NOIC – Matemática – Soluções – Semana 33

AVANÇADO

Aplicando MA-MG, nós temos

$$\dfrac{1+ab}{1+(bc)^2}=(1+ab)-\dfrac{(1+ab)(bc)^2}{1+(bc)^2}\ge 1+ab-\dfrac{(1+ab)bc}{2}$$.

Somando de modo similar temos,

$$\sum_{cyc} \dfrac{1+ab}{1+(bc)^2}\ge \sum_{cyc} ab – \dfrac{1}{2} \sum_{cyc} (1+ab)bc = 4 + \dfrac{1}{2} ( \sum_{cyc} ab – \sum_{cyc} ab^2c )$$.

Isso é o mesmo que provar que:

$$ab+bc+cd+da\ge ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b$$

Aplicando o familiar resultado $$xy+yz+zt+tx\ge \dfrac{1}{4} (x+y+z+t)^2$$, nós temos que

$$(ab+bc+cd+da)^2\ge 4 (ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b)$$
$$16=(a+b+c+d)^2\ge 4 (ab+bc+cd+da)$$

Multiplicando as desigualdades acima chegamos em nosso resultado, como queríamos demonstrar.