Semana 35

Seja $\triangle ABC$ um triângulo de área $S$ e $M$ um ponto em seu interior tal que

$MA . BC + MB . CA + MC . AB = 4S$

Prove que $M$ é o ortocentro de $\triangle ABC$.

Seja $p$ um primo da forma $3k+1$. Prove que a equação

$p = x^{2} + 3y^{2}$

possui solução $(x,y)$ nos inteiros.

Sejam $A_{1}, A_{2}, ..., A_{2n}$ pontos, nessa ordem, em uma circunferência. Ache a quantidade de maneiras de colorir os segmentos $A_{i} A_{j}$ $(1 \le i < j \le 2n)$ de maneira que

$(i)$ Exatamente $n$ segmentos são coloridos.

$(ii)$ Para cada $i=1,2,...,2n$, existe exatamente um segmento colorido que passa por $A_{i}v$.