Semana 41 (12 de março de 2019)

Iniciante

Ache todos os números primos $p$ tais que $p,2p+1$ e $5p+2$ são todos números primos.

Intermediário

Determine se existe um polinômio $P(x)$ de coeficientes reais satisfazendo $P(x+(\frac{1}{2})^x)=P( (\frac{1}{2019})^x)$ para todo $x$ real.

Avançado

Determine o menor inteiro positivo $n$ tal que é possível pintar todos os inteiros positivos com uma dentre $n$ cores cada (cada inteiro positivo recebe exatamente uma cor) de modo que se $x,y$ são inteiros positivos satisfazendo $2 \le \frac{x}{y} \le 2^{2019}+1$ então $x$ e $y$ são pintados de cores diferentes.