Soluções – Astronomia Semana 112

Escrito por Heitor Szabo

Iniciante

Ponto de Lagrange Terra-Lua

Primeiro encontraremos o ponto em que as forças se igualam.

Para o sistema Terra-Lua, a força gravitacional da Terra $F_T$ e da Lua $F_L$ podem ser igualadas:

$\frac{G M_T m}{r_T^2} = \frac{G M_L m}{r_L^2}$

Aqui:
– $M_T$ é a massa da Terra,
– $M_L$ é a massa da Lua,
– $r_T$ é a distância do ponto até a Terra,
– $r_L = D - r_T$ é a distância do ponto até a Lua, onde $D$ é a distância total entre a Terra e a Lua.

Podemos simplificar a equação, cancelando a constante gravitacional $G$ e a massa $m$ do objeto:

$\frac{M_T}{r_T^2} = \frac{M_L}{(D - r_T)^2}$

Substituindo os valores:
– $M_T \approx 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}$ ,
– $M_L \approx 7.342 \times 10^{22} \, \text{kg}$ ,
– $D \approx 3.844 \times 10^{8} \, \text{m}$ .

Resolvendo pra $r_T$ :

$r_T \approx 3.460 \times 10^8 \, \text{m}$

Usando a fórmula para o ponto L1 de Lagrange (dedução presente em uma das ideias do curso de astronomia do noic):

$r_L = D \left( \frac{M_L}{3M_\oplus + M_L} \right)^{1/3}$

onde:
– $r$ é a distância do ponto $L1$ até a Lua,
– $D$ é a distância total entre a Terra e a Lua,
– $M_\oplus$ é a massa da Terra,
– $M_L$ é a massa da Lua.

Agora substituímos esses valores na fórmula:

$r_L \approx 6.1 \times 10^{7} m$

$r_T' = D - r_L$

$r_T' = 3,23 \times 10^{8} m$

Enquanto $r_T$ representa 90% de D, $r_T'$ representa 84%.

Logo, a diferênça é de 6%.

Intermediário

Invasão Alienígena

Conservação de Energia:

A energia de uma órbita elíptica pode ser expressa pela equação:

$-\frac{GMm}{2a} = \frac{mv^2}{2} - \frac{GMm}{r}$

Independente da direção de $v_0$ , vemos que o valor de $a$ não muda. Assim, o semi-eixo maior da órbita elíptica é o mesmo que o raio da órbita circular, ou seja:

$r_0 = a$

Conservação do Momento Angular:

Usando a conservação do momento angular no ponto do impulso, temos a fórmula geral para o momento angular de uma elipse:

$m \cdot \sqrt{GM \cdot r_0(1 - e^2)} = m \cdot v_0 \cdot r_0 \cdot \sin(90^\circ - \theta)$

Sabemos que o seno do ângulo complementar é o cosseno desse ângulo, então podemos isolar a excentricidade $e$ :

$e =\sqrt{ 1 - \frac{v_0^2 \cdot r_0 \cdot \cos^2(\theta)}{GM}}$

Fórmulas do Periélio e Afélio:

Sabemos que o raio mínimo (Periélio) e o raio máximo (Afélio) podem ser expressos como:

$r_{\min/\max} = a(1 \mp e)$

Substituindo o fato de que $r_0 = a$ e a expressão para a excentricidade, temos:

$r_{\min/\max} = r_0 \left(1 \mp \sqrt{1-\frac{v_0^2 \cdot r_0 \cdot \cos^2(\theta)}{GM}} \right)$

Como:

$v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r_0}}$

Temos:

$\frac{v_0^2 \cdot r_0}{GM} = 1$

Simplificação da Expressão:

$r_{\min/\max} = r_0 \left(1 \mp \sqrt{1- \cos^2(\theta)} \right)$

Sendo $\sin^2(\theta) = 1-\cos^2(\theta)$

$r_{\min/\max} = r_0 \left(1 \mp \sin(\theta) \right)$

O raio mínimo é igual ao raio da Terra, então, isolando $\theta$ :

$R_\oplus = r_0 \left(1 - \sin(\theta) \right)$

$\sin(\theta) = 1 - \frac{R_\oplus}{r_0}$

$\theta = \arcsin\left(1 - \frac{R_\oplus}{r_0}\right)$

Avançado

Olha o Satélite!

Para uma latitude genérica, a situação em que um satélite vai aparecer no horizonte enquanto outro some é na intersecção da área da Terra que consegue ver os satélites representada abaixo por círculos azuis.

Pela simetria do problema, sabemos que os 3 satélites formarão um triângulo equilátero no plano do equador e concêntrico a Terra.

Disso, tiramos que o ângulo entre o centro da área de visibilidade e a projeção da posição do observador no equador, formará um ângulo de 60° como representado na imagem.