Matemática – Semana 18

Iniciante

Se $$p \neq 5$$ é um primo ímpar, prove que $$(p^2-1)$$ ou $$(p^2+1)$$ é divisível por 10.

Intermediário

Cada ponto de coordenadas inteiras no plano cartesiano é coberto com as cores $$1, 2, …, n$$. Mostre que existe um retângulo formado com vértices de mesma cor.

Avançado

Considere um tabuleiro $$a \times b$$ $$(a \rightarrow horizontal, b \rightarrow vertical)$$. Temos dois tipos de peças: $$1 \times m$$ ($$1$$ quadrado de altura e $$m$$ de largura, que só podem ser usadas na horizontal) e $$n \times 1$$ ( $$n$$ quadrados de altura e $$1$$ de largura, que só podem ser usadas na vertical).

Assuma que o tabuleiro foi completamente coberto por essas peças sem sobreposições. Prove que $$m|a$$ ou $$n|b$$.