Soluções Astronomia – Semana 74

INICIANTE

a) Vamos primeiramente calcular o $\Delta t$ entre as colunas I e II:

$\Delta t = \frac{\sum_{n=1}^{6} (II_n-I_n)}{6}$

$\Delta t = 6,22 S$

Assim, c é simplesmente:

$c=\frac{d_{Sol-VISH}}{\Delta t}$

$c= 1,60*10^8 M/S$

A incerteza de c só tem uma fonte: os dados da coluna II. Assim:

$\frac{\delta c}{c} = \frac{\delta II}{II-I}$

$\delta c= 7,72*10^5 M/S$]

b) Vamos primeiramente entender o que está acontecendo:

 

Na imagem, o ponto amarelo representa o Sol, o azul a Terra e o verde VISH. A reta azul e a reta rosa representam, respectivamente, a maior e a menor distância possíveis entre nosso planeta e VISH. às quais são associados o maior e o menor tempo que a luz leva para ir da Terra a VISH.

Assim, pelo gráfico, obtemos que esta variação de tempo é de aproximadamente 5,3 S. Sabemos também que:

$a_{Terra}=\frac{d_{max}+d_{min}}{2}$

$a_{Terra}=\frac{c\Delta t}{2}$

$a_{Terra}= 4,24*10^8M$

c) Sabemos que $1UA=1,50*10^{11}m$, logo:

$4,24*10^8M=1,50*10^{11}m$

$1M=354m$

Agora, podemos utilizar esta conversão para achar c:

$3,0*10^8 m/s=1,60*10^8*354m/S$

$1S=189s$

d) Como $T_{VISH}=1000S$, então:

$T_{VISH}=1,89*10^5s$

INTERMEDIÁRIO

a) A primeira equação necessária é:

$m=m_0 + k sec(z)$

A segunda equação trata-se da equação de Pogson aplicada a uma estrela de magnitude
0 e à estrela observada:

$m-0=-2.5 \cdot log(F/F_0) \Longleftrightarrow2.5\cdot log(F)+m_0=2.5\cdot log(F_0)-k sec(z)$

Quaisquer variações dessa equação são aceitas.

b) A tabela abaixo contém os valores que deveriam ser utilizados para construção do
gráfico, seguindo a ordem da tabela 1. As duas últimas colunas representam os dados
a serem plotados:

Usando-se esses dados, pode-se plotar os pontos e traçar a reta de tendência, obtendo,
portanto, o seguinte gráfico:

c)Para o coeficiente angular a, teremos:

$a=\dfrac{N\sum xy -\sum x\sum y}{N\sum x^2-(\sum x)^2}$

Sabendo que N = 13 (número de medições), realizamos os cálculos e chegamos em
a = −0, 2482.
Agora, para o o coeficiente linear b:

$b=\dfrac{\sum x^2 \sum y-\sum x\sum xy}{N\sum x^2-(\sum x)^2}$

Realizando os cálculos novamente, chega-se em b = 9, 660.
Agora, calcularemos as incertezas desses coeficientes. Para isso, primeiramente precisamos calcular a incerteza relacionada às medições de y, que pode ser estimada pela
seguinte equação:

$\sigma_y=\sqrt{\dfrac{1}{N-2}\sum_{i=1}^N(y_i-b-a\cdot x)^2}$

Desse modo, para $\sigma_a$, podemos usar a seguinte equação:

$\sigma_a=\sigma_y\sqrt{\dfrac{N}{\Delta}} \longrightarrow \sigma_a\approx 0.09$

Por fim, podemos escrever:

$a=-0.25\pm 0.05$

$b=9.66\pm 0.09$

*Todos os cálculos aqui expostos podem ser realizados na calculadora (para encontrar os coeficientes e suas incertezas, p.ex.), de acordo com os métodos descritos nessa ideia

AVANÇADO

O primeiro passo é entender o gráfico. Se a fonte sonora estivesse parada, evidentemente teríamos duas linhas retas de frequência constante $f_0$. Entretanto, o movimento da fonte causa um efeito doppler, fazendo com que a frequência captada varie de acordo com o gráfico dado.

a) Basta pegarmos o intervalo de tempo entre duas posições de mesma “fase” para o detector $1$ ou $2$, que corresponde ao tempo que a fonte demorou para dar uma volta e chegar na mesma posição, resultando na mesma frequência. Pelas curvas $1$ ou $2$, vemos que $T=24s$

b) É importante se perguntar o porquê das curvas dos detectores serem distintas. Como eles estão parados, a variação da frequência se dá pela mudança da velocidade radial da fonte, somente. Assim, podemos ver caso a caso:

1. Ambos estão fora do círculo
2. Ambos estão dentro do círculo
3. Um está fora e outro está dentro do círculo
4. Um está fora ou dentro do círculo, enquanto o outro está sobre a trajetória de $S$

*Efeito Doppler:

Quando a fonte $S$ está aproximando um detector estacionário $D$ com um ângulo $\phi$ entre sua velocidade $v$ e o detector, a frequência captada é:

$f=f_0 \frac{1}{1-\large{\frac{v}{v_s}cos\phi}}$

Com isso já podemos eliminar o caso [4], pois o ângulo $\phi$ iria rapidamente de $0^{\circ}$ para $180^{\circ}$, resultando em uma mudança brusca no gráfico, que não é observada

Além disso, vale notar que a frequência será máxima quando a velocidade radial for máxima e será mínima quando a velocidade radial for mínima

• Detector Fora:

Como $\phi$ pode variar de $0$ até $360^{\circ}$ frequência captada será máxima quando $\phi=0$ e mínima quando $\phi=180^{\circ}$. Logo, no caso limite, a fonte aponta diretamente para o detector e o triângulo $\Delta OSD$ é retângulo. Veja a figura do caso geral:

