SEMANA 51 (28 DE MAIO DE 2019)

Iniciante

Os números 1,2,…,14 estão escritos em alguma ordem ao redor de uma circunferência. Chamamos de lindo um número que é a soma de seus dois vizinhos. Qual é a maior quantidade de números lindos que pode haver?
Dê um exemplo para a quantidade máxima de números lindos e explique por que não pode haver mais deles.

Intermediário

Seja $ABCD$ um quadrilátero inscritível no círculo  com .  Sejam e as reflexões de pelas linhas e , respectivamente, e seja a intersecção das linhas e . Suponha que o circuncirculo de encontra em e , e o circuncirculo de encontra em e . Mostre que .

Avançado

A sequência de funções ${f_n(x)}_{n\geq1}$ é definida recursivamente como segue:

$f_1(x)=\sqrt{x^2+2}$ , $f_{n+1}(x)=\sqrt{x^2+6f_n(x)}$

para todo inteiro $n\geq 1$. Para cada inteiro positivo n, encontre todas as soluções reais da equação $f_n(x)=2x$.