Iniciante
Temos a seguinte equação de segundo grau para acharmos os tempos nos quais a bola passa pelo nosso ponto:
$$! \frac{gt^2}{2} – v_0t + \pi^2 = 0 $$
Mas como sabemos, o produto das raízes de tal equação nos dá c/a:
$$! (2 – \sqrt{2})(2 + \sqrt{2}) = \frac{2 \pi^2 }{g} \Rightarrow pi^2 = g$$
Intermediário
Pela simetria da distribuição de carga, o campo elétrico $$\vec{E}$$ no centro da esfera é oposto a $$\vec{a}$$. Considerando o eixo que passa no sentido de $$\vec{a}$$ e tomando o ângulo $$\theta$$ medido a partir deste eixo, temos que o elemento de carga na esfera é dado por:
$$!\mathrm{d}q = \sigma (2 \pi r \sin{\theta}) r \mathrm{d}{\theta} = (\vec{a} \cdot \vec{r}) 2 \pi r^2 \sin{\theta} \mathrm{d}{\theta}$$
$$!\Rightarrow \mathrm{d}q = 2 \pi a r^3 \sin{\theta} \cos{\theta} \mathrm{d}{\theta}$$
Considerando o anel de cargas neste ângulo $$\theta$$ temos que, por simetria, o campo elétrico desse anel $$\mathrm{d}{\vec{E}}$$ também se opõe a $$\vec{a}$$.
Logo, usando o resultado de campos elétricos no eixo de um anel, obtemos:
$$!\mathrm{d}{\vec{E}} = \frac{\mathrm{d}q r \cos{\theta}}{4 \pi \epsilon_0 (r^2 \sin^2{\theta} + r^2 \cos^2{\theta})^{\frac32}} \frac{- \vec{a}}{a}$$
Substituindo $$\mathrm{d}q$$:
$$!\mathrm{d}{\vec{E}} = \frac{- \vec{a} r}{2 \epsilon_0} \sin{\theta} \cos^2{\theta} \, \mathrm{d}{\theta}$$
Integrando, obtemos $$\vec{E} = – \frac{\vec{a} r}{3 \epsilon_0}$$
Avançado
Uma extremidade do disco solar está se movendo na nossa direção enquanto a outra se afasta de nós. O ângulo $$\theta$$ entre as direções em que as extremidades do disco se movem e a linha de observação é pequeno $$(\cos{\theta} \approx 1)$$. Então, pelo efeito Doppler em abas as extremidades:
$$!\frac{\delta \lambda}{\lambda} = \frac{2 \omega R}{c}$$
onde $$\omega = \frac{2 \pi}{T}$$ é a velocidade angular do Sol. Logo:
$$!T = \frac{4 \pi R \lambda}{c \delta \lambda}$$
Colocando os valores, temos $$T \approx 25 \, d$$
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