Assim, se ambos os detectores estivessem fora, as curvas $1$ e $2$ seriam idênticas com uma diferença de fase, já que a frequência só depende da velocidade radial, e não da distância percorrida. Eliminamos assim o caso [1]

• Detector Dentro:

Nesse caso achar qual é o valor de $\phi$ que maximiza/minimiza a velocidade radial é um pouco mais complicado. Veja a figura:

 

A condição de maximização ocorre quando $cos\phi$ é máximo, e como $\phi+\beta=90^{\circ} \Rightarrow |cos\phi |=|sen\beta |$, queremos o maior $sen\beta$ possível. Assim, podemos escrever uma Lei dos Senos:

$\frac{R}{sen \gamma}=\frac{D_i}{sen\beta}\Rightarrow sen\beta=sen\gamma \frac{D_i}{R}$

Como $R$ e $D_i$ são fixos, $sen\beta$ é máximo quando $sen\gamma=1$, ou seja, quando $\gamma=90^{\circ}$.

Dessa forma, a frequência é máxima quando $\gamma=90^{\circ}$ e, analogamente, a frequência é mínima quando $\gamma=270^{\circ}$*

Agora, se ambos os detectores estão dentro do círculo, existem duas possibilidades: eles estão a uma mesma distância do centro ou eles estão a distâncias diferentes do centro. A primeira não é verdadeira pois, caso fosse, as curvas seriam idênticas com apenas uma mudança de fase, que não é observada. No segundo caso, repare que as diferenças de tempo entre as frequências máximas e mínimas, comparando esse valor para cada detector, seriam diferentes (a fonte percorre arcos diferentes). Porém, isso não é observado: os intervalos de tempo para cada detector entre um máximo e um mínimo são de $9s$ (igual para ambos). Dessa forma, o caso [2] também está incorreto, nos restando somente o caso [3] como correto.

Agora basta determinarmos qual detector está dentro e qual está fora. Já vimos que a maior frequência possível corresponde ao caso em que um detector está fora do círculo. Como o outro detector está dentro do círculo, a curva $1$ corresponde ao detector externo, enquanto a curva $2$ corresponde ao detector interno. Assim, podemos fazer a seguinte figura:

c) A equação do efeito doppler é:

$f = f_0 \frac{\large{v_{rel OBS-SOM}}}{\large{v_{rel EMIS-SOM}}}$

Assim, vendo as situações em que a frequência captada $f$ pelo detector $1$ é máxima (($f_{max}=1300Hz$) e mínima ($f_{min}=800Hz$):

$f_{max}=f_0 \frac{v_s}{v_s - v}$

$f_{min}=f_0 \frac{v_s}{v_s + v}$

Divindo essas equações:

$\frac{f_{max}}{f_{min}}=k=\frac{v_s + v}{v_s - v}$

Manipulando:

$v=v_s \frac{k-1}{k+1}\approx 78,6m/s$

Para achar a frequência:

$f_0=f_{max}\frac{v_s-v}{v_s}=990Hz$

d) No item c) calculamos a velocidade da fonte, $v$. Como o período $T=24s$, temos que o raio $R$ da trajetória é dado por:

$R=\frac{vT}{2\pi}=300m$

Agora, vamos pegar algumas informações importantes do gráfico:

Intervalo de tempo entre as mínima e máxima frequências detectadas pelo detector $1$: $9s$
Intervalo de tempo entre as mínima e máxima frequências detectadas pelo detector $2$: $9s$
Intervalo de tempo entre as máximas frequências detectadas pelos detectores $1$ e $2$: $4s$

Além disso, a velocidade angular da fonte é $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{12}rad/s$

Veja a figura:

Por simetria, os pontos $A_0$ e $A_0'$ são equidistantes do detector $1$, assim como os pontos $A_i$ e $A_i'$ são equidistantes do detector $2$. Como levam $9s$ para a fonte ir de $A_0$ até $A_0'$ (e de $A_i$ para $A_i'$):

$2\alpha_0=\omega \Delta t = \frac{3\pi}{4}rad$

$2\alpha_i=\omega \Delta t = \frac{3\pi}{4}rad$

Dessa maneira:

$D_i=Rcos\alpha_i=115m$

$D_0=\frac{R}{cos\alpha_0}=784m$

Além disso, como $\alpha_0=\alpha_i$, o ângulo em vermelho representado na figura abaixo também é $\theta$:

Agora precisamos utilizar o intervalo de tempo entre os picos observados nos detectores $1$ e $2$: $4s$. Note que existe um intervalo de tempo para o sinal emitido pela fonte em $A_0$ chegar ao detector, assim como também existe esse delay para a fonte em $A_i$. Ou seja, os $4s$ são os segundos que passam entre $D_{fora}$ e $D_{dentro}$ receberem o sinal. Para contabilizar com isso, devemos realizar a seguinte conta:

$4s=\frac{\theta}{\omega}+\frac{A_iD_{dentro}}{v_s}-\frac{A_0D_{fora}}{v_s}$

$4s=\frac{\theta}{\omega}+\frac{Rsen\alpha_i}{v_s}-\frac{D_0sen\alpha_0}{v_s}$

Fazendo os cálculos necessários, $\theta=1,4rad$

Portanto, a distância $d$ entre os detectores é:

$d=\sqrt{D_0^2+D_i^2-2D_0D_icos\theta}\approx 773m$

*fica como desafio para o leitor provar que a velocidade radial de um corpo orbitando uma estrela é máxima no semi-latus rectum!