Soluções Cálculo – Semana 22

Iniciante

$\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim \limits_{x \rightarrow 1} x+1=2$

Intermediário

Por integração por partes, sejam $u = x \ \ $ e $\ \ dv = \sin {x} \ dx$, tal que $du=dx \ \ $ e $\ \ v = -\cos{x}$. Assim, $\displaystyle{ \int { x \sin {x}} \,dx } = \displaystyle{ x (-\cos{x}) - \int { (-\cos{x}) } \,dx }$
$= \displaystyle{ -x \cos{x} + \int { \cos{x} } \,dx }$
$= -x \cos {x} + \sin{x} + C$

Avançado

Pontos críticos podem ser encontrados através da expressão: $f'(x)=0$ (Lema de Fermat). Assim, $\frac{1-ln(x)}{x^2}=0$ $\downarrow$ $ln(x)=1$ $\downarrow$ $x=e$ Checando o gráfico da função, percebe-se que $f(e)$ é ponto de máximo relativo porque a sua derivada muda de valores positivos para negativos em $x=e$.