Soluções Física – Semana 4

Iniciante (Solução por João Guilherme Madeira Araújo)

Pela terceira lei de Kepler $$!T^2 = r^3 \cdot \frac{4\pi^2}{GM} \Rightarrow \frac{M}{4\pi r^3} = \frac{\pi}{GT^2} \Rightarrow \frac{M}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{3\pi}{GT^2}$$
Assim, como $$\frac{M}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{M}{V} = d$$
$$!d = \frac{3\pi}{GT^2}$$

Intermediário (Solução por Victor Sales)

Se o ponto próximo estiver a $$90 \ cm$$, a pessoa é hipermétrope. Para ler um livro, ela deve mantê-lo pelo menos a $$90 cm$$ da vista para poder focalizar as letras. Uma lente convergente, usada como lupa, permite que o livro fique mais perto do olho.
Quando o livro estiver a $$25 \ cm$$ do olho, queremos que a imagem formada pela lente convergente esteja a $$90\ cm$$ do olho. Como, como uma lente convergente forma uma imagem virtual e direita quando o objeto se encontra entre a lente e seu ponto focal, esperamos que a distância focal da lente seja maior que $$25cm$$. Então:
$$\frac{1}{p} + \frac{1}{p’} = \frac{1}{f}$$
Com $$p = 25 cm$$ e $$p’ = -90 cm$$. Daí $$\frac{1}{f} = 2.89 m^{-1}$$.

Logo, a potência da lente deve ser de $$2.89$$ dioptrias.

Avançado (Solução por Eduardo Reis)

Se a esfera metálica está aterrada, isto significa afirmar que o potencial dela é zero. Desta forma, afim de facilitar a resolução do problema, podemos substituir a esfera por uma carga imagem $$Q$$ (que é igual a carga induzida na esfera, sendo, portanto, a variável do problema) que dista $$m$$ do centro da esfera (conforme ilustra a figura abaixo) desde que seja anulado o potencial sobre a superfície esférica (equipotencial).

O potencial em um ponto $$P_i$$ (situado na reta que liga $$q$$ e $$Q$$) sobre a esfera é zero:

$$! \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{l-r} +\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r-m} = 0 $$

$$! q(r-m) = -Q (l-r) \ \ \ \ \ \ (1)$$

De forma análoga, em um ponto $$P_{i’}$$ diametralmente oposto a $$P_i$$:

$$! \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{l+r} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r+m} = 0$$

$$! q(r+m) = -Q(l+r) \ \ \ \ \ \ (2)$$

Somando $$(1)$$ e $$(2)$$, temos:

$$! 2qr = -2Ql$$

Portanto:

$$! Q = -\frac{r}{l}q$$