Matemática – Semana 13

Problema Inciante

Resolva, em números reais, o sistema:

$$x+\dfrac{1}{y}=y+\dfrac{1}{z}=z+\dfrac{1}{x}$$

$$xyz=1$$

Problema Intermediário

Prove que não existem inteiros positivos $$x$$ e $$y$$ tais que $$x^3+y^3=2^{2009}$$.

Problema Avançado

Seja $$n\ge 2$$ um inteiro com divisores $$1=d_1<d_2<…<d_k=n$$. Prove que $$d_1d_2+d_2d_3+…+d_{k-1}d_k$$ é sempre menor do que ou igual a $$n^2$$ e depois determine quando ele é um divisor de $$n^2$$.