Soluções Astronomia – Semana 43

INICIANTE

Nos círculos polares, o polo elevado dista $\epsilon$, onde $\epsilon$ é a obliquidade da eclíptica, do zênite. Consequentemente, o equador dista, no meridiano local superior, $\epsilon$ do horizonte.

Dessa forma, no Círculo Ártico, no solstício de inverno, a declinação do Sol será $\delta=-\epsilon$. Assim, ao meio dia solar verdadeiro, o Sol estará no horizonte. Pode-se desenvolver um raciocínio análogo para o Círculo Antártico.

No solstício de verão, o Sol também tocará o horizonte, no entanto, ainda no referencial Círculo Ártico, a declinação do Sol é $\delta=+\epsilon$. Assim, o Sol tocará o horizonte quando cruzar o meridiano local inferior, ou seja, à meia noite solar verdadeira.

 

INTERMEDIÁRIO

a) Para encontrar essa velocidade, devemos encontrar a distância do cometa para a anomalia verdadeira dada e aplicar o valor na equação vis-viva.

Calculando a distância utilizando a equação polar da elipse:

Assim:

$r=\frac{a(1-e^2)}{1+ecos\theta}$

$r=31.75 UA$

Temos então:

$r=6.9km/s$

b) Calculemos, utlizando a equação vis-viva, as velocidades no periélio e no afélio.

$v^2=GM(2/r-1/a)$

$r_p=a(1-e)$

$r_a=a(1+e)$

$v_p/v_a=5.67$

c) Aqui, pela conservação do momento angular, temos:

$mv_p r_p=mv_ar_a$

$\frac{v_p}{v_a}=\frac{r_a}{r_p}$

$\frac{v_p}{v_a}=\frac{1+e}{1-e}$

d) No semi latus rectum, quando a anomalia verdadeira é $90^{\circ}$, a distância ao Sol é:

$r=a(1-e^2)$

Substituindo na equação vis-viva:

$v_l=5.1km/s$

 

e) Primeiro, devemos calcular a velocidade tangencial no semi-latus rectum, o que pode ser feito por conservação de momento angular:

$mv_p r_p=mv_{l_T}l$

Assim:

$v_{l_T}=v_p\frac{r_p}{l}$ (Eq. 1)

Encontremos agora $v_p$. Por conservação de energia, temos:

$\frac{mv^2_p}{2}-\frac{GMm}{r_p}=\frac{mv^2_a}{2}-\frac{GMm}{r_a}$

$\frac{v^2_p}{2}-\frac{GM}{r_p}=\frac{v^2_a}{2}-\frac{GM}{r_a}$

$v^2_p-v^2_a=2GM(\frac{1}{r_p}-\frac{1}{r_a})$

$v^2_p(1-\frac{v^2_a}{v^2_p})=2GM(\frac{r_a-r_p}{r_p r_a})$

Subsitituindo as equações das velocidades e das distâncias, chegamos ao seguinte resultado:

$v^2_p=\frac{GM}{a}\frac{1+e}{1-e}$

Retomando a (Eq. 1) e elevando-a ao quadrado:

$v^2_{l_T}=\frac{v^2_p}{(1+e)^2}$

Substituindo $v^2_p$:

$v^2_{l_T}=\frac{GM}{a(1-e^2)}$

Ou seja, a própria velocidade circular de um trajetória de raio orbital $l=a(1-e^2)$!

AVANÇADO

Resolveremos o problema por trigonometria esférica:

Encontremos a distância angular entre os pontos A e B:

Usando lei dos cossenos, temos:

$cos\theta=sen\phi_Asen\phi_B+cos\phi_Acos\phi_Bcos(\lambda_A-\lambda_B)$

Assim:

$\theta = 89.4957^{\circ}$

Agora, precisamos encontrar a latitude do ponto mais ao sul da rota, para isso, primeiro devemos encontrar o ângulo diedro do ponto A ou do ponto B. Para isso, utilizaremos a lei dos senos:

Encontrando o ângulo diedro do ponto A, $\kappa_A$:

Pela lei dos senos, temos:

$\frac{cos\phi_B}{sen\kappa_A}=\frac{sen\theta}{sen(\lambda_A-\lambda_B)}$

Assim:

$\kappa_A=70.2544^{\circ}$

Agora aplicaremos a lei dos senos no triângulo $A-P-PS$:

$\frac{cos\phi_A}{sen90^{\circ}}=\frac{cos\phi_P}{sen\kappa_A}$

Assim:

$\phi_P=27.1363^{\circ}$

Agora, para encontrar $\lambda_{X_1}$ e $\lambda_{X_2}$ apliquemos nos triângulos $P-SP-X_1$ e $P-SP-X_2$ a lei do cosseno-cosseno:

$sen\phi_P cos\lambda_{X_1}=cos\phi_P tan\epsilon + sen\lambda_{X_1}cot90^{\circ}$

Disso, vem:

$cos\lambda_{X_1}=\frac{tan\epsilon}{tan\phi_P}$

Então, temos:

$\lambda_{X_1}=32.1833^{\circ}$

Como os triângulos $P-SP-X_1$ e $P-SP-X_2$ são congruentes, temos que:

$\lambda_{X_2}=32.1833^{\circ}$

Assim, de modo similar ao que fizemos para calcular $\theta$, calcularemos ${\theta}'$:

Pela lei dos cossenos, temos:

$cos{\theta}'=cos^2\epsilon+sen^2\epsilon cos(\lambda_{X_1}+\lambda_{X_2})$

Assim:

${\theta}'=24.4744^{\circ}$

Dividindo ${\theta}'$ por $\theta$:

${\theta}'/\theta=0.27$

Percentualmente:

$27\%$