Iniciante
Seja $$d=mdc(x,y)$$ e chame $$x=x_1 \cdot d$$ e $$y=y_1 \cdot d$$ de forma que $$mdc(x_1,y_1)=1$$. Logo: $$a = \dfrac{x^2+y^2}{xy} = \dfrac{d^2(x_1)^2+d^2(y_1)^2}{d^2 x_1y_1} = \dfrac{x_1^2+y_1^2}{x_1y_1}$$ e consequentemente, $$x_1\mid y_1^2$$ e $$y_1\mid x_1^2$$ e não há outra opção além de $$x_1=1$$ e $$y_1=1$$: $$a=\dfrac{1^2+1^2}{1\cdot 1}=2$$.
Itermediário:
Sim. Tomando $$n=10111111111$$, temos $$n^2=102234567898987654321$$.
Avançado:
Temos $$2\cdot3^x = 7^y – 1$$. Note que a maior potência de $$3$$ que divide $$7-1$$ é $$3$$. Seja $$3^m$$ a maior potência de $$3$$ que divide $$y$$. Então, pelo lema de Hensel, a maior potência de $$2$$ que divide $$7^y-1$$ é $$3^{m+1}$$. Logo $$x \le m+1$$. Observando ainda que, como $$3^m$$ divide $$y$$, $$3^m \le y$$,
$$2\cdot3^{m+1} \ge 2\cdot3^x = 7^y-1 \ge 7^{3^m} – 1$$.
Deste modo, sendo $$t=3^m$$, temos $$6t \ge 7^t – 1 \Longleftrightarrow 7^t \le 1+6t$$, que é verdadeiro para $$t=0$$ e $$t=1$$ mas falso para $$t>1$$, pois nesse caso $$7^t = (6+1)^t > \left( {\begin{array}{*{20}c} t \\ 0 \\ \end{array}} \right)1^t + \left( {\begin{array}{*{20}c} t \\ 1 \\ \end{array}} \right)1^{t-1}\cdot6 = 1 + 6t$$. Notando que $$t=3^m$$e que ocorre a igualdade para $$t=1$$, temos $$m=0$$ e que todas as desigualdades anteriores são igualdades, isto é, $$x=m+1=1$$ e $$y=3^m=1$$.
Deixe um comentário