Soluções Cálculo – Semana 1

Iniciante

Neste problema, queremos saber somente direta e objetivamente $\lim\limits_{x \rightarrow 0} 3x+5$
Sabemos que a função $f(x)=3x+5$ é contínua (polinomial), ou seja, se “comporta bem”, podendo ter seu limite calculado para todo $x$ . Então, quando $x$ vai tendendo a zero, o que acontece com $3x+5$ ? Vai tendendo a $5$ !

Intermediário

A quantidade de cascalho não processado a um tempo t é dada por:

$F(t)=\displaystyle \int_{0}^{8} 90+45cos(t)dt$

Ou seja, como a taxa de chegada de cascalho é o quanto a quantidade de cascalho varia no tempo, para acharmos a função da quantidade de cascalho, basta integrar a da taxa. Portanto, teremos

$\displaystyle 90\int_{0}^{8}dt+\displaystyle 45\int_{0}^{8}cos(t)dt$

Achando as antiderivadas e colocando-as nos intervalos, teremos $90t$ nos intervalos de $0$ a $8$ mais $45sen(t)$ nos intervalos de $0$ a $8$ , que resulta em $764.547$ toneladas. Adicionando as $135$ toneladas iniciais, teremos $899.547$ toneladas não processadas. Agora, para acharmos a quantidade final de cascalho, devemos fazer o mesmo com a taxa de processamento:

$\displaystyle 100\int_{0}^{8}dt$

que é igual a

$100t$ nos intervalos de

$0$ a

$8$ , que é igual a

$800$ . Subtraindo o segundo resultado do primeiro, teremos

$899.547-800=99.547$

toneladas, que é o nosso resultado final!

Avançado (Solução adaptada de Alícia Fortes Machado)

Aqui, vamos começar a usar integrais para calcular o volume do sólido de revolução gerado através da rotação da função em torno do eixo $x$ . Utilizando o método do disco circular, teremos que $r=f(x)=y$ (o raio dos discos irá variar de acordo com $f(x)$ ). Então podemos escrever: