Iniciante
Qualquer número par pode ser escrito na forma $$x=2k \Rightarrow x^4=16k^4$$, logo um número par elevado a quarta potência deixa resto 0 módulo 16. Da mesma forma vemos que um número ímpar pode ser escrito na forma $$x=2k+1 \Rightarrow x^4 (2k+1)^4=16k^4+4(8k^3)+6(4k^2)+4(2k)+1=16(k^4+2k^3)+8(3k^2+k)+1=16(k^4+2k^3)+8(k(3k+1))+1$$, mas veja que $$k(3k+1)$$ é par, pois caso $k$ não seja par, então $3k+1$ será! Dessa forma: $$16\mid 8k(3k+1)$$ e qualquer ímpar elevado à quarta potência deixa resto 1 na divisão por 16. Entretanto, se analisarmos a equação do enunciado no módulo $$16$$ temos que: $$x_1^4+x_2^4+…+x_{14}^4\equiv 15\pmod{16}$$ e claramente não existem $$x_1,x_2,…,x_n$$ que satisfazem, pois cada um deles só pode ser zero ou um e a soma máxima, consequentemente, será $$14$$.
Intemediário
Como (5,0,0) majora (3,1,1), por Muirhead temos que $$\sum_{sym} x^5 \ge \sum_{sym} x^3yz \Rightarrow x^5+y^5+z^5 \ge x^3yz+y^3xz+z^3xy$$.
Avançado
Suponha o contrário. Seja $$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$ uma função que satisfaz as três condições do enunciado. Escreva $$f(3)=l$$. Usando $$2^3<3^2$$ temos,
$$3^3 = f(2)^3 = f(2^3) < f(3^2) = f(3)^2 = l^2 \Rightarrow l>5$$.
Similarmente usando $$3^3<2^5$$ temos,
$$l^3 = f(3)^3 = f(3^3) < f(2^5) = 3^5 = 243 < 343 = 7^3$$.
Isso implica $$l<7$$. Portanto $$l=6$$, isto é $$f(3)=6$$. No entanto $$3^8 = 6561 < 8192 = 2^{13}$$. Novamente temos,
$$6^8 = f(3^8) < f(2^{13}) = 3^{13}$$
Portanto $$2^8<3^5$$. Mas $$2^8=256$$ e $$3^5=243$$, porém $$256<243$$ é um absurdo, logo não existe nenhuma função que satisfaz as condições do enunciado.
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