Soluções Matemática – Semana 23

Iniciante

$$3^{2^n}+1 \equiv (-1)^{2^n}+1 (\mod 4)$$ mas $$2^n$$ é par para $$n>0$$ logo $$(-1)^{2k}+1 \equiv 1^k+1 \equiv 1+1 \equiv 2 (\mod 4)$$, isto quer dizer que $$3^{2^n}+1$$ é par e não múltiplo de $$4$$, como queríamos demonstrar.

Intermediário

Pela identidade de Vandermonde temos:

$${2p \choose p} = {p \choose p} {p \choose 0} + {p \choose 1} {p \choose p-1} + … + {p \choose p} {p \choose 0}$$

Mas veja que para $$1 \le k \le p-1$$ temos que $$p$$ divide $${p \choose k}$$, mas perceba que $${p \choose p} {p \choose 0} = 1 $$, então temos que $${2p \choose p} \equiv 2 (\mod p^2)$$.

Avançado

Temos que:

$$f(x) + f(\dfrac{1}{1-x}) = x$$ (1)

Chame $$y=\dfrac{1}{1-x}$$, então temos que:

$$f(y) + f(\dfrac{1}{1-y}) = y$$

$$f(\dfrac{1}{1-x}) + f(\dfrac{x-1}{x}) = \dfrac{1}{1-x}$$ (2)

Chame $$z=\dfrac{1}{1-y}=\dfrac{x-1}{x}$$, então temos que:

$$f(z) + f(\dfrac{1}{1-z}) = z$$

$$f(\dfrac{x-1}{x}) + f(x) = \dfrac{x-1}{x}$$ (3)

Somando (1) e (3) temos:

$$2f(x) + f(\dfrac{x-1}{x}) + f(\dfrac{1}{1-x}) = x + \dfrac{x-1}{x}$$

Substituindo por (2) temos:

$$2f(x) + f(\dfrac{x-1}{x}) + f(\dfrac{1}{1-x}) = x + \dfrac{x-1}{x}$$

$$2f(x) + \dfrac{1}{1-x} = x + \dfrac{x-1}{x}$$

$$f(x) = \dfrac{x^3-x+1}{2x(x-1)}$$