Matemática – Semana 19

Iniciante

Prove que não existem $$x_1,x_2,…,x_{14}$$ inteiros tais que $$x_1^4+x_2^4+…+x_{14}^4=1599$$.

Intermediário

Prove que para todos $$x,y,z$$ reais positivos temos $$x^5+y^5+z^5 \ge x^3yz+y^3xz+z^3xy$$.

Avançado

Mostre que não existe uma função $$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$ que satisfaz:
(a) $$f(2)=3$$;
(b) $$f(mn)=f(m)f(n) \ \forall \ m,n \in \mathbb{N}$$;
(c) $$f(m)<f(n)$$ se $$m<n$$.