Semana 48 (07 de maio de 2019)

Iniciante

Seja $k$ um inteiro positivo. Dizemos que um número composto $n$ é esquisito se $n$ não divide $(n-k)!$ Prove que não existem infinitos números esquisitos.

Intermediário

Sejam $a,b$ inteiros e $x_1,x_2,...$ uma sequência de inteiros satisfazendo

$x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_{n}\ \forall n \ge 2$

Dado que $x_{m^2}=0$ para todo inteiro positivo $m$, prove que $x_m=0$ para todo inteiro positivo $m$.

Avançado

Seja $n$ um inteiro positivo. Prove que existe um inteiro positivo $m$ tal que

$n| 2^m + [\frac{n}{2}]^m -m$

onde $[\ ]$ é a função parte inteira.