Semana 32 – Soluções – Matemática

Por absurdo, suponha que exista. Em particular, $a$ não é múltiplo de $p$. Elevando a congruência à $\dfrac{p-1}{2}$-ésima potência e aplicando o Teorema de Fermat, obtemos:

$a^{p-1} \equiv (-1)^{\dfrac{p-1}{2}} \pmod{p}$

$1 \equiv -1 \pmod{p}$,

pois $\dfrac{p-1}{2}$ é ímpar. Isso nos dá a contradição requerida.

Da relação do problema, temos:

$a^3=6(a+1)$

$\Rightarrow a^2=\dfrac{6(a+1)}{a}$ (1)

pois $a$ é positivo. Por absurdo, se a equação do segundo grau requerida tem solução real, então seu discriminante é não-negativo:

$a^2 - 4(a^2-6) \ge 0$

$-3a^2+24 \ge 0$

$8 \ge a^2$

o que, por (1) equivale a:

$8 \ge \dfrac{6(a+1)}{a}$

$a \ge 3$

$a^2 \ge 9$,

contradizendo $8 \ge a^2$.

Seja $d=mdc(a,b)$, digamos

$a=d\cdot a_0$

$b=d\cdot b_0$

onde o $mdc(a_0,b_0)=1$. Então:

$2^{a}-1=2^{d\cdot a_0}-1=(2^{d}-1)\cdot(2^{d(a_0 -1)}+2^{d(a_0-2)}+...+1)$

é múltiplo de $2^d-1$. Aplicando a mesma fatoração para $2^{b}-1$, segue que

$2^{d}-1 \div mdc(2^{a}-1,2^{b}-1)$.

Para a divisibilidade inversa, sejam $x,y$ inteiros positivos tais que

$d=ax-by$.

Então $2^{ax}-1, 2^{by}-1$ são múltiplos de $mdc(2^{a}-1,2^{b}-1)$ e daí

$mdc(2^{a}-1,2^{b}-1) \div (2^{ax}-1)-(2^{by}-1)$

$mdc(2^{a}-1,2^{b}-1) \div 2^{d+by}-2^{by}$

$mdc(2^{a}-1,2^{b}-1) \div 2^{by}(2^{d}-1)$

$mdc(2^{a}-1,2^{b}-1) \div 2^{d}-1$

pois $mdc(2^{a}-1,2^{b}-1)$ é ímpar.