Iniciante
Encontre todos os pares ordenados de inteiros $$(x,y)$$ tais que: $$x^3-y^3=3(x^2-y^2)$$.
Intermediário
Seja $$ABC$$ um triângulo, $$M$$ o ponto médio do lado $$AC$$ e $$N$$ o ponto médio do lado $$AB$$ . Sejam $$r$$ e $$s$$ as reflexões das retas $$BM$$ e $$CN$$ sobre a reta $$BC$$, respectivamente. Defina também $$D$$ e $$E$$ como a interseção das retas $$r$$ e $$s$$ com a reta $$MN$$, respectivamente. Sejam $$X$$ e $$Y$$ os pontos de interseção entre os circuncírculos dos triângulos $$BDM$$ e $$CEN$$ , $$Z$$ a interseção das retas $$BE$$ e $$CD$$ e $$W$$ a interseção entre as retas $$r$$ e $$s$$ . Prove que $$XY$$,$$WZ$$ e $$BC$$ são concorrentes.
Avançado
$$N$$ amigos decidiram ir para uma ilha deserta em suas férias. Durante a viagem eles descobriram que a ilha não era tão deserta assim! Havia uma tribo indígena canibal e esta os capturou. Os amigos são levados, um a um, para $$N$$ celas solitárias, que evitam que eles possam ter qualquer contato entre si. O rei dos canibais propõe o seguinte aos viajantes:
“Todo dia, um de vocês entrará na sala real e lá haverá uma lâmpada. A pessoa que entrou verá a lâmpada (que pode estar apagada ou acesa) e decidirá se irá alterar o estado dela ou deixá-la como está (alterar significa que se está acesa, ele apagará a lâmpada e vice-versa). Ao sair, tal pessoa terá a oportunidade de dizer a frase ‘todos os meus amigos já passaram por essa sala’. Se o que ele afirmou for verdade, todos vocês serão libertos, caso contrário, vocês virarão o nosso próximo jantar. Ah, é claro! Garanto a vocês que todos irão passar pela sala real muitas vezes (ou seja, não há um indivíduo que entra uma vez na sala e nunca mais vai de novo).”
A pergunta é, sabendo que a lâmpada está inicialmente apagada e que os amigos podem combinar uma estratégia entre si antes de entrarem nas celas e ficarem incomunicáveis, determine uma possível estratégia para que eles consiguam ser libertados e voltem para suas famílias!
Deixe um comentário