Matemática – Semana 7

Iniciante

Seja $$x$$ um inteiro positivo tal que $$x$$ é múltiplo de $$5$$, $$x+1$$ é múltiplo de $$7$$, $$x+2$$ é múltiplo de $$9$$ e $$x+3$$ é múltiplo de $$11$$. Ache o menor valor que $$x$$ pode assumir para tornar verdadeiras todas as afirmações anteriores.

Intermediário

Usando a mesma ideia do problema avançado da semana passada, prove o Teorema de Menelaus:

Dado um triangulo $$ABC$$,sejam$$D,E$$ e $$F$$ três pontos sobre as retas $$BC,CA$$ e $$AB$$,respectivamente, de modo que $$D,E$$ e $$F$$ são colineares, então $$\dfrac{AF}{BF} \cdot \dfrac{BD}{CD} \cdot \dfrac{CE}{AE} =1$$

Avançado

O exótico biólogo Daniel se escondeu numa ilha deserta por 1 ano e enquanto estava lá descobriu a ameba Farianos Brittus que tinha propriedades muito peculiares:

• 1) Só havia $$2$$ cores possíveis para tais amebas: ocre e magenta.
• 2) Quando uma ameba ocre se junta com uma magenta, as duas se transformam em $$3$$ amebas ocres.
• 3) Quando duas amebas magentas se juntam, as duas se transformam em $$4$$ amebas ocres.
• 4) Quando duas amebas ocres se juntam, elas se transformam numa única ameba magenta.

Na primeira observação de Daniel havia $$201$$ amebas magentas e $$112$$ amebas ocres.

a) É possível após algumas transformações termos exatamente $$100$$ amebas magentas e $$314$$ amebas ocres?

b) É possível após algumas transformações termos exatamente $$99$$ amebas magentas e $$314$$ amebas ocres?