Problema Iniciante
Se $$x$$ e $$y$$ forem iguais, claramente a equação é válida, pois dá $$0$$ dos dois lados. Já se $$x$$ e $$y$$ forem diferentes, podemos fatorar a expressão como $$(x-y)(x^2+xy+y^2)=3(x-y)(x+y) \Longrightarrow (x^2+xy+y^2=3(x+y) \Longrightarrow x^2+x(y-3)+(y^2-3y)=0$$. Fazendo o Bháskara na variável $$x$$ vemos que o delta é $$-3y^2+10y+9$$ e como tal delta tem que ser não-negativo e $$y$$ é inteiro, podemos ver, após fazer o gráfico de $$-3y^2+10y+9$$ ficamos com $$y$$ igual a $$0,1,2,3$$ ou $$4$$.
Se $$y=0\Longrightarrow x=0$$ ou $$x=3$$.
Se $$y=1\Longrightarrow x=-1$$ ou $$x=3$$.
Se $$y=2\Longrightarrow$$ $$x$$ não será inteiro.
Se $$y=3\Longrightarrow x$$ não será inteiro.
Se $$y=4\Longrightarrow x=-1$$ ou $$x=0$$
Fica para o leitor verificar que tais pares citados acima funcionam de fato (lembre-se que isso é importante em uma prova).
Problema Intermediário
A solução para esse problema pode ser vista aqui. Vá na Eureka $$38$$ (a última das Eurekas disponíveis. A solução começa na página $$53$$.
Problema Avançado
Esse problema é legal de pensar, talvez até meio demorado de resolver, mas a solução é bem curta.
Temos $$n$$ pessoas. Provavelmente, se todas fizerem a mesma coisa, nada de especial vai acontecer, então vamos dar tarefas diferentes para as pessoas: escolha um líder e o resto será “o povo”. Sempre que o líder entrar na sala e ver lâmpada acessa, ele irá apagá-la. Já um “cidadão” do povo, se encontrar a lâmpada acessa, não vai fazer nada e cada um deles vai ter o direito de acender a luz exatamente uma vez, sendo que, quando ele voltar de novo na sala não fará mais nada. Vejamos porque essa estratégia funciona: como todo mundo entra na sala muitas vezes, a lãmpada será acessa $$n-1$$ vezes e o líder terá apagado a lâmpada $$n-1$$ vezes. Como cada pessoa só acendeu a lâmpada uma vez, o líder saberá que todo “o povo” já entrou na sala e poderá enfim dizer a frase libertadora!
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