SOLUÇÕES ASTRONOMIA – SEMANA 30

INICIANTE

(a) Pela geometria da elipse, o semieixo maior da órbita é calculado por:

$a=\frac{a_{0} + a_{L}}{2}$

Onde

$a_{L}\approx 384$ mil km

$a_{0}\approx R_{T}=6370 km$

Nessa última fórmula, consideramos uma órbita inicial com altitude baixa

$a=195$ mil km

(b) Pode-se chegar na fórmula da excentricidade a partir de:

$r_{pericentro}=a(1-e)$

$r_{apocentro}=a(1+e)$

Subtraindo uma da outra

$r_{ap}-r_{pe}=a(1+e -1+e)$

$r_{ap}-r_{pe}=\frac{r_{ap}+r_{pe}}{2} 2e$

$e=\frac{r_{ap}-r_{pe}}{r_{ap}+r_{pe}}$

Substituindo os valores

$r_{ap}=a_{L}$

$r_{pe}=a_{0}$

$e=0,97$

(c) O tempo de viagem pode ser calculado com a 3ª lei de Kepler

$\frac{a^3}{\tau ^2}=\frac{GM_{T}}{4\pi ^2}$

$\tau = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM_T}}$

Como a viagem é só do perigeu ao apogeu, sem retornar, temos

$\Delta t=\frac{\tau}{2}$

$\Delta t=427 625 s$

$\Delta t=4,9 dias$

(d) Para que a missão seja bem sucedida, o foguete deve se encontrar com a Lua no apogeu – 180º do ponto de partida, perigeu, tendo como referencial o centro da Terra. Então:

$\omega _L \Delta t+\theta_L=\pi$

$\omega_L=\frac{2/pi a_L}{\tau _L}=\sqrt{\frac{GM_T}{a_L^3}}$

$\theta_L=2rad$

$\theta_L=114,9$º

INTERMEDIÁRIO

(a) Similar ao exercício anterior

$a=\frac{a_{T} + a_{S}}{2}$

$a=\frac{1 UA + 9,58 UA}{2}$

$a=5,29 UA$

(b)

$e=\frac{r_{ap}-r_{pe}}{r_{ap}+r_{pe}}$

$e=\frac{9,58 UA-1UA}{9,58 UA+1UA}$

$e=0,81$

(c)

$\Delta t = \pi \sqrt{\frac{a^3}{GM_{sol}}}$

$\Delta t = 6anos$

(d) 

Definimos:

• $v_{T}$ – velocidade orbital da Terra;
• $v_{T1}$ – velocidade relativa à Terra após aplicado o impulso;
• $v_{TH0}$ – velocidade no periélio da órbita de transferência relativa à Terra;
• $v_{H0}$ – velocidade no periélio da órbita de transferência;
• $r_T$ – raio da órbita geoestacionária;
• $r_{TH0}$ – distância à Terra no início da transferência efetiva

Para encontrarmos o excesso de velocidade (velocidade restante após o corpo escapar de um campo gravitacional), conservamos energia

$\frac{mv_{T1}^2}{2}-\frac{GM_T}{r_T}=\frac{mv_{TH0}^2}{2}-\frac{GM_T}{r_{TH0}}$

$r_{TH0}\gg r_T$

$v_{T1}^2-\frac{2GM_T}{r_T}=v_{TH0}^2$

Agora encontramos as velocidades e calculamos a velocidade perdida

$v_{H0}=\sqrt{GM_{sol}( \frac{2}{a_T}-\frac{1}{a} ) }$

$v_{H0}=v_{TH0}+v_T$

$v_{TH0}=10,13km/s$

$v_{T1}=11,03km/s$

$v_{perdida}=\left| v_{TH0}-v_{T1}\right|$

$v_{perdida}=0,9 km/s$

(e)

Definimos:

• $v_S$ – velocidade orbital de Saturno;
• $v_{T0}$ – velocidade relativa à Terra antes de aplicado o impulso;
• $v_{S0}$ – velocidade relativa a Saturno antes de aplicado o impulso;
• $v_{S1}$ – velocidade relativa a Saturno após aplicado o impulso;
• $v_{H1}$ – velocidade no afélio da órbita de transferência;
• $r_S$ – raio da órbita de Titã

Primeiro encontraremos o Delta V do impulso feito na Terra

$\Delta v_T=\left| v_{T1}-v_{T0}\right|$

$v_{T0}=\sqrt{\frac{GM_T}{r_T}}$

$v_{T0}=3,08 km/s$

$\Delta v_T=7,95 km/s$

Agora do impulso feito em Saturno

$\Delta v_T=\left| v_{S1}-v_{S0}\right|$

$v_{S0}\approx v_{SH1}$

$v_{H1}=\sqrt{GM_{sol}( \frac{2}{a_S}-\frac{1}{a} ) }$

$v_{H1}=v_S+v_{SH1}=4,19km/s$

$v_{S0}=5,41 km/s$

$v_{S1}=\sqrt{\frac{GM_S}{r_S}}$

$v_{S1}=5,77km/s$

$\Delta v_S=0,36km/s$

Para achar o Delta V total

$\Delta v=\Delta v_T + \Delta v_S$

$\Delta v=8,31 km/s$

(f) O impulso específico se relaciona com a velocidade de exaustão do foguete por:

$u=I_{sp}g_0$

sendo $g_0$ a gravidade a nível do mar

Pela equação de Tsiolkovsky (equação do foguete):

$\Delta v=u ln(\frac{M_0}{M_1})$

$M_0=M_1 e^{\frac{\Delta v}{I_{sp}g_0}}$

$M_0=8,3 M_1$

AVANÇADO

(a) No referencial da Terra:

$\Delta t_T= \frac{D}{v}$

$\Delta t_T= \frac{4,24al}{0,6 al/ano}$

$\Delta t_T=7,07anos$

No referencial das sondas

$\gamma \Delta t_S=\Delta t_T$

$\gamma=(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{1}{2}}$

$\gamma=\frac{5}{4}$

$\Delta t_S=5,66 anos$

(b) 

$z=\frac{\Delta \lambda}{\lambda}=\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}-1$

$\lambda _{obs}=\lambda _{emit}\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}$

$\lambda_{obs}=60cm$

(c) O intervalo de tempo entre as mensagens é dado pelo tempo entre as emissões e o tempo que a luz leva para percorrer a distância percorrida

$\tau _T= T + \frac{\Delta x}{c}$

$\Delta x=vT$

$T=\gamma \tau _S$

$\tau _T=\gamma \tau _S (1+\frac{v}{c})$

$\tau _T= 2 semanas$

(d) Esse é o tempo que as sondas levam para chegar até Proxima Centauri mais o tempo que a mensagem leva para chegar até nós

$T_c=\Delta t_T+\frac{D}{c}$

$T_c=11,31anos$

(e) No referencial da Terra, a intervalo de tempo entre a chegada das mensagens na ida e na volta são, respectivamente:

$\tau _i=\gamma \tau _S (1+\frac{v}{c})$

$\tau _i=2 semanas$

$\tau _v=\gamma \tau _S (1-\frac{v}{c})$

$\tau _v=0,5 semana$

A viagem leva no total $2\Delta t_T$ e o número total de mensagens pode ser calculado por:

$N=\frac{T_c}{\tau _i}+\frac{2\Delta t_T-T_c}{\tau _v}$

$N=588$

Esse valor também pode ser calculado no referencial da sonda

$N=\frac{2\Delta t_S}{\tau _S}$

$N=588$