de densidade (dispersão de partículas a partir de um ponto – divergente positivo).

O divergente será muito importante para o entendimento de algumas equações na física que envolvem campos vetoriais, como as equações de Maxwell.

Laplaciano

O Laplaciano, na verdade, é apenas uma segunda derivada. Juntando dois operadores que já vimos, ele é definido como o divergente do gradiente.

Supondo que temos uma função f com vales e picos. Se calcularmos o gradiente dessa função escalar nos pontos de mínimos, os vetores sempre estarão divergindo pois apontarão para a região ao redor que está crescendo. Logo, o divergente do gradiente (ou laplaciano) dessa função nesses pontos será muito positivo.

Já nos pontos de máximo, uma vez que possuem maior valor, os vetores ao redor estarão apontando em sua direção, logo o divergente do gradiente nesses pontos será muito negativo. Podemos representar o laplaciano como:

$\nabla \cdot (\nabla T) = (\hat{x} \frac {\partial}{\partial x} + \hat{y}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{z}\frac{\partial}{\partial z}) \cdot ( \hat{x}\frac{\partial T}{\partial x} + \hat{y}\frac{\partial T}{\partial y} + \hat{z}\frac{\partial T}{\partial z}) = \frac{\partial^2T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2T}{\partial z^2}$

Rotacional

O rotacional mede o quanto um vetor v tende a girar em torno de um ponto. Ele será positivo quanto estiver rotacionando no sentido anti-horário, e negativo quando estiver rotacionando no sentido horário. Logo, podemos escrever o rotacional como:

$\vec{\nabla} \times \vec{f} = \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} F_x \\ F_y\\F_z \end{bmatrix} = \hat{x}( \frac{\partial F_z}{\partial y } – \frac{\partial F_y}{\partial z}) + \hat{y} ( \frac{\partial F_x}{\partial z } – \frac{\partial F_z}{\partial x}) + \hat{z} ( \frac{\partial F_y}{\partial x } – \frac{\partial F_x}{\partial y} )$

Podemos ter uma melhor intuição sobre como o produto vetorial se relaciona com o rotacional: olhamos a uma distância bem próxima a um ponto e, se os vetores tiverem uma diferença que é perpendicular a essa distância, o vetor está rotacionando. Sabendo que o produto vetorial mede o quão perpendicular dois vetores são, podemos calcular o rotacional como sendo uma média do produto vetorial entre uma distância infinitesimal e a diferença vetorial em todas as direções ao redor desse ponto.

Tradução: “rotacional $F (x_0,y_0)$ corresponde à média de (distância) x (diferença)”. O centro é o ponto inicial. Os vetores azuis são a distância tomada do ponto, enquanto os vermelhos são a diferença vetorial entre os vetores antes e depois do afastamento.

O rotacional pode aparecer em diversas fórmulas da física, como nas áreas do eletromagnetismo, fluidodinâmica, etc.

Referências

Derivadas e integrais

Operações vetoriais, derivadas parciais e operador nabla